单元评价检测(二)
(第十七章)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.(2017·临沂期中)以下列各组线段为边,能构成直角三角形的是 ( )
A.8cm,9cm,10cm B.cm,cm,cm
C.1cm,2cm,cm D.6cm,7cm,8cm
【解析】选C.A.∵82+92≠102,∴不能构成直角三角形;
B.∵()2+()2≠()2,∴不能构成直角三角形;
C.∵12+()2=22,∴能构成直角三角形;
D.∵62+72≠82,∴不能构成直角三角形.
2.(2017·瑶海区期中)一直角三角形的三边分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为 ( )
A.13 B.5 C.13或5 D.4
【解析】选C.当2和3都是直角边时,则x2=4+9=13;当3是斜边时,则x2=9-4=5.
3.下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
导学号42684311
A.若a=b,则|a|=|b|
B.全等三角形的周长相等
C.若a=0,则ab=0
D.有两边相等的三角形是等腰三角形
【解析】选D.A的逆命题是若|a|=|b|,则a=b.假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形.假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0.假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等.真命题.
4.(2017·淮安模拟)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ( )
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A.5 B.6 C.7 D.25
【解析】选A.如图,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.
5.已知两条线段长分别为3,4,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是
( )
A.5 B.
C.5或 D.不能确定
【解析】选C.当第三条线段为直角边时,4为斜边,根据勾股定理得第三边长为=;当第三条线段为斜边时,根据勾股定理得第三边长为=5.
6.(2017·湖州中考)七巧板是我国祖先的一项卓越创造.下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的,则不是小明拼成的那副图是 ( )
【解析】选C.设③中直角边的长为1,则①的斜边的长为2,在C中,⑦斜边的长为2,④的短边的长为1,而2≠3,故C错误.
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7.如图所示,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ( )
导学号42684312
A.cm B.5 cm
C.3cm D.7 cm
【解析】选B.画出该圆柱的侧面展开图如图所示,则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长.在
Rt△ACP中,AC==3(cm),PC=BC=4cm,所以AP==5(cm).
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.写出“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题:__________________.
【解析】交换原命题的题设与结论,即可得到它的逆命题.
答案:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°
9.已知△ABC的三边a,b,c满足(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,则△ABC是__________三角形.
【解析】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,
∴a=5,b=12,c=13,
∵52+122=132,∴△ABC是直角三角形.
答案:直角
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,则BC=________.
【解析】由勾股定理得,BC==4.
答案:4
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11.(2017·邵阳中考)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=.现已知△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为________.
【解析】将a=1,b=2,c=代入得
S==1.
答案:1
12.(2017·武汉中考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.
导学号42684313
【解析】如图,将△ABD沿AD翻折得△AFD,可证△ACE≌△AFE,∴BD=DF,CE=EF,
∠AFD=∠B=30°,∠AFE=∠C=30°,
∴∠DFE=60°,
作EH⊥DF于H,设BD=2CE=4x,
则EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,
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DE2=DH2+EH2,∵在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,易得BC=6,∴(6-6x)2=(3x)2+(x)2,
解得:x1=,x2=(舍去),
∴DE=6-6x=3-3.
答案:3-3
三、解答题(共47分)
13.(10分)(2017·河北区模拟)如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=45°,∠C=
30°,AD=1,求△ABC的周长.
【解题指南】先根据题意得出AD=BD,再由勾股定理得出AB的长,在Rt△ADC中,根据直角三角形的性质得出AC及CD的长,进而可得出结论.
【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB中,
∵∠B+∠BAD=90°,∠B=45°,
∴∠B=∠BAD=45°,
∴AB=BD=1,AB=.
在Rt△ADC中,
∵∠C=30°,∴AC=2AD=2,
∴CD=,BC=BD+CD=1+,
∴AB+AC+BC=++3.
【变式训练】(2017·武城县校级月考)如图,
在△ABC中,∠C=60°,AB=14,AC=10,求BC的长.
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【解析】如图,
过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ACD中,AC=10,∠C=60°,
∴CD=AC=5,AD=5,
∵AB=14,
∴BD==11,
∴BC=CD+BD=16.
14.(12分)(2017·岱岳区期中)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AD=12, CD=9,AB=25,BC=20,求四边形ABCD的面积.
导学号42684314
【解析】连接AC,
在△ADC中,
∵∠D=90°,AD=12,CD=9,
∴AC==15,
S△ADC=AD·CD=×12×9=54,
在△ABC中,
∵AC=15,AB=25,BC=20,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ACB是直角三角形,
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∴S△ACB=AC·BC=×15×20=150.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=150+54=204.
15.(12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理.
【解析】∵四边形BCC′D′为直角梯形,
∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′,∴∠BAC=∠B′AC′,
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′
=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=,
即=,整理,得a2+b2=c2.
16.(13分)小强家有一块三角形菜地,量得两边长分别为40m,50m,第三边上的高为30m.请你帮小强计算这块菜地的面积.(结果保留根号)
导学号42684315
【解题指南】要求面积,则要构成直角三角形,根据题意可画出草图.此题需分两种情况讨论:
(1)若∠ACB为钝角时,作BD⊥AC交AC的延长线于D;
(2)若∠ACB为锐角时,作BD⊥AC交AC于D.
两种情况下,分别利用勾股定理解直角三角形,可求出△ABC的高,则面积可求.
【解析】分两种情况:
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(1)如图,当∠ACB为钝角时,
∵BD是高,∴∠ADB=90°.
在Rt△BCD中,BC=40,BD=30,
∴CD=
==10.
在Rt△ABD中,AB=50,
∴AD==40.
∴AC=AD-CD=40-10,
∴S△ABC=AC·BD=×(40-10)×30
=(600-150)(m2).
(2)当∠ACB为锐角时,∵BD是高,∴∠ADB=∠BDC=90°,在Rt△ABD中,AB=50,BD=30,
∴AD==40.
同理CD===10,
∴AC=AD+CD=(40+10),
∴S△ABC=AC·BD=×(40+10)×30
=(600+150)m2,
综上所述:S△ABC=(600±150)m2.
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