第1节 导数的概念与导数的计算
考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.
知 识 梳 理
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝
＝ .
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
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f(x)＝logax
(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[常用结论与易错提醒]
1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同.
2.f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.
3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
(3)(2x)′＝x·2x－1.( )
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )
解析 (1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的导数即(f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln 2；
(4)(e2x)′＝2e2x.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A.xsin x B.－xsin x
C.xcos x D.－xcos x
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解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
答案 B
3.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.
解析 ∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
答案 y＝2x
4.(2019·南通一调)若曲线y＝xln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________.
解析 因为y′＝ln x＋1，
所以(ln 1＋1)(ln t＋1)＝－1，
∴ln t＝－2，t＝e－2.
答案 e－2
5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x，则f(0)＝________；f(x)＝________.
解析 ∵f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x，
∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，
∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，∴f(0)＝1，
即1＝f′(1)e－2，∴f′(1)＝2e2，
∴f(x)＝e2x＋x2－2x.
答案 1 e2x＋x2－2x
6.已知曲线y＝e－x，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为________；该曲线在点(0，1)处的切线方程为________.
解析 由题意得y′＝－e－x，则由指数函数的性质易得y′＝－e－x∈(－∞，0)，即曲线y＝e－x的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(－∞，0).当x＝0时，y′＝－e－0＝－1，则曲线y＝e－x在(0，1)处的切线的斜率为－1，则切线的方程为y－1＝－1·(x－0)，即x＋y－1＝0.
答案 (－∞，0) x＋y－1＝0
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考点一 导数的运算
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝；
(3)y＝xsincos；
(4)y＝ln(2x－5).
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝＝－.
(3)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
(4)令u＝2x－5，y＝ln u.
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
(6)复合函数：由外向内，层层求导.
【训练1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；(2)y＝x；
(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln.
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解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·
＝ex.
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.
(4)∵y＝ln＝ln(1＋2x)，
∴y′＝··(1＋2x)′＝.
考点二 导数的几何意义 多维探究
角度1 求切线的方程
【例2－1】 (1)(2019·绍兴一中模拟)已知函数f(x)＝ex＋2sin x，则f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.3x－y＋1＝0 D.3x－y－1＝0
(2)已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为________.
解析 (1)因为f(x)＝ex＋2sin x，所以f′(x)＝ex＋2cos x.所以f′(0)＝3，f(0)＝1.由导数的几何意义可知，函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，即为3x－y＋1＝0，故选C.
(2)设切点坐标为，由y′＝′＝x2，得
y′|x＝x0＝x，
即过点P的切线的斜率为x，
又切线过点P，若x0≠2，则x＝，
解得x0＝－1，此时切线的斜率为1；若x0＝2，则切线的斜率为4.
故所求的切线方程是y－＝x－2或y－＝4(x－2)，
即3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0.
答案 (1)C (2)3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0
角度2 求参数的值
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【例2－2】 (1)(2019·嘉兴检测)函数y＝x3－x的图象与直线y＝ax＋2相切，则实数a＝( )
A.－1 B.1
C.2 D.4
(2)(2019·杭州质检)若直线y＝x与曲线y＝ex＋m(m∈R，e为自然对数的底数)相切，则m＝( )
A.1 B.2
C.－1 D.－2
解析 (1)由题意得将①代入②，消去a得x3－x＝(3x2－1)x＋2，解得x＝－1，则a＝2，故选C.
(2)设切点坐标为(x0，ex0＋m).由y＝ex＋m，得y′＝ex＋m，则切线的方程为y－ex0＋m＝ex0＋m (x－x0) ①，又因为切线y＝x过点(0，0)，代入①得x0＝1，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入y＝ex＋m中，解得m＝－1，故选C.
答案 (1)C (2)C
角度3 公切线问题
【例2－3】 (一题多解)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析 法一 ∵y＝x＋ln x，
∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二 同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).
∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).
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由解得
答案 8
规律方法 (1)求切线方程的方法：
①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；
②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.
(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【训练2】 (1)(2019·苏州调研)已知曲线f(x)＝ax3＋ln x在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________.
