第2章 函数、导数及其应用 第2讲
A组 基础关
1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln (x＋1)
答案 A
解析 由已知得，所选函数在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A中的函数满足要求．
2．函数y＝2x2－3x＋1的单调递增区间为( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
答案 B
解析 令μ＝2x2－3x＋1＝22－，
因为μ＝22－在上单调递减，函数y＝μ在R上单调递减．
所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增．
3．已知f(x)在R上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列结论正确的是( )
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
答案 D
解析 a＋b≤0可转化为a≤－b或b≤－a，由于函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，两式相加得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
4．设函数f(x)＝若函数f(x)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(1,2] D．[2，＋∞)
答案 A
解析 当x≤0时，f(x)＝a－3x单调递减，其最小值为f(0)＝a－1，当x>0时，f(x)＝2x＋1单调递增，f(x)>1，无最小值，要使函数f(x)在R上有最小值，则必有a－1≤1，即a≤2，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．
5．函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2) C．(1,2) D．(2，＋∞)
4
答案 C
解析 题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴∴1f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
答案 C
解析 由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．
7．已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则－a≥－1，即a≤1.函数g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则a>1，则綈p：a>1，q：a>1，则綈p成立是q成立的充要条件．
8．函数y＝log|x－3|的单调递减区间是________．
答案 (3，＋∞)
解析 令u＝|x－3|，则在(－∞，3)上u为x的减函数，在(3，＋∞)上u为x的增函数．
又∵0f(a＋3)同解于解得a>3.
所以a的取值范围是(3，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，0)∪(1,4]
4
解析 由题意可得4－mx≥0，x∈(0,1]恒成立，所以m≤min＝4.当00，解得10，
4
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，
∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.
5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.
(1)当x∈[1,2]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数g(x)＝|f(x)|(a≥0)在[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当x∈[1,2]时，ax2－2x＋1>0恒成立，
所以当x∈[1,2]时，a>－＋＝－2＋1恒成立，
又－2＋1在x∈[1,2]上的最大值为1，
所以a>1.
(2)当a＝0时，g(x)＝|2x－1|在[1,2]上是增函数，
当a>0时，g(x)＝，
①若1－≥0，即a≥1时，≤1，
g(x)＝在[1,2]上是增函数；
②若1－
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