浙江专用2020版高考数学大一轮复习第四章导数及其应用第3节导数与函数的极值最值习题含解析.doc

第3节　导数与函数的极值、最值 考试要求　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的极值与导数 ‎(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，‎ ‎①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；‎ ‎②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤 ‎①求f′(x)；‎ ‎②求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.‎ ‎2.函数的最值与导数 ‎(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.‎ ‎(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎①求f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]内一定有最值.‎ ‎2.若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值.‎ ‎3.若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.‎ 17‎ ‎4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.‎ ‎5.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.‎ 基 础 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)‎ ‎(2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)‎ ‎(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　)‎ ‎(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　　)‎ 解析　(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)‎ A.1 　　 B.2‎ C.3 　　 D.4‎ 解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.‎ 答案　A ‎3.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　)‎ A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3‎ C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3‎ 解析　因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，‎ 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极小值  极大值  所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.‎ 答案　D 17‎ ‎4.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.‎ 解析　∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.‎ 答案　1‎ ‎5.已知函数f(x)＝x2＋(a＋4)x－2ln x在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　∵f′(x)＝3x＋(a＋4)－＝，故可将题意等价的转化为f′(1)·f′(2)