第三章 空间向量与立体几何教案
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3.2.3空间向量与空间角、距离.doc

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资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 课题: ‎3.2.3‎空间向量与空间角、距离 第 课时 ‎ 课型: 新授课 ‎ 教学目标:‎ ‎1.知识与技能 向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题 ‎2.过程与方法 ‎(1)通过实例深化空间向量运算的坐标表示. ‎(2)通过实例感知空间向量运算在几何证明与计算中的应用,将抽象的概念通过实例具体化 ‎ 3.情感、态度与价值观 体会数学形成和发展的一般规律;培养学生的辨证思想.‎ 批 注 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用.‎ 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用.‎ 教学用具: 多媒体,三角形 教学方法:启发式教学法 ‎ 教学过程:‎ 一、复习引入 ‎1. 山体滑坡是一种常见的自然灾害. 甲、乙两名科技人员为了测量一个山 ‎ 体的倾斜程度,甲站在水平地面上的 A处,乙站在山坡斜面上的B处,A, B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m,CD的长为60 m,AB的长为80 m. ‎ 问题1:如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角? ‎ 问题2:如何求斜线BD与地面所成角α? ‎ 问题3:如何求水平地面与斜坡面所成二面角β? ‎ 二、新课讲授 一 .空间角及向量求法 ‎ ‎1.异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cos θ= |cos〈a,b〉| ‎ ‎[例1] 如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A,B,V分别在x,y,z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.‎ 当θ=时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值. ‎ ‎2. 直线与平面所成的角 ‎ 设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,‎ 则sin θ= |cos〈a,n〉| = ‎ ‎[例2] 正三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB‎1A1所成的角.‎ ‎ [一点通] 求直线与平面的夹角的方法与步骤 ‎ ‎ 思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值). ‎ ‎ 思路二:用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤: ‎ ‎(1)建立空间直角坐标系;‎ ‎(2)求直线的方向向量;‎ ‎(3)求平面的法向量n;‎ ‎(4)计算:设线面角为θ,则sin θ=‎ ‎3. 二面角 ‎ 设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α,β的法向量为n1,n2,则 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎|cos θ|=|cos〈n1,n2〉| =‎ ‎[例3] PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=.求二面角A-PB-C的余弦值.‎ 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②. ‎ ‎ 此方法的解题步骤如下: ‎ 二.空间距离的向量求法 ‎ ‎1. 两点距 ‎ 设A,B为空间中任意两点,则d=‎ ‎2.点到面距离的求法:‎ ‎(1)如图,BO⊥平面α,垂足为O,则点B到平面α的距离就是||.‎ ‎(2)若AB是平面α的任一斜线段,‎ 则在Rt△BOA中,||=||‎ cos∠ABO=.‎ 如果平面α的法向量为n,则||=.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎[例4] 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.‎ 向量法求点面距离的方法与步骤:‎ ‎1.两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角. ‎ ‎2.直线的方向向量为u,平面的法向量为n,直线与平面所成角为θ,则sin θ=|cos〈u,n〉|,不要漏了绝对值符号. ‎ ‎3.利用两平面的法向量n1,n2求出cos〈n1,n2〉后,要根据图形判断二面角是锐角还是钝角. ‎ 三.巩固练习]‎ 作业:课本P97练习 3题.‎ 教学后记:‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎

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