人教版八年级下第17章《勾股定理》单元检测试卷含答案.doc

‎2017—2018学年人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元检测与简答 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列各组数中，是勾股数的为（　　）‎ A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13‎ ‎2．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　）‎ A．61 B．71 C．81 D．91‎ ‎3．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　）‎ A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 ‎4．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 ‎（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）‎ A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11‎ ‎6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（　　）‎ A．5 B． C．4 D．3‎ ‎7．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　）‎ A．18m B．10m C．14m D．24m ‎8．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（　　）‎ A．30m B．40m C．50m D．70m ‎9．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=2，△ABC的周长为（　　）‎ A．6+2 B．10 C．8+2 D．12‎ ‎10．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△‎ ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．在4×4的方格中，△ABC的三个顶点均在格点上，其中AB=，BC=2，AC=．则△ABC中AC边上的高的长为　 　．（保留根号）‎ ‎12．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过　 　小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）‎ ‎13．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=　 　．‎ ‎14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是　 　．‎ ‎15．已知一个三角形的三边长分别为，，2，则这个三角形的面积为　 　．‎ ‎16．请你任意写出二组勾股数　 　．‎ ‎17．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为　 　．‎ ‎18．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a=　 　．（提示：5=，13=，…）‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎19．如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2，BC=，画出△ABC，并判断△ABC是不是直角三角形．‎ ‎20．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出 ‎（1）当a=19时，求b、c的值；‎ ‎（2）当a=2n+1时，求b、c的值；‎ ‎（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．‎ ‎（1）已知CD=4cm，求AC的长；‎ ‎（2）求证：AB=AC+CD．‎ ‎22．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．‎ ‎（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；‎ ‎（2）写出当a=17时，b，c的值． ‎ ‎3，4，5　‎ ‎　32+42=52‎ ‎　5，12，13，‎ ‎　52+122=132‎ ‎　7，24，25‎ ‎　72+242=252‎ ‎　9，40，41‎ ‎　92+402=412‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎　17，b，c ‎　172+b2=c2‎ ‎23．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）‎ ‎24．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．‎ ‎（1）求港口A到海岛B的距离；‎ ‎（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？‎ ‎　‎ ‎2017—2018学年人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元检测简答 一．选择题（共10小题）‎ ‎1． C． 2． C． 3． C． 4． C． 5． B． 6． B． 7． A． 8． C ‎9． A． 10． D．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．　　．（保留根号） 12．　　 13．　18　．‎ ‎14． 4，3，5（答案不唯一）　． 15． 　．‎ ‎16．　3、4、5，5、12、13　． 17．　　． 18． 17　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎19．如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2，BC=，画出△ABC，并判断△ABC是不是直角三角形．‎ ‎【分析】根据勾股定理结合网格结构，求出AB2=42+32=25，画出AC=2，BC=，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形．‎ ‎【解答】解：如图，△ABC即为所求．‎ ‎∵AC=2，BC=，‎ ‎∴AC2+BC2=20+5=25，‎ ‎∵AB2=42+32=25，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．‎ ‎　‎ ‎20．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出 ‎（1）当a=19时，求b、c的值；‎ ‎（2）当a=2n+1时，求b、c的值；‎ ‎（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值．‎ ‎（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．‎ ‎（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．‎ ‎【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1‎ ‎∵a=19，a2+b2=c2，‎ ‎∴192+b2=（b+1）2，‎ ‎∴b=180，‎ ‎∴c=181；‎ ‎（2）通过观察知c﹣b=1，‎ ‎∵（2n+1）2+b2=c2，‎ ‎∴c2﹣b2=（2n+1）2，‎ ‎（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，‎ 又c=b+1，‎ ‎∴2b+1=（2n+1）2，‎ ‎∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；‎ ‎（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，‎ 当n=7时，2n+1=15，112﹣111=1，‎ 但2n2+2n=112≠111，‎ ‎∴15，111，112不是一组勾股数．‎ ‎【点评】此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．‎ ‎（1）已知CD=4cm，求AC的长；‎ ‎（2）求证：AB=AC+CD．‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值．‎ ‎（2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD．‎ ‎【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，‎ ‎∴DE=CD=4cm，‎ 又∵AC=BC，‎ ‎∴∠B=∠BAC，‎ 又∵∠C=90°，‎ ‎∴∠B=∠BDE=45°，‎ ‎∴BE=DE=4cm．‎ 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，‎ ‎∴AC=BC=CD+BD=4+（cm）．‎ ‎（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，‎ ‎∴∠ADE=∠ADC，‎ ‎∴AC=AE，‎ 又∵BE=DE=CD，‎ ‎∴AB=AE+BE=AC+CD．‎ ‎【点评】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，比较简单．‎ ‎　‎ ‎22．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．‎ ‎（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；‎ ‎（2）写出当a=17时，b，c的值． ‎ ‎3，4，5　‎ ‎　32+42=52‎ ‎　5，12，13，‎ ‎　52+122=132‎ ‎　7，24，25‎ ‎　72+242=252‎ ‎　9，40，41‎ ‎　92+402=412‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎　17，b，c ‎　172+b2=c2‎ ‎【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；‎ ‎（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．‎ ‎【解答】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：‎ ‎①以上各组数均满足a2+b2=c2；‎ ‎②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；‎ ‎③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，‎ 如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…‎ 由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：‎ 设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），‎ 则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，‎ 证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），‎ ‎∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，‎ ‎∴m，n，（n+1）是一组勾股数；‎ ‎（2）运用以上结论，当a=17时，‎ ‎∵172=289=144+145，‎ ‎∴b=144，c=145．‎ ‎【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．‎ ‎　‎ ‎23．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）‎ ‎【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB﹣AD可得BD长．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m，AC=5m，‎ ‎∴（m），‎ ‎∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，‎ ‎∴CD=13﹣0.5×10=8（m），‎ ‎∴（m），‎ ‎∴）（m）．‎ 答：船向岸边移动了）m．‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．‎ ‎　‎ ‎24．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．‎ ‎（1）求港口A到海岛B的距离；‎ ‎（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？‎ ‎【分析】（1）作BD⊥AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC之间的关系列出方程求解．‎ ‎（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D 在Rt△BCD中，∠BCD=60°，设CD=x，则BD=，BC=2x 在Rt△ABD中，∠BAD=45°‎ 则AD=BD=，AB=BD=‎ 由AC+CD=AD得20+x=‎ 解得：x=10+10‎ 故AB=30+10‎ 答：港口A到海岛B的距离为海里．‎ ‎（2）甲船看见灯塔所用时间：小时 乙船看见灯塔所用时间：小时 所以乙船先看见灯塔．‎ ‎【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．‎ ‎　‎