第19课时　全等三角形（Word版）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第四单元 三角形 第十九课时 全等三角形 基础达标训练 ‎1. 下列说法正确的是(　　)‎ A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 ‎2. 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，‎ 能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF(　　)‎ ‎ ‎ ‎ 第2题图 A. ∠A＝∠D B. ∠ACB＝∠DFE C. AC＝DF D. BE＝CF 3. 如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是(　　) ‎ ‎ 第3题图 第4题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. (2017眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(　　)‎ A. 14 B. 13 C. 12 D. 10‎ ‎5. (2017黔东南州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF.‎ ‎ ‎ ‎ 第5题图　 第6题图 ‎6. 如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为________．‎ ‎7. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．‎ ‎ 第8题图 ‎8. (2017新疆建设兵团)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝AC·BD. 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号)‎ ‎9. (6分)(2017云南)如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求证：∠ABC＝∠DEF.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 ‎10. (6分)(2017南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD. ‎ ‎ 第10题图 ‎11. (6分)(2017郴州)已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别为边AB、AC的中点．‎ 求证：BE＝CD. ‎ ‎ 第11题图 ‎12. (8分)(2017株州模拟)已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝∠C.‎ ‎(1)求证：∠1＝∠2；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)若CM∥AB，求线段CM的长度．‎ ‎ 第12题图 ‎13. (8分)(2017苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.‎ ‎(1)求证：△AEC≌△BED；‎ ‎(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．‎ ‎ 第13题图 ‎14. (8分)(2017湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：△ADE≌△FCE；‎ ‎(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．‎ ‎ 第14题图 ‎15. (8分)(2017广西四市)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 E，F在BD上，BE＝DF.‎ ‎(1)求证：AE＝CF；‎ ‎(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．‎ ‎ 第15题图 ‎16. (8分)(2017长沙中考模拟卷一)如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是AC、BC上的两点，AD＝CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F.‎ ‎(1)求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎(2)若BP＝6，求PF的长．‎ ‎ 第16题图 能力提升训练 ‎1. 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于点F，若BF＝12，则△FBC的面积为(　　)‎ A. 40　　　　 B. 46　　　 C. 48　　　 D. 50‎ ‎ ‎ 第1题图　 第2题图 ‎2. 如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有(　　)‎ ‎①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎3. (2017哈尔滨)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为(　　)‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ 第3题图 ‎4. (9分)(2017重庆B卷)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.‎ ‎(1)如图①，若AB＝4，BE＝5，求AE的长；‎ ‎ (2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.‎ ‎ 第4题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5. (9分)已知四边形ABCD中，AB＝AD, AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于H，交BE于F.‎ ‎(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；‎ ‎(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．‎ ‎ 第5题图 拓展培优训练 如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI＋AC，则∠BAC的度数为________．