2019秋九年级数学上册第1章特殊的平行四边形单元测试卷（北师大版）.doc

1 《第 1 章 特殊的平行四边形》单元测试卷 一、选择题：（每小题 3 分，共 36 分） 1．下列判定正确的是( ) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 2．下列说法中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( ) A．矩形的对角线相等 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．矩形有一个内角是直角 D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 5．两条对角线相等的平行四边形一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形 6．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于( ) A．3.5 B．4 C．7 D．14 7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 8．如图，以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边作菱形 AEFC，则∠FAB=( )2 A．30° B．45° C．22.5° D．135° 9．如图，已知点 E 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BE=BC，则∠DCE 的度数为( ) A．30° B．22.5° C．15° D．45° 10．如图：长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点 B 与点 D 重 合．折痕为 EF，则 DE 长为( ) A．4.8 B．5 C．5.8 D．6 11．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S2， 则 S1+S2 的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 12．如图，正方形 ABCD 的面积为 4，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角 线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为( )3 A．2 B．3 C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13．已知菱形的周长为 40cm，两个相邻角度数比为 1：2，则较短的对角线长为__________， 面积为__________． 14．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为__________． 15．在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE+PF=__________． 16．如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，∠A=120°，E 是 BC 边的中点，P 是 BD 上的动点，则 PE﹢PC 的最小值是__________． 三、解答题： 17．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BC 相交于点 O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形 OBEC 是矩形．4 18．已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形 AEDF 是菱形． 19．已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，且 BE=DF．求证： ∠AEF=∠AFE． 20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分 线，CE⊥AN，垂足为点 E， （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明． 21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是的 BC 边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足 分别是 E、F． （1）求证：DE=DF； （2）只添加一个条件，使四边形 EDFA 是正方形，并给出证明． 22．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，∠AOD=60°，AB= ，AE⊥BD 于点 E， 求 OE 的长．5 23．已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC 交 DC 于点 E，延 长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求 CF 的长； （3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BH=CF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，问 在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接 写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由．6 北师大新版九年级上册《第 1 章 特殊的平行四边形》单元测试卷 一、选择题：（每小题 3 分，共 36 分） 1．下列判定正确的是( ) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 【考点】多边形． 【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案． 【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故 A 错误； B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故 B 正确； C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故 C 正确； D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故 D 错误； 故选：B． 【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质 是解题关键． 2．下列说法中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案． 【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到 ABC 均正确，而 D 不正确，因为对角线互相 垂直的四边形也可能是梯形， 故选：D． 【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基 本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边 形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角 线互相垂直平分． 3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( ) A．矩形的对角线相等 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．矩形有一个内角是直角 D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 【考点】命题与定理． 【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可． 【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；7 C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误； D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误． 故选 B． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为 逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定 理． 4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有 4 条对称轴； 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有 2 条对称轴； 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有 2 条对称轴． 故选 D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图 重合． 5．两条对角线相等的平行四边形一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形 【考点】矩形的判定． 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可． 【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：A． 【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关 键． 6．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于( ) A．3.5 B．4 C．7 D．14 【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理． 【分析】根据菱形的四条边都相等求出 AB，菱形的对角线互相平分可得 OB=OD，然后判断出 OH 是△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 OH= AB． 【解答】解：∵菱形 ABCD 的周长为 28， ∴AB=28÷4=7，OB=OD， ∵H 为 AD 边中点，8 ∴OH 是△ABD 的中位线， ∴OH= AB= ×7=3.5． 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于 第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【考点】中点四边形． 【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等 去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 【解答】解：连接 AC、BD， 在△ABD 中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH= BD， 同理 FG= BD，HG= AC，EF= AC， 又∵在矩形 ABCD 中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形 EFGH 为菱形． 