18.2.3 正方形
01 基础题
知识点1 正方形的性质
(1)定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC或AD，∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
图1 图2
(2)性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，AD∥BC，
AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∠OAD＝∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝∠OCD＝∠ODC＝∠ODA＝45°.
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
8
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)
A．14 B．15 C．16 D．17
第2题图 第3题图
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45__°．
4．(2018·吉林)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90 °.
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90 °.
∵∠ABF＋∠CBG＝90 °，
∴∠BCE＝∠ABF.
在△BCE和△ABF中，
∴△BCE≌△ABF(ASA)．
8
∴BE＝AF.
知识点2 正方形的判定
(1)用定义判定：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC或AD，∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
图1 图2
(2)一组邻边相等的矩形是正方形．
如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC或AD，
∴四边形ABCD是正方形．
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形．
如图2，∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
(4)有一个角是直角的菱形是正方形．
如图1，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝90__°，
∴四边形ABCD是正方形．
(5)对角线相等的菱形是正方形．
如图2，∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
5．下列说法不正确的是(D)
A．一组邻边相等的矩形是正方形
8
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90 °，∠DEC＝90 °.
又∵∠ACB＝90 °，
∴四边形CEDF是矩形．
∵DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形．
02 中档题
7．(2018·遵义期末模拟)如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是(A)
A．(－2，4)，(1，3)
8
B．(－2，4)，(2，3)
C．(－3，4)，(1，4)
D．(－3，4)，(1，3)
8．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝75度．
第8题图 第9题图
9． 如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是3.
10．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证：AM＝EF.
证明：连接MC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDM＝45 °.
又∵DM＝DM，
∴△ADM≌△CDM(SAS)．
∴AM＝CM.
∵ME∥CD，MF∥BC，
∴四边形CEMF是平行四边形．
8
又∵∠ECF＝90 °，
∴四边形CEMF是矩形．∴EF＝MC.
∴AM＝EF.
11． 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠B＝∠D.
又∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴BE＝DF.
∴△BCE≌△DCF(SAS)．
(2)若AB⊥BC，则四边形AEOF为正方形，理由如下：
∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.
又BC∥AD，∴OE∥AD.∴OE∥AF.
同理可证OF∥AE，
∴四边形AEOF为平行四边形．
由(1)可得AE＝AF，
∴四边形AEOF为菱形．
∵AB⊥BC，∴∠BAD＝90 °.
8
∴菱形AEOF为正方形．
03 综合题
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90 °.
∵∠ACB＝90 °，
∴∠ACB＝∠DFB.
∴AC∥DE.
又∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：
∵D为AB中点，∴AD＝BD.
又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE.
又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB＝90 °，D为AB中点，
∴CD＝AB＝BD.
8
∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45 °时，四边形BECD是正方形．理由：
∵∠ACB＝90 °，∠A＝45 °，
∴∠ABC＝∠A＝45 °.∴AC＝BC.
∵D为AB中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90 °.
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
8
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