江苏专用2019高考数学二轮复习专题三立体几何第8讲空间中的平行与垂直课件.pptx

专题三 立体几何 第 8 讲　空间中的平行与垂直 第8讲　空间中的平行与垂直     1.(2017江苏启东中学检测)设 l , m 为直线, α , β 为平面,且 l ⊂ α , m ⊂ β ,则“ l ∩ m = ⌀ ”是“ α ∥ β ”的 　　　     条件. 答案 　必要不充分 解析 　若 l ⊂ α , m ⊂ β , l ∩ m = ⌀ ,则 α , β 可能平行或相交;反之,若 l ⊂ α , m ⊂ β ,且 α ∥ β ,则必有 l ∩ m = ⌀ ,所以“ l ∩ m = ⌀ ”是“ α ∥ β ”的必要不充分条件. 2. α , β 为两个不同的平面, m , n 为两条不同的直线,下列命题中正确的是 　　     (填上所有正确命题的序号). ①若 α ∥ β , m ⊂ α ,则 m ∥ β ; ②若 m ∥ α , n ⊂ α ,则 m ∥ n ; ③若 α ⊥ β , α ∩ β = n , m ⊥ n ,则 m ⊥ β ; ④若 n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α ,则 m ⊥ β . 答案 　①④ 解析 　由面面平行的性质可得①正确;若 m ∥ α , n ⊂ α ,则 m , n 平行或异面,②错 误;由面面垂直的性质定理可知③中缺少条件“ m ⊂ α ”,错误;若 n ⊥ α , n ⊥ β ,则 α ∥ β ,又 m ⊥ α ,则 m ⊥ β ,④正确. 3.下列命题中,正确的序号是 　　　     . (1)平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平 行; (2)平行于同一个平面的两个平面平行; (3)若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线互相平行; (4)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 答案 　(1)(2)(4) 解析 　若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线互相平行或异面,(3)错 误;由面面平行的判定和性质可得(1)(2)(4)都正确. 4.已知平面 α ⊥平面 β , α ∩ β = l ,直线 m ⊂ α ,直线 n ⊂ β ,且 m ⊥ n ,有以下四个结论:① 若 n ∥ l ,则 m ⊥ β ;②若 m ⊥ β ,则 n ∥ l ;③ m ⊥ β 和 n ⊥ α 同时成立;④ m ⊥ β 和 n ⊥ α 中 至少有一个成立.其中正确结论的序号是 　　　      . 答案 　①④ 解析 　若 n ∥ l ,则 m ⊥ l ,由面面垂直的性质定理可得 m ⊥ β ,①正确;若 m ⊥ β , 则 m ⊥ l ,又 m ⊥ n ,此时 n , l 的位置关系不确定,可能平行或相交,②错误; m ⊥ β 和 n ⊥ α 可能同时成立,也可能只有一个成立,③错误;④正确. 题型一　以锥体为载体的空间线面关系 例1     (2018江苏南京高三模拟)如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA =   ,其余棱长均 为2, M 是棱 PC 上的一点, D , E 分别为棱 AB , BC 的中点. (1)求证: 平面 PBC ⊥平面 ABC ; (2)若 PD ∥平面 AEM ,求 PM 的长.   解析 　(1)证明:如图,连接 PE . 因为△ PBC 是边长为2的正三角形, E 为 BC 中点, 所以 PE ⊥ BC , 且 PE =   ,同理 AE =   .因为 PA =   ,所以 PE 2 + AE 2 = PA 2 ,所以 PE ⊥ AE . 因为 PE ⊥ BC , PE ⊥ AE , BC ∩ AE = E , AE , BC ⊂ 平面 ABC , 所以 PE ⊥平面 ABC . 因为 PE ⊂ 平面 PBC , 所以平面 PBC ⊥平面 ABC . (2)如图,连接 CD 交 AE 于 O ,连接 OM . 因为 PD ∥平面 AEM , PD ⊂ 平面 PDC , 平面 AEM ∩ 平面 PDC = OM , 所以 PD ∥ OM ,所以   =   . 因为 D , E 分别为 AB , BC 的中点, CD ∩ AE = O , 所以 O 为△ ABC 的重心,所以   =   , 所以 PM =   PC =   . 【方法归纳】    以锥体为载体的空间线面关系问题,首先要考虑锥体的几何 特征,然后根据要证明的问题选择相应的判定定理或性质定理. 1-1     (2018苏锡常镇四市高三调研)如图,在四棱锥 P - ABCD 中,∠ ADB =90 ° , CB = CD ,点 E 为棱 PB 的中点. (1)若 PB = PD ,求证: PC ⊥ BD ; (2)求证: CE ∥平面 PAD .   证明 　(1)取 BD 的中点 O ,连接 CO , PO ,   因为 CD = CB ,所以△ CBD 为等腰三角形,所以 BD ⊥ CO . 因为 PB = PD ,所以△ PBD 为等腰三角形,所以 BD ⊥ PO . 又 PO ∩ CO = O ,所以 BD ⊥平面 PCO . 因为 PC ⊂ 平面 PCO ,所以 PC ⊥ BD . (2)由 E 为 PB 中点,连接 EO ,则 EO ∥ PD , 又 EO ⊄ 平面 PAD ,所以 EO ∥平面 PAD . 由于∠ ADB =90 ° ,以及 BD ⊥ CO ,所以 CO ∥ AD , 又 CO ⊄ 平面 PAD ,所以 CO ∥平面 PAD . 又 CO ∩ EO = O ,所以平面 CEO ∥平面 PAD , 而 CE ⊂ 平面 CEO ,所以 CE ∥平面 PAD . 