命题与证明
一、选择题
1.下列命题中，错误的是（ ）
A. 矩形的对角线互相平分且相等 B. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
C. 等腰梯形的两条对角线相等 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
2.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 一个角的补角一定比这个角大 B. 一个角的余角一定比这个角小
C. 一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上 D. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。
3.已知下列命题中为真命题的是（ ）
① 的算术平方根是4；
②若ma2＞na2 ， 则m＞n；
③正八边形的一个内角的度数是135°；
④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
⑤平分弦的直径垂直于弦．
A. ①③④ B. ②③⑤
C. ①④⑤ D. ②③④
4.给出下列命题:①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。其中错误命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.下列命题中，真命题是
A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
9
C. 圆的切线垂直于经过切点的半径 D. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直
6.下列命题中，真命题是（ ）
A. 4的平方根是2 B. 同位角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补 D. 0没有立方根
7.下列命题是假命题的是（ ）
A. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边距离相等
B. 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 一个三角形中至少有两个锐角
8.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A. 有一个内角大于60° B. 有一个内角小于60°
C. 每一个内角都大于60° D. 每一个内角都小于60°
9.有下列4个命题： ①方程x2﹣（ + ）x+ =0的根是 和 ．
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD= ，则CD=3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2=0，若点P也在y= 的图象上，则k=﹣1．
④若实数B.c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是________．
10.下列命题中是真命题的是（ ）
A. “面积相等的两个三角形全等”是必然事件
B. “任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
C. “同位角相等”这一事件是不可能事件
D. “三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部”这一事件是随机事件
11.下列命题真命题是( )
9
A. 同位角相等 B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 不相等的角不是内错角 D. 同旁内角不互补，两直线不平行
12.下列四个命题中，假命题是（ ）
A. 顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形 B. 四个角相等的四边形是矩形
C. 三边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形
二、填空题
13.命题“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是________
14.下列命题中：
①若 ，则 ；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行.是真命题的是________.（填写所有真命题的序号）
15.命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：________．
16.把命题“平行于同一直线的两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式________．
17.由红点与蓝点组成的16行与16列的正方形点阵中，相邻同色两点用与点同色的线段连接，相邻异色两点均用黄色的线段连接．已知共有133个红点，其中32个点在方阵的边界上，2个点在方阵的角上．若共有196条黄色线段，试问应有 ________条蓝色线段．
18.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．
19.用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设________
20.下面三个命题： ①若 是方程组 的解，则a+b=1或a+b=0；
②函数y=﹣2x2+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）2+3；
③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
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21.命题“如果两个角有公共顶点且互补，那么这两个角是邻补角”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．
22.小红、小强、小华三名同学中有一个把教室打扫得干干净净，事后，老师问他们三人是谁做的好事．小红说：“是小强做的”；小强说：“不是我做的”；小华说：“不是我做的”
如果他们三人中有两个说了假话，一人说了真话，那么老师能判定教室是哪个打扫的吗？
（要有分析）
23.用反证法证明命题“已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE，CD交于点F，则BE，CD不能互相平分”是真命题．
24.如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．（注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）
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25.请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明，若是真命题，请证明．
（1）三角形一条边的两个顶点到这条边的中线所在直线的距离相等．
（2）若 ，则点 在第四象限．
26.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=________
求证：四边形ABCD是________四边形．
填空，补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为________．
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参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3. D 4. B 5.C 6. B 7. C 8. C 9.①②③④ 10. D 11. D 12. D
二、填空题
13.90°圆周角所对的弦是直径 14. ②③④ 15.“如果m是有理数，那么它是整数”
16.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
17.134 18.36°，72°，72°
19.三角形三个内角中最多有一个锐角 20.②③
三、解答题
21.解：它是假命题．
例如：∠AOB=60°，∠COD=120°，∠AOB和∠COD有公共顶点且互补，但它们不是邻补角．
22.解：若小红说的是对的，那么小强，小华就是错的，那么小红与小华的话相矛盾；
若小华说的是对的，那么小红，小强就是错的，那么三人之话也相矛盾；
所以小强所说的是对的．
分析出是小华做的．
∴教室是小华打扫的．
23.证明：设BE，CD互相平分．
∵BE和CD互相平分，
∴连接DE，则四边形DECB是平行四边形，
∴BD∥EC，
∴BD和EC不相交．
9
与△ABC中，AB和AC相交于A矛盾．
∴BE和CD不能互相平分．
24.解：根据互不相邻两点B.D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次，两处之和至少16件次，
因而四个维修点调动件次至少16件，又A.B的配件减少，C.D的配件增加，
所以从A调11件到D，从B调1件到A，调4件到C，共调整了11+1+4=16件．
综上，最少调动16件次．
25.（1）解：真命题，
如图，BF是AC上的中线，则AF=BF，因为 ,所以 ,所以AD=CE
（2）解：若 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，
∴点 (1,0)在x轴的正半轴上,
∴（ ）为假命题
26.（1）CD；平行
（2）证明：连接BD，
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在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形
（3）平行四边形两组对边分别相等
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