2019秋九年级数学上册第2章一元二次方程单元综合测试卷（北师大版）.doc

1 《第 2 章 一元二次方程》单元测试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题 3 分，共 30 分） 1．方程 2x2﹣3=0 的一次项系数是( ) A．﹣3 B．2 C．0 D．3 2．方程 x2=2x 的解是( ) A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 3．方程 x2﹣4=0 的根是( ) A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 4．若一元二次方程 2x（kx﹣4）﹣x2+6=0 无实数根，则 k 的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．用配方法解一元二次方程 x2﹣4x﹣5=0 的过程中，配方正确的是( ) A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 6．在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程 是( ) A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( ) A．6 B．8 C．10 D．12 8．方程 x2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A．12 B．12 或 15 C．15 D．不能确定 9．若关于一元二次方程 x2+2x+k+2=0 的两个根相等，则 k 的取值范围是( ) A．1 B．1 或﹣1 C．﹣1 D．2 10．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠 了 132 件，那么全组共有( )名学生．2 A．12 B．12 或 66 C．15 D．33 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题 3 分，共 15 分）． 11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是 2：__________． 12．﹣1 是方程 x2+bx﹣5=0 的一个根，则 b=__________，另一个根是__________． 13．方程（2y+1）（2y﹣3）=0 的根是__________． 14．已知一元二次方程 x2﹣3x﹣1=0 的两根为 x1、x2，x1+x2=__________． 15．用换元法解方程 +2x=x2﹣3 时，如果设 y=x2﹣2x，则原方程可化为关于 y 的一 元二次方程的一般形式是__________． 三、按要求解一元二次方程： 16．按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x2﹣2x﹣8=0． 四、细心做一做： 20．有一面积为 150m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m），另三边用竹篱笆围成， 如果竹篱笆的总长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少？ 21．如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽 的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少 米？3 22．某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利 2160 万元．从 2006 年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万元？ 23．中华商场将进价为 40 元的衬衫按 50 元售出时，每月能卖出 500 件，经市场调查，这种 衬衫每件涨价 4 元，其销售量就减少 40 件．如果商场计划每月赚得 8000 元利润，那么售价 应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 24．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点 P 由 C 点出发以 2m/s 的速度向 终点 A 匀速移动，同时点 Q 由点 B 出发以 1m/s 的速度向终点 C 匀速移动，当一个点到达终 点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ 的面积为△ACB 的面积的 ？ （2）经过几秒，△PCQ 与△ACB 相似？ （3）如图 2，设 CD 为△ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互相垂直吗？ 若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．4 北师大新版九年级上册《第 2 章 一元二次方程》单元测试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题 3 分，共 30 分） 1．方程 2x2﹣3=0 的一次项系数是( ) A．﹣3 B．2 C．0 D．3 【考点】一元二次方程的一般形式． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项， c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：方程 2x2﹣3=0 没有一次项，所以一次项系数是 0．故选 C． 【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是 0，注意不要说是没有． 2．方程 x2=2x 的解是( ) A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法． 【专题】因式分解． 【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根． 【解答】解：x2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 ∴x1=0，x2=2． 故选 C． 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法 因式分解，可以求出方程的根． 3．方程 x2﹣4=0 的根是( ) A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】先移项，然后利用数的开方解答． 【解答】解：移项得 x2=4，开方得 x=±2， ∴x1=2，x2=﹣2． 故选 C． 【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b 同号 且 a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c 同号且 a≠0）．法则：要把方程化为“左 平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”； （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体； （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 4．若一元二次方程 2x（kx﹣4）﹣x2+6=0 无实数根，则 k 的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】先把方程变形为关于 x 的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，要方 程无实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数 k．5 【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0， 当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0， 解得 k＞ ，则满足条件的最小整数 k 为 2． 故选 D． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式．当△ ＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有 实数根． 5．