(2)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切，则a的值为( )
A.－1或－ B.－1或
C.－或－ D.－或7
解析 (1)f′(x)＝3ax2＋，
则f′(1)＝3a＋1＝2，解得a＝.
(2)由y＝x3得y′＝3x2，设曲线y＝x3上任意一点(x0，x)处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，将(1，0)代入得x0＝0或x0＝.
①当x0＝0时，切线方程为y＝0，
由得ax2＋x－9＝0，Δ＝＋4·a·9＝0得a＝－.
②当x0＝时，切线方程为y＝x－，
由得ax2－3x－＝0，
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Δ＝32＋4·a·＝0得a＝－1.
综上①②知，a＝－1或a＝－.
答案 (1) (2)A
基础巩固题组
一、选择题
1.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A.2 B.0
C.－2 D.－4
解析 ∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案 D
2.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.
答案 D
3.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A.(1，3) B.(－1，3)
C.(1，3)或(－1，3) D.(1，－3)
解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
答案 C
4.(2019·诸暨统考)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是( )
A.x2－xln x＋x B.x2－xln x－x
C.x2＋xln x＋x D.x2＋2xln x＋x
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解析 由选项知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得＝1＋，即′＝1＋，故＝x＋ln x＋c(c为待定常数)，即f(x)＝x2＋(ln x＋c)x.又f(1)≥1，则c≥0，故选C.
答案 C
5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A.y＝－2x B.y＝－x
C.y＝2x D.y＝x
解析 法一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0.因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
法二 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以
－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
法三 易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
答案 D
6.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A.－1 B.0
C.2 D.4
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf
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(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案 B
二、填空题
7.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.
解析 由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e.
答案 e
8.(2018·全国Ⅲ卷)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析 y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.
答案 －3
9.(2018·台州调考)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为__________；f(x)在x＝1处的切线方程为________.
解析 f′(x)＝a＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.f(x)＝3xln x，f(1)＝0，∴f(x)在x＝1处的切线方程为y＝3(x－1)，即为3x－y－3＝0.
答案 3 3x－y－3＝0
10.设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
解析 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
答案 (1，1)
三、解答题
11.已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
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(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
12.已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
能力提升题组
13.(2018·萧山月考)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 018(x)等于( )
A.－sin x－cos x B.sin x－cos x
C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
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∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，
∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故选C.
答案 C
14.(2019·无锡模拟)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________.
解析 由题意，临界情况为y＝2(x＋a)与y＝ex相切的情况，
y′＝ex＝2，则x＝ln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)，
则此时a＝1－ln 2，
所以只要y＝2|x＋a|图象向左移动，都会产生3个交点，
所以a>1－ln 2，即a∈(1－ln 2，＋∞).
答案 (1－ln 2，＋∞)
15.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
解析 y＝ln x＋2的切线为：y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1).
y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2).
∴
解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
答案 1－ln 2
16.(2019·湖州适应性考试)已知函数f(x)＝|x3＋ax＋b|(a，b∈R)，若对任意的x1，x2∈[0，1]，f(x1)－f(x2)≤2|x1－x2|恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 当x1＝x2时，f(x1)－f(x2)≤2|x1－x2|恒成立；当x1≠x2时，由f(x1)－f(x2)≤2|x1
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－x2|得≤2，故函数f(x)在(0，1)上的导函数f′(x)满足|f′(x)|≤2，函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，其中[0，1]上的值域为[a，a＋3]，则有解得－2≤a≤－1.综上所述，实数a的取值范围为[－2，－1].
答案 [－2，－1]
17.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0).令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
18.如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk，0)(k＝1，2，…，n).
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(1)试求xk与xk－1的关系(k＝2，…，n)；
(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.
解 (1)设点Pk－1的坐标是(xk－1，0)，
∵y＝ex，∴y′＝ex，
∴Qk－1(xk－1，exk－1)，在点Qk－1(xk－1，exk－1)处的切线方程是y－exk－1
＝exk－11(x－xk－1)，令y＝0，则
xk＝xk－1－1(k＝2，…，n).
(2)∵x1＝0，xk－xk－1＝－1，
∴xk＝－(k－1)，
∴|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，
于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|
＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)
＝＝，
即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝.
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