专项限时集训(六) 数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问题
(对应学生用书第123页)
(限时:60分钟)
1.(本小题满分14分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a3=4,{an}的前3项和为7.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-3)2n+3,设数列{bn}的前n项和为Sn,求证:++…+≤2-.
[解] (1)设数列{an}的公比为q,由已知得q>0,且∴
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.4分
(2)证明:当n=1时,a1b1=1,且a1=1,解得b1=1. 6分
当n≥2时,anbn=(2n-3)2n+3-(2n-2-3)2n-1-3=(2n-1)·2n-1.
∵an=2n-1,∴当n≥2时,bn=2n-1. 8分
∵b1=1=2×1-1满足bn=2n-1,
∴数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).
∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴Sn=n2. 10分
∴当n=1时,=1=2-.
当n≥2时,=log且m0>n0,
则2n0·m0