专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题
(对应学生用书第117页)
(限时：60分钟)
1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西向渠宽m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．
图4
(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
(2)若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.
【导学号：56394096】
[解] (1)由题意，PA＝，QA＝，
所以l＝PA＋QA，即l＝＋. 4分
(2)设f (θ)＝＋，θ∈.
由f ′(θ)＝－＋＝， 6分
令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝. 8分
且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈，f ′(θ)＞0，
所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在上单调递增，
所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．
当tan θ0＝时，sin θ0＝，cos θ0＝，
所以f (θ)的最小值为3， 12分
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 m.
因为3＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分
2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m且≥，设∠EOF＝θ，透光区域的面积为S.
图5
(1)求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；
(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．
[解] (1)过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH＝∠EOF＝θ；
又OH＝OFsin θ＝sin θ，
FH＝OFcos θ＝cos θ，∴S＝4S△OFH＋4S扇形OEF＝2sin θcos θ＋4× θ＝sin 2θ＋2θ；
∵≥，∴sin θ≥，∴θ∈；
∴S关于θ的函数关系式为S＝sin 2θ＋2θ，θ∈； 6分
(2)由S矩形＝AD·AB＝2×2sin θ＝4sin θ，
则透光区域与矩形窗面积比值为＝＋，
设f (θ)＝＋，θ∈，
则f ′(θ)＝－sin θ＋
＝
＝
＝； 10分
∵≤θ＜，∴sin 2θ≤，
∴sin 2θ－θ＜0，
∴f ′(θ)＜0，
∴f (θ)在θ∈上是单调减函数；
∴当θ＝时f (θ)取得最大值为＋，
此时AB＝2sin θ＝1(m)；
∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB的长度为1 m．
14分
3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB＝30公里，AC＝80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.
图6
(1)求sin∠ABC的大小；
(2)设∠ADB＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．
[解] (1)在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝－，
所以sin∠ABC＝. 4分
(2)在△ABD中，由＝＝得：＝＝.
所以AD＝，BD＝＝－. 6分
设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，
则运输总费用y＝(5CD＋3BD)×2k＋8×k×AD＝2k[5(70－BD)＋3BD＋4AD]
＝20k＝20k.
令H(θ)＝，则H′(θ)＝，令H′(θ)＝0，解得：cos θ＝，θ＝. 10分
当0＜θ＜时，H′(θ)＜0，H(θ)单调递减；
当＜θ＜时，H′(θ)＞0，H(θ)单调递增，
∴θ＝时，H(θ)取最小值，同时y也取得最小值．
此时BD＝－＝，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间．
所以θ＝时，运输总成本最小. 14分
4．(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据计算cos θ的值．
图7
[解] 由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ， 4分
由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，
10分
又＝，即＝，得到cos θ＝－1.
16分
5．(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200 m，斜边AB＝400 m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.
图8
(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；
(2)设∠CEF＝θ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF＝，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．
[解] (1)依题意得BD＝300，BE＝100，
在△ABC中，cos B＝＝，∴B＝， 2分
在△BDE中，由余弦定理得：
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝3002＋1002－2·300·100·＝70 000，
∴DE＝100. 6分
即甲、乙两人之间的距离为100 m． 7分
(2)由题意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ，
在直角三角形CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ， 9分
在△BDE中，由正弦定理得＝，即＝，
∴y＝＝，0＜θ＜， 12分
所以当θ＝时，y有最小值50. 14分
故甲、乙之间的最小距离为50 m． 16分
6．(本小题满分16分)(2017·江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB＝20米，∠CBF＝α(F在AB的延长线上，α为锐角)．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100－80 sin α米．EO是垂直于AB的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO最矮？
【导学号：56394097】
图9
[解] 如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为B(10,0)，kBC＝tan α，所以直线BC的方程为：y＝tan α(x－10)，即xtan α－y－10tan α＝0， 4分
设圆心E(0，t)(t＞0)，由圆E与直线BC相切，得100－80sin α＝＝，
所以EO＝t＝， 8分
令f (α)＝，α∈，
则f ′(α)＝，
设sin α0＝，α0∈.列表如下：
α
(0，α0)
α0
f ′(α)
－
0
＋
f (α)
减
极小值
增
所以当α＝α0，即sin α＝时，f (α)取最小值. 15分
所以当sin α＝时，立柱EO最矮. 16分
微信/支付宝扫码支付