第8讲 空间中的平行与垂直
1.(2018江苏盐城高三期中)设向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y= .
2.已知角α的终边经过点P(-1,2),则sin(π+α)+2cos(2π-α)sinα+sinπ2+α= .
3.已知m,n是不重合的两条直线,α,β是不重合的两个平面.下列命题:①若m∥α,m⊂β,则α∥β;②若m∥α,m⊥n,则n⊥α;③若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④若α⊥β,m⊥α,则m∥β.其中所有真命题的序号为 .
4.如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=2,且BE=EC,DF=12FC,则AE·BF= .
5.(2018苏锡常镇四市高三情况调研)已知a>0,b>0,且2a+3b=ab,则ab的最小值是 .
6.(2017镇江高三期末)已知锐角θ满足tanθ=6cosθ,则sinθ+cosθsinθ-cosθ= .
7.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinC+π3=3b.
(1)求A的值;
(2)求cos2B+2cosAsinB的取值范围.
8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q是棱PC上异于P、C的一点.
(1)求证:BD⊥AC;
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(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.
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答案精解精析
1.答案 83
解析 根据题意,向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,y∈R),则有7=2x+3y,8=3x+3y,解得x=1,y=53,则x+y=83.
2.答案 -4
解析 由已知得sinα=25,cosα=-15,原式=-sinα+2cosαsinα+cosα=-25-2525-15=-4.
3.答案 ③
解析 若m∥α,m⊂β,则α∥β或α,β相交,①错误;若m∥α,m⊥n,则n⊂α或n,α平行或相交,②错误;若m⊥α,m⊥β,则α∥β,③正确;若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m⊂β,④错误,故真命题的序号为③.
4.答案 -4
解析 AE·BF=AB+12AD·(AF-AB)=AB+12AD·AD-23AB=-23·AB2+12AD2=-6+2=-4.
5.答案 26
解析 因为a>0,b>0,所以ab=2a+3b≥26ab,解得ab≥26,当且仅当2a=3b时取等号,故ab的最小值是26.
6.答案 3+22
解析 由tanθ=6cosθ得sinθ=6cos2θ=6(1-sin2θ),又θ是锐角,解得sinθ=23=63(舍负),则cosθ=1-sin2θ=33,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=63+3363-33=2+12-1=3+22.
7.解析 (1)由正弦定理和两角和的正弦公式可得
2sinA12sinC+32cosC=3sinB,
sinAsinC+3sinAcosC=3sin(A+C)=3sinAcosC+3cosAsinC,
化简得sinAsinC=3cosAsinC,C是锐角,
则sinC≠0,sinA=3cosA,tanA=3,
则锐角A=π3.
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(2)因为△ABC是锐角三角形,所以C=2π3-B∈0,π2,B∈π6,π2,sinB∈12,1,则cos2B+2cosAsinB=cos2B+sinB=-2sin2B+sinB+1=-2sinB-142+98,所以cos2B+2cosAsinB∈(0,1).
8.证明 (1)PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC,记AC,BD交于点O,连接OP,平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点.又△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.
又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.
(2)四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,
又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF,又AD∥BC,所以QF∥BC.
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