故选 B． 【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常 用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 8．如图，以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边作菱形 AEFC，则∠FAB=( ) A．30° B．45° C．22.5° D．135° 【考点】菱形的性质；正方形的性质． 【分析】由正方形的性质得对角线 AC 平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以 ∠FAB 为直角的 ．9 【解答】解：因为 AC 为正方形 ABCD 的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线 平分一组对角，则∠FAB=22.5°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质． 9．如图，已知点 E 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BE=BC，则∠DCE 的度数为( ) A．30° B．22.5° C．15° D．45° 【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质． 【分析】由正方形的性质得到 BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据 BE=BC，根据三角形的内角 和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE 即可求出答案． 【解答】解：∵正方形 ABCD， ∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°， ∵BE=BC， ∴∠BEC=∠BCE=67.5°， ∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°， 故选 B． 【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点 的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE 的度数是解此题的关键，题型较好，难度适 中． 10．如图：长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点 B 与点 D 重 合．折痕为 EF，则 DE 长为( ) A．4.8 B．5 C．5.8 D．6 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】数形结合． 【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设 BE 即可表示 AE，在直角三角形 ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解． 【解答】解：设 DE=xcm，则 BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x， 在 RT△ADE 中，DE2=AE2+AD2，即 x2=（10﹣x）2+16． 解得：x= =5.8（cm）．10 故选 C． 【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外 要熟练运用勾股定理解直角三角形． 11．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S2， 则 S1+S2 的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 【考点】勾股定理． 【分析】由图可得，S2 的边长为 3，由 AC= BC，BC=CE= CD，可得 AC=2CD，CD=2，EC=2 ；然后，分别算出 S1、S2 的面积，即可解答． 【解答】解：如图， 设正方形 S1 的边长为 x， ∵△ABC 和△CDE 都为等腰直角三角形， ∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°， ∴sin∠CAB=sin45°= = ，即 AC= BC，同理可得：BC=CE= CD， ∴AC= BC=2CD， 又∵AD=AC+CD=6， ∴CD= =2， ∴EC2=22+22，即 EC=2 ； ∴S1 的面积为 EC2=2 ×2 =8； ∵∠MAO=∠MOA=45°， ∴AM=MO， ∵MO=MN， ∴AM=MN， ∴M 为 AN 的中点， ∴S2 的边长为 3， ∴S2 的面积为 3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故选 B． 【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数 进行解答．11 12．如图，正方形 ABCD 的面积为 4，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角 线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为( ) A．2 B．3 C． D． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以连接 BE，与 AC 的交点即为 P 点．此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边△ABE 的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 4，可求出 AB 的长，从而 得出结果． 【解答】解：连接 BD，与 AC 交于点 F． ∵点 B 与 D 关于 AC 对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE 最小． ∵正方形 ABCD 的面积为 4， ∴AB=2． 又∵△ABE 是等边三角形， ∴BE=AB=2． ∴所求最小值为 2． 故选：A． 【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题． 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13．已知菱形的周长为 40cm，两个相邻角度数比为 1：2，则较短的对角线长为 10cm，面积 为 50 cm2． 【考点】菱形的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长， 根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积． 【解答】解：根据已知可得， 菱形的边长 AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，12 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得：BO= =5 ， ∴BD=2BO=10 （cm）， 则 S 菱形 ABCD= ×AC×BD= ×10×10 =50 （cm2）； 故答案为：10cm，50 cm2． 【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利 用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积= ×两条对角线的乘积． 14．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】首先过点 E 作 EM⊥BC 于 M，交 BF 于 N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得 GN=MN，由折叠的性质，可得 BG=3，继而求得 BF 的值，又由勾股定理，即可求得 BC 的长． 【解答】解：过点 E 作 EM⊥BC 于 M，交 BF 于 N， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC， ∵∠EMB=90°， ∴四边形 ABME 是矩形， ∴AE=BM， 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°， ∴EG=BM， 在△ENG 和△BNM 中 ∵ ， ∴△ENG≌△BNM（AAS）， ∴NG=NM， ∴CM=DE， ∵E 是 AD 的中点，13 ∴AE=ED=BM=CM， ∵EM∥CD， ∴BN：NF=BM：CM， ∴BN=NF， ∴NM= CF= ， ∴NG= ， ∵BG=AB=CD=CF+DF=3， ∴BN=BG﹣NG=3﹣ = ， ∴BF=2BN=5， ∴BC= = =2 ． 故答案为：2 ． 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形 的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 15．在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC于点 E，PF⊥BD于点 F，则 PE+PF= ． 【考点】矩形的性质． 【分析】连接 PO，过 D 作 DM⊥AC 于 M，求出 AC、DM，根据三角形面积公式得出 PE+PF=DM， 即可得出答案． 【解答】解：连接 PO，过 D 作 DM⊥AC 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形，14 ∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OD， 由勾股定理得：AC=13， ∴OA=OD=6.5， ∵S△ADC= ×12×5= ×13×DM， ∴DM= ， ∵SAOD=S△APO+S△DPO， ∴ AO×PE+ OD×PF= ×AO×DM， ∴PE+PF=DM= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出 DM 长和得 出 PE+PF=DM． 16．如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，∠A=120°，E 是 BC 边的中点，P 是 BD 上的动点，则 PE﹢PC 的最小值是 3 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 【专题】探究型． 【分析】先求出菱形各边的长度，作点 E 关于直线 BD 的对称点 E′，连接 CE′交 BD 于点 P，则 CE′的长即为 PE﹢PC 的最小值，由菱形的性质可知 E′为 AB 的中点，由直角三角形 的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出 CE′的长． 