2019版八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定第1课时一课一练基础闯关新版新人教版.doc

平行四边形的判定 一课一练·基础闯关 题组平行四边形的判定 ‎1.下列说法错误的是　(　　)‎ A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形 ‎【解析】选D.A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形,故本选项说法错误.‎ ‎2.(2017·衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是　(　　)‎ ‎ ‎ A.AB=CD B.BC=AD C.∠A=∠C D.BC∥AD ‎【解析】选B.添加B,具备“一组对边平行,另一组对边相等”的条件,不能推断为平行四边形,B错误.‎ ‎【变式训练】下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是　(　　)‎ A.AB=BC,AD=CD　　 B.AB∥CD,∠A=∠B C.AB∥CD,∠B=∠D D.∠A=∠B,∠C=∠D ‎【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠D+∠A=180°,‎ ‎∵∠B=∠D ‎∴∠B+∠A=180°,∴AD∥BC,‎ - 10 -‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎3.(2017·牡丹江中考)如图,点E,F分别放在▱ABCD的边BC,AD上,AC,EF交于点O,请你添加一个条件(只添一个即可),使四边形AECF是平行四边形,你所添加的条件是________.‎ 世纪金榜导学号42684057‎ ‎ ‎ ‎【解析】AF=CE,理由是:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥CE,∵AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形.‎ 答案:AF=CE(答案不唯一)‎ ‎4.(2017·新疆生产建设兵团中考)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.　‎ 世纪金榜导学号42684058‎ ‎(1)求证:△ACD≌△CBE.‎ ‎(2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎【证明】(1)∵点C是AB的中点,‎ ‎∴AC=BC,在△ADC与△CEB中,‎ ‎∴△ACD≌△CBE(SSS).‎ ‎(2)连接DE,如图所示,‎ - 10 -‎ ‎ ‎ ‎∵△ACD≌△CBE,‎ ‎∴∠ACD=∠CBE,‎ ‎∴CD∥BE,‎ 又∵CD=BE,‎ ‎∴四边形CBED是平行四边形.‎ ‎(2017·镇江中考)如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.‎ ‎(1)求证:四边形BCED是平行四边形.‎ ‎(2)已知DE=2,连接BN.若BN平分∠DBC,求CN的长.‎ ‎ ‎ ‎【解析】(1)∵∠A=∠F,‎ ‎∴DF∥AC.‎ ‎ ‎ 又∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2.‎ ‎∴DB∥EC.‎ ‎∵DB∥EC,DF∥AC,∴四边形BCED为平行四边形.‎ - 10 -‎ ‎(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC,‎ ‎∵DB∥EC,∴∠DBN =∠BNC,‎ ‎∴∠NBC =∠BNC,∴BC=CN.‎ ‎∵四边形BCED为平行四边形,‎ ‎∴BC=DE=2.∴CN=2.‎ 题组平行四边形性质与判定的综合应用 ‎1.(2017·滦南县一模)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD上的点,有下列条件:①AE∥CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF,若要添加其中一个条件,使四边形AECF一定是平行四边形,则添加的条件可以是　(　　)‎ ‎ ‎ A.①②③④ B.①②③‎ C.②③④ D.①③④‎ ‎【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,AD=BC,∠BAD=∠BCD,‎ ‎∴当①AE∥CF时,四边形AECF是平行四边形;故正确;‎ 当②BE=FD时,CE=AF,则四边形AECF是平行四边形;故正确;‎ 当③∠1=∠2时,∠EAF=∠ECF,‎ ‎∵∠EAF+∠AEC=180°,∠AFC+∠ECF=180°,‎ ‎∴∠AFC=∠AEC,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形;故正确;‎ ‎④若AE=AF,则四边形AECF是平行四边形或等腰梯形.故错误.‎ ‎2.(2017·聊城中考)如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,求证:AC∥DF.　‎ - 10 -‎ 世纪金榜导学号42684059‎ ‎ ‎ ‎【解题指南】方法一:连接AD.先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABED是平行四边形,再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ACFD是平行四边形,由平行四边形的性质解决问题.‎ 方法二:首先由BE=CF可以得到BC=EF,然后利用边角边证明△ABC≌△DEF,最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题.‎ ‎【证明】方法一:‎ 连接AD.‎ ‎∵AB∥DE,AB=DE,‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形.‎ ‎∴AD∥BE,AD=BE.‎ ‎∵BE=CF,‎ ‎∴AD=CF.‎ 又∵AD∥CF,‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形.‎ ‎∴AC∥DF.‎ 方法二:∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,‎ 又∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ - 10 -‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF.‎ ‎3.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与BC,AD分别交于点E,F.试猜想线段AE,CF的关系,并说明理由.　世纪金榜导学号42684060‎ ‎ ‎ ‎【解析】AE与CF的关系是平行且相等.‎ 理由:∵在▱ABCD中,‎ ‎∴OA=OC,AF∥EC,‎ ‎∴∠OAF=∠OCE,‎ 在△OAF和△OCE中, ‎ ‎∴△OAF≌△OCE(ASA),‎ ‎∴AF=CE,‎ 又∵AF∥CE,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ ‎∴AE∥CF且AE=CF,‎ 即AE与CF的关系是平行且相等.‎ ‎ ‎ ‎　 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.‎ 求证:四边形ABCD是平行四边形.‎ - 10 -‎ 世纪金榜导学号42684061‎ ‎ ‎ ‎【证明】∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠EAD=∠FCB=90°,‎ ‎∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,‎ 在Rt△AED和Rt△CFB中, ‎ ‎∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS),‎ ‎∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. ‎ ‎【母题变式】已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证:四边形ABCD为平行四边形.‎ ‎【证明】∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.‎ ‎∵BE∥DF,∴∠BEF=∠DFE.∴∠AEB=∠CFD.‎ 在△AEB和△CFD中, ,‎ ‎∴△AEB≌△CFD.∴AB=CD.‎ 又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎ [变式一]如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.‎ 求证:(1)△AFD≌△CEB.‎ ‎(2)四边形ABCD是平行四边形.‎ - 10 -‎ ‎ ‎ ‎【证明】(1)∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.‎ 又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB(SAS).‎ ‎(2)由(1)知△AFD≌△CEB,‎ ‎∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,∴AD∥BC.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).‎ ‎[变式二]已知:如图,在▱ABCD中,点E,F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎【证明】如图,连接BD,设对角线交于点O.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OA=OC,OB=OD.‎ ‎∵AE=CF,OA-AE=OC-CF,∴OE=OF.‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎[变式三](2017·徐州期中)如图,在▱ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:‎ - 10 -‎ ‎(1)AE=CF.‎ ‎(2)四边形AECF是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD=BC,AD∥BC,‎ ‎∴∠ADE=∠CBF,‎ ‎∵AE⊥BD,CF⊥BD,‎ ‎∴∠AED=∠CFB=90°,‎ 在△ADE和△CBF中, ‎ ‎∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AE=CF.‎ ‎(2)∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,由(1)得AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.‎ ‎[变式四]如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎【证明】∵BE∥DF,∴∠BEC=∠DFA,‎ - 10 -‎ 在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE(AAS),∴BE=DF,‎ 又∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形.‎ - 10 -‎