江苏专用2019高考数学二轮复习专题三立体几何第9讲立体几何的综合问题课件.pptx

第 9 讲 立体几何的综合问题 第9讲　立体几何的综合问题     1.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是 　　　     . 答案 　异面或相交 解析 　当两条直线与两条异面直线的交点有4个时,两条直线异面;当两条直 线与两条异面直线的交点有3个时,两条直线相交(如图).   2.过平面 α 外一条直线的平面 β 与平面 α 垂直,则平面 β 的个数可以是 　 　　     . 答案 　一个或无数个 解析 　若这条直线与平面 α 垂直,则平面 β 有无数个;若这条直线与平面 α 不垂 直,则平面 β 只有1个. 3.已知 α , β , γ 是三个平面, m , n 是两条直线,有下列四个命题:①如果 m ⊥ α , m ⊂ β , 那么 α ⊥ β ;②如果 m ⊥ n , m ⊥ α ,那么 n ∥ α ;③如果 α ⊥ β , m ∥ α ,那么 m ⊥ β ;④如果 α ∥ β , α ∩ γ = m , β ∩ γ = n ,那么 m ∥ n .其中正确的命题有 　　　      .(写出所有正确命 题的序号) 答案 　①④ 解析 　由面面垂直的判定定理可知①正确;如果 m ⊥ n , m ⊥ α ,那么 n , α 位置关 系不确定,可能平行或 n ⊂ α ,②错误;如果 α ⊥ β , m ∥ α ,那么 m , β 位置关系不确定, ③错误;由面面平行的性质定理可知④正确. 4.矩形 ABCD 中, AB =4, BC =3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B - AC - D ,则 四面体 ABCD 外接球的体积为 　　　      . 答案        π 解析 　四面体 ABCD 外接球的球心在 AC 的中点,则球的半径 R =   | AC |=   ,体积 为   π R 3 =   ×   =   . 题型一　空间位置关系的证明与计算 例1     (2017江苏盐城期末) 如图,已知平行四边形 ABCD 中, BC =6,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直, G 、 H 分别是 DF 、 BE 的中点. (1)求证: GH ∥平面 CDE ; (2)若 CD =2, DB =4   ,求四棱锥 F - ABCD 的体积.   解析 　(1)证明:连接 FC ,∵ EF ∥ AD , AD ∥ BC , ∴ EF ∥ BC . 又 EF = AD = BC ,∴四边形 EFBC 是平行四边形. 又 H 为 BE 的中点,∴ H 为 FC 的中点. 又∵ G 是 FD 的中点,∴ HG ∥ CD . ∵ HG ⊄ 平面 CDE , CD ⊂ 平面 CDE , ∴ GH ∥平面 CDE .   (2)∵平面 ADEF ⊥平面 ABCD ,交线为 AD ,且 FA ⊥ AD , ∴ FA ⊥平面 ABCD .∵ AD = BC =6, ∴ FA = AD =6. 又∵ CD =2, DB =4   , ∴ CD 2 + DB 2 = BC 2 ,∴ BD ⊥ CD . ∵ S ▱ ABCD = CD · BD =8   , ∴ V F - ABCD =   S ▱ ABCD · FA =   × 8   × 6=16   . 【方法归纳】    解决空间几何体的体积计算的步骤大致有作、证、求,即作 出相关的辅助线,证明空间线面垂直,最后利用体积公式计算,所以要重视逻 辑推理在空间计算中的应用. 1-1     (2018江苏高考信息预测)如图,在四棱锥 P - ABCD 中,侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形, AD =2 AB =2 AP =2, E 为 PD 上一点,且 PE =2 DE . (1)若 F 为 PE 的中点,求证: BF ∥平面 ACE ; (2)求三棱锥 P - ACE 的体积.   解析 　(1)证明:∵ PE =2 DE , F 为 PE 的中点, ∴ E 为 DF 的中点. 连接 BD ,与 AC 的交点为 O ,连接 OE . ∵四边形 ABCD 为矩形,∴ O 为 BD 中点. ∴ BF ∥ OE . 又 OE ⊂ 平面 ACE , BF ⊄ 平面 ACE ,∴ BF ∥平面 ACE . (2)∵侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,且四边形 ABCD 为矩形. ∴ CD ⊥ PA , CD ⊥ AD . 又 PA ∩ AD = A , PA , AD ⊂ 平面 PAD ,∴ CD ⊥平面 PAD . 三棱锥 P - ACE 的体积 V P - ACE = V C - PAE =   × S △ PAE × | CD |=   ×   S △ PAD × | CD | =   ×   ×   × 2 × 1 × 1=   . 题型二　立体几何中的翻折问题 例2     (2018江苏高考信息预测)如图1,在平面多边形 BCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形, EF ∥ AB , AB =2 EF =2,沿着 AB 将图形折成图2,其中∠ AED =90 ° , AE = ED , H 为 AD 的中点. (1)求证: EH ⊥ BD ; (2)求四棱锥 D - ABFE 的体积. 解析 　(1)证明:由题可知, AB ⊥ EA , AB ⊥ AD ,且 EA ∩ AD = A , EA , AD ⊂ 平面 AED . 所以 AB ⊥平面 AED . 因为 EH ⊂ 平面 AED ,所以 AB ⊥ EH . 因为 AE = ED , H 是 AD 的中点,所以 EH ⊥ AD . 又 AB ∩ AD = A , AB , AD ⊂ 平面 ABCD ,所以 EH ⊥平面 ABCD . 