专题限时集训(十一) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时：120分钟)
1．(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] 法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x. 4分
联立方程组解得或
所以A(4,4)，B.
所以AB＝. 10分
法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得2＝4，即4t2－15t－25＝0， 8分
所以t1＋t2＝，t1t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝＝. 10分
2．(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解] (1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－2ρcos＝2，2分
所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
6分
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
8分
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝.10分
3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N*，f (n)＝3n＋7n－2.
(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；
(2)证明：对任意正整数n，f (n)是8的倍数．
[解] (1)代入求出f (1)＝8，f (2)＝56，f (3)＝368. 2分
(2)证明：①当n＝1时，f (1)＝8是8的倍数，
命题成立．
②假设当n＝k时命题成立，即f (k)＝3k＋7k－2是8的倍数，
那么当n＝k＋1时，f (k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，
6分
因为7k＋1是偶数，所以4(7k＋1)是8的倍数，
又由归纳假设知3(3k＋7k－2)是8的倍数，
所以f (k＋1)是8的倍数，
所以当n＝k＋1时，命题也成立．
根据①②知命题对任意n∈N*成立. 10分
4．(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当n∈N*时，32n＋2－8n－9能被64整除．
[解] 32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋C·8n－1＋…＋C·82＋C·8＋1－8n－9＝82·(8n－1＋C·8n－2＋C·8n－3＋…＋C)，6分
而8n－1＋C·8n－2＋C·8n－3＋…＋C∈N*，所以32n＋2－8n－9能被64整除.10分
5．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a，b，c为正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
【导学号：56394086】
[证明] ∵a，b，c为正实数，
∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a， 4分
将上面三个式子相加得：
a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c. 10分
6．(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若不等式f (x)≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；
(2)若方程f (x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
[解] (1)令g(x)＝|x＋1|－|x|，则f (x)≥0的解集为空集⇔g(x)≥－a的解集为空集⇔g(x)＜－a恒成立，
g(x)＝|x＋1|－|x|＝，作出函数g(x)的图象，由图可知，函数g(x)的最大值为g(x)max＝1，所以－a＞1，即a＜－1. 5分
综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1＜a＜0. 10分
7．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11－9，已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC.
求证：AD·BC＝2AC·CD.
图11－9
[证明] ∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径，
∴AD垂直平分BC，设垂足为E(图略)，
∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，
∴△ACD∽△CED， 6分
∴＝，∴AD·BC＝AC·CD，
∴AD·BC＝2AC·CD. 10分
8．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11－10，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.
图11－10
[证明] 连接OD，设圆的半径为R，BE＝x，则OD＝R，DE＝2BE＝2x，
Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2＝OC·OE，∴R2＝OC(R＋x)，①
4分
∵直线DE切圆O于点D，∴DE2＝BE·AE，
∴4x2＝x(2R＋x)，②，∴x＝， 8分
代入①，解得OC＝，
∴BC＝OB－OC＝，∴2OC＝3BC. 10分
9．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)已知向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3)，求矩阵A.
[解] 设A＝，
因为向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量，
所以＝(－1)＝.
所以 6分
因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3)，
所以＝.所以 8分
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝. 10分
10．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)
已知α＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.
[解] 由条件可知＝λ，
∴解得a＝λ＝2. 6分
因此A＝，
所以A2＝＝. 10分
11．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
【导学号：56394087】
[解] (1)设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P(A)＝1－P()＝1－＝. 4分
(2)由题意可得：X＝5a,6a,7a,8a.
P(X＝5a)＝＝＝，P(X＝6a)＝＝＝， 6分
P(X＝7a)＝＝＝，P(X＝8a)＝＝＝.
X
5a
6a
7a
8a
P
E(X)＝5a×＋6a×＋7a×＋8a×＝a. 10分
12．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；
(2)在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．
[解] (1)记“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)．
则P(A3)＝＝.
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分
(2)获奖的概率为P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝C×＝，P(X＝2)＝×＝. 8分
X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 10分
(或：∵X～B，∴E(X)＝2×＝，同样给分)
13．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图11－11，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．
图11－11
(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．
[解] 以{，，}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.
(1)因为＝(1,2,2)，＝(2,0,1)，
所以cos〈，〉＝
＝＝.
所以AP与AQ所成角的余弦值为. 4分
(2)由题意可知，＝(0,0,2)，＝(2,0,2λ)．
设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.
所以n＝(2λ，2－λ，－2). 7分
又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，
所以|cos〈n，〉|＝＝＝，
可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝. 10分
14．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图11－12，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点.
图11－12
(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
[解] (1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．
所以＝(－1,1,2)，＝(0,0,4)，
所以cos〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为. 6分
(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－4)，
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量. 8分
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos〈，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，
所以λ的值为1. 10分
15．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，点R(1,2)在抛物线C上．
图11－13
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．
[解] (1)将R(1,2)代入抛物线中，可得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.2分
(2)设AB所在直线方程为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与抛物线联立
得：
y2－4my＋4(m－1)＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)．
设AR：y＝k1(x－1)＋2，
由得xM＝，
而k1＝＝＝，
可得xM＝－，同理xN＝－. 6分
所以|MN|＝|xM－xN|＝2，
令m－1＝t(t≠0)，则m＝t＋1，
所以|MN|＝|xM－xN|＝2≥，
此时m＝－1，AB所在直线方程为x＋y－2＝0. 10分
16．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py(p＞0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2，
(1)求抛物线的方程；
(2)如图11－14，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．
【导学号：56394088】
图11－14
[解] (1)抛物线x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，
因为M(m,1)，由抛物线定义，知MF＝1＋，
所以1＋＝2，即p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y. 2分
(2)因为y＝x2，所以y′＝x.
设点E，t≠0，则抛物线在点E处的切线方程为y－＝t(x－t)．
令y＝0，则x＝，即点P.
因为P，F(0,1)，所以直线PF的方程为y＝－，即2x＋ty－t＝0.
则点E到直线PF的距离为d＝＝. 4分
联立方程消元，得t2y2－(2t2＋16)y＋t2＝0.
因为Δ＝(2t2＋16)2－4t4＝64(t2＋4)＞0，
所以y1＝，
y2＝，
所以AB＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝＋2＝. 6分
所以△EAB的面积为S＝××＝×.
不妨设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝·(2x2－4)．
因为x∈(0，)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，)上单调递减；x∈(，＋∞)上，g′(x)＞0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递增．
所以当x＝时，g(x)min＝＝6.
所以△EAB的面积的最小值为3. 10分
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