题型二　以柱体为载体的空间线面关系 例2     (2018南通高三调研)如图,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, AB = AC ,点 E , F 分别在 BB 1 , CC 1 上(均异于端点),且∠ ABE =∠ ACF , AE ⊥ BB 1 , AF ⊥ CC 1 . 求证:(1)平面 AEF ⊥平面 BB 1 C 1 C ; (2) BC ∥平面 AEF . 证明 　(1)在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, BB 1 ∥ CC 1 . 因为 AF ⊥ CC 1 ,所以 AF ⊥ BB 1 . 又 AE ⊥ BB 1 , AE ∩ AF = A , AE , AF ⊂ 平面 AEF , 所以 BB 1 ⊥平面 AEF . 又因为 BB 1 ⊂ 平面 BB 1 C 1 C , 所以平面 AEF ⊥平面 BB 1 C 1 C . (2)因为 AE ⊥ BB 1 , AF ⊥ CC 1 , ∠ ABE =∠ ACF , AB = AC , 所以Rt△ AEB ≌Rt△ AFC . 所以 BE = CF . 又由(1)知, BE ∥ CF , 所以四边形 BEFC 是平行四边形, 从而 BC ∥ EF . 又 BC ⊄ 平面 AEF , EF ⊂ 平面 AEF , 所以 BC ∥平面 AEF . 【方法归纳】    (1)面面垂直的证明依据是面面垂直的判定定理,即要证面面 垂直,则必须证明线面垂直,所以又要寻找线线垂直.(2)证明线面平行的方法 一般有两种:一是利用线面平行的判定定理,利用三角形中位线的性质或平行 四边形对边互相平行的性质寻找线线平行;二是先利用面面平行的判定定理 证明面面平行,再由面面平行的性质证明线面平行. 2-1 　如图,在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为平行四边形, C 1 B = C 1 D .   求证:(1) B 1 D 1 ∥平面 C 1 BD ; (2)平面 C 1 BD ⊥平面 AA 1 C 1 C . 证明 　(1)在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, BB 1 ∥ DD 1 ,且 BB 1 = DD 1 , 所以四边形 BDD 1 B 1 为平行四边形, 所以 B 1 D 1 ∥ BD . 又 BD ⊂ 平面 C 1 BD , B 1 D 1 ⊄ 平面 C 1 BD , 所以 B 1 D 1 ∥平面 C 1 BD . (2)设 AC 与 BD 交于点 O ,连接 C 1 O . 因为底面 ABCD 为平行四边形, 所以 O 为 BD 的中点, 又 C 1 B = C 1 D ,所以 C 1 O ⊥ BD . 在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, C 1 C ⊥平面 ABCD . 又 BD ⊂ 平面 ABCD , 所以 C 1 C ⊥ BD . 又因为 C 1 O ∩ C 1 C = C 1 , C 1 O , C 1 C ⊂ 平面 AA 1 C 1 C , 所以 BD ⊥平面 AA 1 C 1 C . 又 BD ⊂ 平面 C 1 BD , 所以平面 C 1 BD ⊥平面 AA 1 C 1 C . 题型三　以不规则几何体为载体的空间线面关系 例3 　如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, AC , BD 相交于点 O , EF ∥ AB , AB =2 EF ,平面 BCF ⊥平面 ABCD , BF = CF ,点 G 为 BC 的中点. 求证:(1)直线 OG ∥平面 EFCD ; (2)直线 AC ⊥平面 ODE . 证明 　(1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ∩ BD = O , ∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 是 BC 的中点,∴ OG ∥ CD ,且 OG =   CD . 又∵ OG ⊄ 平面 EFCD , CD ⊂ 平面 EFCD , ∴直线 OG ∥平面 EFCD . (2)∵ BF = CF ,点 G 为 BC 的中点,∴ FG ⊥ BC . ∵平面 BCF ⊥平面 ABCD ,平面 BCF ∩ 平面 ABCD = BC , FG ⊂ 平面 BCF , FG ⊥ BC . ∴ FG ⊥平面 ABCD . ∵ AC ⊂ 平面 ABCD ,∴ FG ⊥ AC . ∵ OG ∥ AB , OG =   AB , EF ∥ AB , EF =   AB , ∴ OG ∥ EF , OG = EF , ∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴ FG ∥ EO . ∵ FG ⊥ AC ,∴ AC ⊥ EO . ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ⊥ DO , ∵ EO ∩ OD = O , EO 、 DO 在平面 ODE 内, ∴直线 AC ⊥平面 ODE . 【方法归纳】    证明或探究空间中线线、线面与面面平行或垂直的位置关 系时,(1)要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理好常用的位置关系的证 明方法,如证明线面平行,既可以构造线线平行,也可以构造面面平行;(2)要掌 握解题时由已知想性质、由求证想判定,即综合法与分析法相结合来寻找证 明的思路.证题时要避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论.此外,要 会分析一些非常规放置的空间几何体.