‎ ‎ ‎ ‎ 第1题图 答案 ‎1. D　2. D　3. C　‎ ‎4. C　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴CF＝AE，OE＝OF，∵OE＝1.5，∴EF＝2OE＝3，∵▱ABCD的周长为18，∴AD＋DC＝9，∴四边形EFCD的周长＝DE＋EF＋CF＋CD＝DE＋AE＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5. AC＝DF(答案不唯一)　【解析】∵FB＝CE，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：AC＝DF(SAS)或∠B＝∠E(ASA)或∠A＝∠D(AAS)．‎ ‎6. 1.5　【解析】如解图，连接AD，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，且AB＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是矩形，∴OD＝BD＝AC＝1.5.‎ 第6题解图 ‎7. 1＜m＜4　【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB＝EC，∴在△AEC中，AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，即1＜m＜4.‎ 第7题解图 ‎8. ①④　【解析】在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠ABC＝∠ADC，故①正确；∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 DCA，∴AC平分∠BAD和∠BCD，而AB与BC不一定相等，∴BD不一定平分∠ABC和∠ADC，故③错误；又∵AB＝AD，∠BAC＝∠CAD，∴OB＝OD，∴AC，BD互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC，BD互相垂直，∴四边形ABCD的面积S＝AC·BO＋AC·OD＝AC·BD.故④正确，综上所述，正确的结论是①④.‎ ‎9. 证明：∵BE＝CF，‎ ‎∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ，‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SSS)‎ ‎∴∠ABC＝∠DEF.‎ ‎10. 证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，‎ ‎∴∠AFC＝∠BED＝90°，‎ 又∵AE＝BF，‎ ‎∴AE＋EF＝BF＋EF，‎ ‎∴AF＝BE，‎ 在△ACF和△BDE中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△ACF≌△BDE(SAS)，‎ ‎∴∠A＝∠B，‎ ‎∴AC∥BD.‎ ‎11. 证明：∵∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∴AB＝AC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵点D、E分别为边AB、AC的中点，‎ ‎∴BD＝AB，CE＝AC，‎ ‎∴BD＝CE，‎ 又∵∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，‎ ‎∴△CBE≌△BCD(SAS)，‎ ‎∴BE＝CD.‎ ‎12. (1)证明：在△ABD与△ACE中，‎ ，‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SAS)，‎ ‎∴∠1＝∠2；‎ ‎(2)解：∵CM∥AB，‎ ‎∴∠M＝∠1，‎ 又∵∠C＝∠B，‎ ‎∴△AMC∽△DAB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴MC＝＝.‎ ‎13. (1)证明：∵AE和BD相交于点O，‎ ‎∴∠AOD＝∠BOE，‎ 在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，‎ ‎∴∠BEO＝∠2，‎ 又∵∠1＝∠2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠1＝∠BEO，‎ ‎∴∠AEC＝∠BED，‎ 在△AEC和△BED中，‎ ，‎ ‎∴△AEC≌△BED(ASA)；‎ ‎(2)解：∵△AEC≌△BED，‎ ‎∴EC＝ED，∠C＝∠BDE，‎ ‎∵在△EDC中，EC＝ED，∠1＝42°，‎ ‎∴∠C＝∠EDC＝69°，‎ ‎∴∠BDE＝∠C＝69°.‎ ‎14. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠CFE，‎ 又∵∠AED＝∠FEC，DE＝CE，‎ ‎∴△ADE≌△FCE(AAS)；‎ ‎(2)解：由(1)知，△ADE≌△FCE，‎ ‎∴AD＝FC，‎ ‎∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝2BC，‎ ‎∴AB＝FB，‎ ‎∴∠BAF＝∠F＝36°，‎ ‎∴∠B＝180°－2×36°＝108°.‎ ‎15. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，‎ ‎∴在△ABE与△CDF中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ，‎ ‎∴△ABE≌△CDF(SAS)，‎ ‎∴AE＝CF；‎ ‎(2)解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AO＝OB，‎ ‎∵∠COD＝60°，‎ ‎∴∠AOB＝60°，‎ ‎∴△AOB为等边三角形，‎ ‎∴AO＝AB＝6，‎ ‎∴AC＝12，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 BC＝＝6，‎ ‎∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36.‎ ‎16. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，∠BAC＝∠C，‎ 在△ABD和△CAE中，‎ ，‎ ‎∴△ABD≌△CAE(SAS)；‎ ‎(2)解：∵△ABD≌△CAE，‎ ‎∴∠ABD＝∠CAE，‎ ‎∴∠APD＝∠ABP＋∠PAB＝∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠BPF＝∠APD＝60°，‎ ‎∴在Rt△BFP中，∠PBF＝30°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴PF＝BP＝×6＝3.