用配方法解一元二次方程 x2﹣4x﹣5=0 的过程中，配方正确的是( ) A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【解答】解：移项得：x2﹣4x=5， 配方得：x2﹣4x+22=5+22， （x﹣2）2=9， 故选 D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方． 6．在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程 是( ) A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】几何图形问题． 【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可． 【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400， 即 4000+260x+4x2=5400， 化简为：4x2+260x﹣1400=0， 即 x2+65x﹣350=0． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再 进行化简． 7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( )6 A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】勾股定理． 【分析】设这三边长分别为 x，x+1，x+2，根据勾股定理可得出（x+2）2=（x+1）2+x2，解 方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可． 【解答】解：设这三边长分别为 x，x+1，x+2， 根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2 解得：x=﹣1（不合题意舍去），或 x=3， ∴x+1=4，x+2=5， 则三边长是 3，4，5， ∴三角形的面积= ××4=6； 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定 理得出方程是解决问题的关键． 8．方程 x2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A．12 B．12 或 15 C．15 D．不能确定 【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 【专题】分类讨论． 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得 到其周长． 【解答】解：解方程 x2﹣9x+18=0，得 x1=6，x2=3 ∵当底为 6，腰为 3 时，由于 3+3=6，不符合三角形三边关系 ∴等腰三角形的腰为 6，底为 3 ∴周长为 6+6+3=15 故选 C． 【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论． 9．若关于一元二次方程 x2+2x+k+2=0 的两个根相等，则 k 的取值范围是( ) A．1 B．1 或﹣1 C．﹣1 D．2 【考点】根的判别式． 【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0， 解得 k=﹣1． 故选 C． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数 根． 10．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠 了 132 件，那么全组共有( )名学生． A．12 B．12 或 66 C．15 D．33 【考点】一元二次方程的应用． 7 【分析】设全组共有 x 名学生，每一个人赠送 x﹣1 件，全组共互赠了 x（x﹣1）件，共互 赠了 132 件，可得到方程，求解即可． 【解答】解：设全组共有 x 名学生，由题意得 x（x﹣1）=132 解得：x1=﹣11（不合题意舍去），x2=12， 答：全组共有 12 名学生． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关 键． 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题 3 分，共 15 分）． 11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是 2：﹣3x2+2x﹣3=0． 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】开放型． 【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可． 【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0， 故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．在一般形式中 a，b，c 分别叫二次项 系数，一次项系数，常数项． 12．﹣1 是方程 x2+bx﹣5=0 的一个根，则 b=﹣4，另一个根是 5． 【考点】一元二次方程的解． 【分析】把x=﹣1 代入方程得出关于 b 的方程 1+b﹣2=0，求出 b，代入方程，求出方程的解 即可． 【解答】解：∵x=﹣1 是方程 x2+bx﹣5=0 的一个实数根， ∴把 x=﹣1 代入得：1﹣b﹣5=0， 解得 b=﹣4， 即方程为 x2﹣4x﹣5=0， （x+1）（x﹣5）=0， 解得：x1=﹣1，x2=5， 即 b 的值是﹣4，另一个实数根式 5． 故答案为：﹣4，5； 【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的 解． 13．方程（2y+1）（2y﹣3）=0 的根是 y1=﹣ ，y2= ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】因式分解． 【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求 得． 【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0， ∴2y+1=0 或 2y﹣3=0，8 解得 y1= ，y2= ． 【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复 杂问题的一个原则． 14．已知一元二次方程 x2﹣3x﹣1=0 的两根为 x1、x2，x1+x2=3． 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x2=﹣ ，代入计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣3x﹣1=0 的两根是 x1、x2， ∴x1+x2=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根 为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ． 15．用换元法解方程 +2x=x2﹣3 时，如果设 y=x2﹣2x，则原方程可化为关于 y 的一 元二次方程的一般形式是 y2﹣3y﹣1=0． 【考点】换元法解分式方程． 【专题】换元法． 【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把 x2﹣2x 看做一个整体． 【解答】解：原方程可化为： ﹣（x2﹣2x）+3=0 设 y=x2﹣2x ﹣y+3=0 ∴1﹣y2+3y=0 ∴y2﹣3y﹣1=0． 【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换 元的整体． 三、按要求解一元二次方程： 16．按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x2﹣2x﹣8=0． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式 法． 