第2节 导数与函数的单调性
考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
知 识 梳 理
1.函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
一般需要通过列表，写出函数的单调区间.
3.已知单调性求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
[常用结论与易错提醒]
(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.
(2)有些初等函数(如f(x)＝x3＋x)的单调性问题也不必用导数.
(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号.
(4)注意函数、导函数的定义域.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
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(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( )
解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
答案 (1)× (2)√ (3)×
2.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是( )
A.(－∞，1] B.[1，＋∞)
C.(－∞，0] D.(0，＋∞)
解析 令f′(x)＝ex－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞).
答案 D
3.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.
答案 D
4.(2019·镇海中学月考)函数f(x)＝x－ln x的单调减区间为________.
解析 ∵f(x)＝x－ln x，∴f′(x)＝1－＝，∵x>0，∴当x∈(0，1)时，f′(x)＝0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)0，函数g(x)单调递增，又g(2)＝0，则当x
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