18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的定义和性质
(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
图1 图2
(2)矩形的性质：矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等．
如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB CD，AD BC，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD．
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(D)
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A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为(A)
A．4 B．4 C．3 D．5
第2题图 第3题图
3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)
A．8 B．6 C．4 D．2
4．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．
5．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于16cm.
6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90 °.
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∴∠BFE＋∠BEF＝90 °.
∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90 °.∴∠BFE＋∠CFD＝90 °.
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)．∴BF＝CD.
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，则CD＝AB．
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝(B)
A．30° B．40°
C．45° D．60°
第7题图 第8题图
8．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝3．
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02 中档题
9．(2017·遵义汇川区期中)如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝12，则HE等于(B)
A．24 B．12 C．6 D．8
第9题图 第10题图
10．如图，在矩形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是(C)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长不能确定
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18° B．36° C．45° D．72°
第11题图 第12题图
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使BC＝2CD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝3．
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13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是5．
第13题图 第14题图
14．如图，把一张矩形纸片沿对角线BD折叠，若AD＝8，CE＝3，则DE＝5．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90 °，AC＝BD，
OD＝BD，OC＝AC，即OD＝OC.
∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，
即∠EDO＝∠FCO.
又∵DE＝CF，
∴△ODE≌△OCF(SAS)．
∴OE＝OF.
16．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
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(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)．
∴CD＝FA.
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
理由：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45 °.
∵∠CDE＝90 °，
∴△CDE是等腰直角三角形．
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝2CD.
∵AD＝BC，
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∴BC＝2CD.
03 综合题
17．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则AM的最小值为．
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