又因为 BD ⊂ 平面 ABCD ,所以 EH ⊥ BD . (2) V D - ABFE = V E - ABD + V B - DEF . 其中 V E - ABD =   ×   × AB × AD × EH =   × 2 × 2 × 1=   . 因为   =   ,且 V B - DFC = V F - BCD , 所以 V B - DEF =   V B - DFC =   V F - BCD , 所以 V D - ABFE = V E - ABD + V B - DEF =   +   ×   ×   × 2 × 2 × 1=1. 【方法归纳】    平面图形翻折问题的求解方法: ①解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变量和不变量,一般情况下, 线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的 突破口. ②在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要 分析折叠前的图形. 2-1 　如图①所示,四边形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD = AB ,∠ BCD =45 ° ,∠ BAD =90 ° , 将△ ABD 沿 BD 折起,记折起后 A 的位置为点 P ,且平面 PBD ⊥平面 BCD (如图 ②).   求证:(1) CD ⊥平面 PBD ;(2)平面 PBC ⊥平面 PDC . 证明 　(1)∵ AD = AB ,∠ BAD =90 ° , ∴∠ ABD =∠ ADB =45 ° . 又∵ AD ∥ BC ,∴∠ DBC =∠ ADB =45 ° . 又∠ DCB =45 ° ,∴∠ BDC =90 ° ,即 BD ⊥ DC . ∵平面 PBD ⊥平面 BCD ,平面 PBD ∩ 平面 BCD = BD , ∴ CD ⊥平面 PBD . (2)由 CD ⊥平面 PBD 得 CD ⊥ BP . 又 BP ⊥ PD , PD ∩ CD = D ,∴ BP ⊥平面 PDC , 又 BP ⊂ 平面 PBC ,∴平面 PBC ⊥平面 PDC . 题型三　立体几何中的探索性问题 例3     (2017江苏扬州中学高三期中)如图,在斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,侧面 A 1 ABB 1 是菱形,且垂直于底面 ABC ,∠ A 1 AB =60 ° , E , F 分别是 AB 1 , BC 的中点. (1)求证:直线 EF ∥平面 A 1 ACC 1 ; (2)在线段 AB 上确定一点 G ,使平面 EFG ⊥平面 ABC ,并给出证明.   解析 　(1)证明:连接 A 1 C , A 1 B . ∵侧面 A 1 ABB 1 是菱形, E 是 AB 1 的中点, ∴ E 也是 A 1 B 的中点, 又 F 是 BC 的中点,∴ EF ∥ A 1 C . ∵ A 1 C ⊂ 平面 A 1 ACC 1 , EF ⊄ 平面 A 1 ACC 1 , ∴直线 EF ∥平面 A 1 ACC 1 .   (2)当   =   时,平面 EFG ⊥平面 ABC , 证明如下:连接 EG , FG . ∵侧面 A 1 ABB 1 是菱形,且∠ A 1 AB =60 ° , ∴△ A 1 AB 是等边三角形. ∵ E 是 A 1 B 的中点,   =   , ∴ EG ⊥ AB . ∵平面 A 1 ABB 1 ⊥平面 ABC , 且平面 A 1 ABB 1 ∩ 平面 ABC = AB , ∴ EG ⊥平面 ABC . 又 EG ⊂ 平面 EFG ,∴平面 EFG ⊥平面 ABC . 【方法归纳】    立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究 以及对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索 性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证, 若得到合乎情理的结论,则肯定假设,若得到矛盾的结论,则否定假设. 3-1     (2017江苏无锡模拟)如图所示,在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 是棱 DD 1 的 中点. (1)证明:平面 ADC 1 B 1 ⊥平面 A 1 BE ; (2)在棱 C 1 D 1 上是否存在一点 F ,使 B 1 F ∥平面 A 1 BE ?证明你的结论.   解析 　(1)证明:因为立体图形 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体,所以 B 1 C 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 , 因为 A 1 B ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ,所以 B 1 C 1 ⊥ A 1 B . 又因为 A 1 B ⊥ AB 1 , B 1 C 1 ∩ AB 1 = B 1 ,所以 A 1 B ⊥平面 ADC 1 B 1 . 因为 A 1 B ⊂ 平面 A 1 BE ,所以平面 ADC 1 B 1 ⊥平面 A 1 BE . (2)当点 F 为 C 1 D 1 的中点时, B 1 F ∥平面 A 1 BE .证明如下: 如图,连接 OE , EF ,   易知 EF ∥ C 1 D ,且 EF =   C 1 D . 又因为 B 1 O ∥ C 1 D 且 B 1 O =   C 1 D , 所以 EF ∥ B 1 O 且 EF = B 1 O , 所以四边形 B 1 OEF 为平行四边形, 所以 B 1 F ∥ OE . 又因为 B 1 F ⊄ 平面 A 1 BE , OE ⊂ 平面 A 1 BE , 所以 B 1 F ∥平面 A 1 BE .