9 【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平 方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． （2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解． （3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发 现其结果大于 0，故利用求根公式可得出方程的两个解． （4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法） 移项得，x2﹣2x=﹣ ， 配方得，x2﹣2x+1=﹣ +1， （x﹣1）2= ， ∴x﹣1=± ∴x1=1+ ，x2=1﹣ ． （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） 7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0， （5x+2）（7x﹣6）=0， ∴5x+2=0，7x﹣6=0， ∴x1=﹣ ，x2= ； （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） 整理得，3x2+10x+5=0 ∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40， ∴x= = = ， ∴x1= ，x2= ； （4）x2﹣2x﹣8=0． （x+4）（x﹣2）=0， ∴x+4=0，x﹣2=0， ∴x1=﹣4，x2=2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元 一次方程． 四、细心做一做： 20．有一面积为 150m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m），另三边用竹篱笆围成， 如果竹篱笆的总长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少？10 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】设养鸡场的宽为 xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程 求解． 【解答】解：设养鸡场的宽为 xm，则长为（35﹣2x），由题意得 x（35﹣2x）=150 解这个方程 ；x2=10 当养鸡场的宽为 时，养鸡场的长为 20m 不符合题意，应舍去， 当养鸡场的宽为 x1=10m 时，养鸡场的长为 15m． 答：鸡场的长与宽各为 15m，10m． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般． 21．如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽 的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少 米？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好 构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解． 【解答】解：设小路的宽应是 x 米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米， 由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣ ） 即 x2﹣31x+30=0 解得 x1=30 x2=1 ∵路宽不超过 15 米 ∴x=30 不合题意舍去 答：小路的宽应是 1 米． 【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．11 22．某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利 2160 万元．从 2006 年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）． （1）可先求出增长率，然后再求 2007 年的盈利情况． （2）有了 2008 年的盈利和增长率，求出 2009 年的就容易了． 【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为 x， 根据题意，得 1500（1+x）2=2160． 解得 x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． ∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800． 答：2007 年该企业盈利 1800 万元． （2）2160（1+0.2）=2592． 答：预计 2009 年该企业盈利 2592 万元． 【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时 间的有关数量，b 为终止时间的有关数量． 23．中华商场将进价为 40 元的衬衫按 50 元售出时，每月能卖出 500 件，经市场调查，这种 衬衫每件涨价 4 元，其销售量就减少 40 件．如果商场计划每月赚得 8000 元利润，那么售价 应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】销售问题． 【分析】设涨价 4x 元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚 8000 元，可 得方程，解方程即可． 【解答】解：设涨价 4x 元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x）， 由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000， 整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000， 解得：x1= ，x2= ， 当 x1= 时，则涨价 10 元，销量为：400 件； 当 x2= 时，则涨价 30 元，销量为：200 件． 答：当售价定为 60 元时，每月应进 400 件衬衫；售价定为 80 元时，每月应进 200 件衬 衫． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题 的关键，注意分情况讨论思想的应用． 24．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点 P 由 C 点出发以 2m/s 的速度向 终点 A 匀速移动，同时点 Q 由点 B 出发以 1m/s 的速度向终点 C 匀速移动，当一个点到达终 点时另一个点也随之停止移动．12 （1）经过几秒△PCQ 的面积为△ACB 的面积的 ？ （2）经过几秒，△PCQ 与△ACB 相似？ （3）如图 2，设 CD 为△ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互相垂直吗？ 若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定． 【专题】几何动点问题． 【分析】（1）分别表示出线段 PC 和线段 CQ 的长后利用 S△PCQ= S△ABC 列出方程求解； （2）设运动时间为 ts，△PCQ 与△ACB 相似，当△PCQ 与△ACB 相似时，可知∠CPQ=∠A 或 ∠CPQ=∠B，则有 = 或 = ，分别代入可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值； （3）设运动时间为 ys，PQ 与 CD 互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰 三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么 = ，依此列出比 例式 = ，解方程即可． 【解答】解：（1）设经过 x 秒△PCQ 的面积为△ACB 的面积的 ， 由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m， 则 ×2x（6﹣x）= × ×8×6， 解得：x=2 或 x=4． 故经过 2 秒或 4 秒，△PCQ 的面积为△ACB 的面积的 ； （2）设运动时间为 ts，△PCQ 与△ACB 相似． 当△PCQ 与△ACB 相似时，则有 = 或 = ， 所以 = ，或 = ， 解得 t= ，或 t= ． 因此，经过 秒或 秒，△OCQ 与△ACB 相似；13 （ 3）有可能． 由勾股定理得 AB=10． ∵CD 为△ACB 的中线， ∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B， 又 PQ⊥CD， ∴∠CPQ=∠B， ∴△PCQ∽△BCA， ∴ = ， = ， 解得 y= ． 因此，经过 秒，PQ⊥CD． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股 定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．