【解答】解：∵菱形 ABCD 的周长为 24cm， ∴AB=BC= =6cm， 作点 E 关于直线 BD 的对称点 E′，连接 CE′交 BD 于点 P，则 CE′的长即为 PE﹢PC 的最小 值， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD 是∠ABC 的平分线， ∴E′在 AB 上，由图形对称的性质可知，BE=BE′= BC= ×6=3， ∵BE′=BE= BC， ∴△BCE′是直角三角形， ∴CE′= = =3 ，15 故 PE﹢PC 的最小值是 3 ． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据 轴对称的性质作出图形是解答此题的关键． 三、解答题： 17．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BC 相交于点 O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形 OBEC 是矩形． 【考点】矩形的判定；菱形的性质． 【分析】根据平行四边形的判定推出四边形 OBEC 是平行四边形，根据菱形性质求出 ∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可． 【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形 OBEC 是平行四边形， 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴平行四边形 OBEC 是矩形． 【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推 理能力． 18．已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形 AEDF 是菱形． 【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质． 【专题】证明题． 【分析】由已知易得四边形 AEDF 是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得 ∠FAD=∠FDA，则可求得 AF=DF，故可证明四边形 AEDF 是菱形． 【解答】证明：∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠EAD=∠FAD16 ∵DE∥AC，ED=AF ∴四边形 AEDF 是平行四边形 ∴∠EAD=∠ADF ∴∠FAD=∠FDA ∴AF=DF ∴四边形 AEDF 是菱形． 【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判 定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”． 19．已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，且 BE=DF．求证： ∠AEF=∠AFE． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】在菱形中，由 SAS 求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE． 【解答】证明：∵ABCD 是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D． 又∵EB=DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE． 【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解． 20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分 线，CE⊥AN，垂足为点 E， （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明． 【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定． 【专题】证明题；开放型． 【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知 CE⊥AN，AD⊥BC，所以求 证∠DAE=90°，可以证明四边形 ADCE 为矩形． （2）根据正方形的判定，我们可以假设当 AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论 可知四边形 ADCE 为矩形，所以证得，四边形 ADCE 为正方形．17 【解答】（1）证明：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE=∠CAE， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°， 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形 ADCE 为矩形． （2）当△ABC 满足∠BAC=90°时，四边形 ADCE 是一个正方形． 理由：∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B=45°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD=∠ACD=45°， ∴DC=AD， ∵四边形 ADCE 为矩形， ∴矩形 ADCE 是正方形． ∴当∠BAC=90°时，四边形 ADCE 是一个正方形． 【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性 质，及角平分线的性质等知识点的综合运用． 21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是的 BC 边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足 分别是 E、F． （1）求证：DE=DF； （2）只添加一个条件，使四边形 EDFA 是正方形，并给出证明． 【考点】正方形的判定． 【分析】（1）连接 AD，根据等腰三角形的性质可得 AD 是∠BAC 的角平分线，再根据角平分 线的性质可得 DE=DF； （2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形 AFDE 是矩形，再由条 件 DF=DE 可得四边形 EDFA 是正方形． 【解答】解：（1）连接 AD， ∵AB=AC，D 是的 BC 边的中点， ∴AD 是∠BAC 的角平分线， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF=DE； （2）添加∠BAC=90°，18 ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠AFD=∠AED=90°， ∴四边形 AFDE 是矩形， ∵DF=DE， ∴四边形 EDFA 是正方形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三 线合一的性质． 22．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，∠AOD=60°，AB= ，AE⊥BD 于点 E， 求 OE 的长． 【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】计算题． 【分析】矩形对角线相等且互相平分，即 OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD 为等边三角形， 即 OA=AD，∵AE⊥BD，∴E 为 OD 的中点，即可求 OE 的值． 【解答】解：∵对角线相等且互相平分， ∴OA=OD ∵∠AOD=60° ∴△AOD 为等边三角形，则 OA=AD， BD=2DO，AB= AD， ∴AD=2， ∵AE⊥BD，∴E 为 OD 的中点 ∴OE= OD= AD=1， 答：OE 的长度为 1． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角 形三线合一的性质，本题中求得 E 为 OD 的中点是解题的关键． 23．已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC 交 DC 于点 E，延 长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求 CF 的长； （3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BH=CF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，问 在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接 写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由．19 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理 SAS 即可证得△BCE≌△DCF； （2）通过△DBG≌△FBG 的对应边相等知 BD=BF= ；然后由 CF=BF﹣BC=即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． 【解答】（1）证明：如图 1， 在△BCE 和△DCF 中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）证明：如图 1， ∵BE 平分∠DBC，OD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠EBC= ∠DBC=22.5°， 由（1）知△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）； ∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）， ∴∠BGF=90°； 在△DBG 和△FBG 中， ， ∴△DBG≌△FBG（ASA）， ∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）， ∵BD= = ， ∴BF= ， ∴CF=BF﹣BC= ﹣1； （3）解：如图 2，∵CF= ﹣1，BH=CF ∴BH= ﹣1， ①当 BH=BP 时，则 BP= ﹣1， ∵∠PBC=45°， 设 P（x，x）， ∴2x2=（ ﹣1）2， 解得 x=2﹣ 或﹣2+ ，20 ∴P（2﹣ ，2﹣ ）或（﹣2+ ，﹣2+ ）； ②当 BH=HP 时，则 HP=PB= ﹣1， ∵∠ABD=45°， ∴△PBH 是等腰直角三角形， ∴P（ ﹣1， ﹣1）； ③当 PH=PB 时，∵∠ABD=45°， ∴△PBH 是等腰直角三角形， ∴P（ ， ）， 综上，在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形，所有符 合条件的 P 点坐标为（2﹣ ，2﹣ ）、（﹣2+ ，﹣2+ ）、（ ﹣1， ﹣1）、（ ， ）． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三 角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．