‎ 能力提升训练 ‎ ‎1. C　【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＝90°，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴AD＝AF，∵AB＝AC，D为AC中点，∴AB＝AC＝2AD＝2AF，∵BF＝AB＋AF＝12，∴3AF＝12，∴AF＝4，∴AB＝AC＝2AF＝8，∴△FBC的面积＝×BF×AC＝×12×8＝48.‎ ‎2. C　【解析】∵△DAC、△ECB都是等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠DCE＝60°，∴AD∥CE，∴∠DAP＝∠PEC，故③正确；在△ACE与△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠PMD＝∠AMC，∴∠DPM＝∠ACM＝60°，故②正确；在△ACM与△DCN中，，∴△ACM≌△DCN(ASA)，故④正确；∴CM＝CN，∴△CMN是等边三角形，∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠ACD，∴MN∥AB，故①正确；∵∠DBE＝30°，∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠AEB＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共4个．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 第3题解图 ‎3. B　【解析】如解图，过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD，根据角平分线的性质可得PC＝PD，∵OP为定值，∴OC＝OD，∵∠AOB为定角，∠MPN与∠AOB互补，∴∠MPN也为定角，∵∠CPD与∠AOB也互补，∴∠MPN＝∠CPD，∴∠MPC＝∠NPD，∴△MPC≌△NPD，∴CM＝DN，MP＝NP，故(1)正确；∵OM＋ON＝OC＋CM＋OD－DN，∴OM＋ON＝OC＋OD，∵OC＝OD为定长，∴OM＋ON为定长，故(2)正确；∵△MPC≌△NPD，∴S四边形MONP＝S△CMP＋S四边形CONP＝S△NPD＋S四边形CONP＝S四边形CODP，∴四边形MONP面积为定值，故(3)正确；∵Rt△MPC中，MP为斜边，CP为直角边，∴可设MP＝k·CP，∴PN＝k·DP，∵∠MPN＝∠CPD，∴△MPN∽△CPD，其相似比为k，∴MN＝k·CD，当点M与点C重合，点N和点D重合时，MN＝CD，当点M与点C不重合，点N与点D不重合时，MN≠CD，∴MN的长度在发生变化，故(4)错误．‎ ‎4. (1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABC＝45°，‎ ‎∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，‎ ‎∴在Rt△BCE中，CE＝＝3，‎ ‎∴AE＝AC－CE＝4－3＝1；‎ ‎(2)证明：如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 第4题解图 ‎∴∠FCM＝90°，‎ ‎∴∠FCA＝∠MCB，‎ ‎∵AF⊥BD，‎ ‎∴∠AFB＝90°，‎ ‎∴∠AFE＝∠ACB，‎ ‎∵∠AEF＝∠BEC，‎ ‎∴∠CAF＝∠CBM，‎ 在△ACF和△BCM中，‎ ，‎ ‎∴△ACF≌△BCM(ASA)，‎ ‎∴FC＝MC，‎ 又∵∠FCM＝90°，‎ ‎∴∠CFM＝∠CMF＝45°，‎ ‎∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，‎ ‎∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，‎ ‎∴∠AFC＝∠DFC，‎ 在△ACF和△DCF中，‎ ，‎ ‎∴△ACF≌△DCF(SAS)，‎ ‎∴AC＝DC，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴DC＝BC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5. 解：(1)证明：①∵AB⊥AD，AE⊥AC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAE＝90°，‎ ‎∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD，‎ 即∠BAC＝∠DAE，‎ 又∵AB＝AD，AC＝AE，‎ ‎∴△ABC≌△ADE(SAS)；‎ ‎②由①知△ABC≌△ADE，AE＝AC，∠ACB＝∠AED，‎ ‎∵AH⊥CD，‎ ‎∴∠AED＝∠ACD＝45°，CH＝HE，‎ ‎∴∠ACB＝∠AED＝45°，‎ ‎∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，‎ ‎∴AH∥BC，‎ ‎∴点F是BE的中点，即BF＝EF；‎ ‎ 第5题解图 ‎(2)成立．证明如下：如解图，过点B作BG∥AE，交AH于点G，‎ ‎∵AE∥BG，‎ ‎∴∠AGB＝∠GAE，‎ ‎∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠GAE＋∠CAH＝90°，‎ ‎∴∠ACH＝∠GAE，‎ ‎∴∠AGB＝∠ACD，‎ ‎∵∠BAG＋∠DAH＝90°，∠ADC＋∠DAH＝90°，‎ ‎∴∠BAG＝∠ADC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵AB＝AD，‎ ‎∴△ABG≌△DAC(AAS)，‎ ‎∴BG＝AC，‎ ‎∵AC＝AE，‎ ‎∴BG＝AE，‎ ‎∵BG∥AE，‎ ‎∴∠AEF＝∠GBF，‎ ‎∴△BFG≌△EFA(AAS)，‎ ‎∴BF＝EF.‎ 拓展培优训练 ‎1. 70°　【解析】如解图①，在BC上取CD＝AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI＝∠BCI，在△ACI与△DCI中，，∴△ACI≌△DCI(SAS)，∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，∵BC＝AI＋AC，∴BD＝AI，∴BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD＋∠BID＝2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝35°×2＝70°.‎ ‎【一题多解】如解图②，延长CA到D，使AD＝AI，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＋AC，∴BC＝CD，在△BCI与△DCI中，，∴△BCI≌△DCI(SAS)，∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI＝∠D＋∠AID＝2∠D，∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费