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课题: 3.2.3空间向量与空间角、距离 第 课时
课型: 新授课
教学目标:
1.知识与技能
向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题
2.过程与方法
(1)通过实例深化空间向量运算的坐标表示.
(2)通过实例感知空间向量运算在几何证明与计算中的应用,将抽象的概念通过实例具体化
3.情感、态度与价值观
体会数学形成和发展的一般规律;培养学生的辨证思想.
批 注
教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用.
教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用.
教学用具: 多媒体,三角形
教学方法:启发式教学法
教学过程:
一、复习引入
1. 山体滑坡是一种常见的自然灾害. 甲、乙两名科技人员为了测量一个山
体的倾斜程度,甲站在水平地面上的 A处,乙站在山坡斜面上的B处,A, B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m,CD的长为60 m,AB的长为80 m.
问题1:如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角?
问题2:如何求斜线BD与地面所成角α?
问题3:如何求水平地面与斜坡面所成二面角β?
二、新课讲授
一 .空间角及向量求法
1.异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cos θ= |cos〈a,b〉|
[例1] 如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点
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A,B,V分别在x,y,z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.
当θ=时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.
2. 直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,
则sin θ= |cos〈a,n〉| =
[例2] 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
[一点通] 求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).
思路二:用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量;
(3)求平面的法向量n;
(4)计算:设线面角为θ,则sin θ=
3. 二面角
设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α,β的法向量为n1,n2,则
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|cos θ|=|cos〈n1,n2〉| =
[例3] PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=.求二面角A-PB-C的余弦值.
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②.
此方法的解题步骤如下:
二.空间距离的向量求法
1. 两点距
设A,B为空间中任意两点,则d=
2.点到面距离的求法:
(1)如图,BO⊥平面α,垂足为O,则点B到平面α的距离就是||.
(2)若AB是平面α的任一斜线段,
则在Rt△BOA中,||=||
cos∠ABO=.
如果平面α的法向量为n,则||=.
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[例4] 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.
向量法求点面距离的方法与步骤:
1.两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
2.直线的方向向量为u,平面的法向量为n,直线与平面所成角为θ,则sin θ=|cos〈u,n〉|,不要漏了绝对值符号.
3.利用两平面的法向量n1,n2求出cos〈n1,n2〉后,要根据图形判断二面角是锐角还是钝角.
三.巩固练习]
作业:课本P97练习 3题.
教学后记:
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