3.2.2空间向量与垂直关系 .doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 课题：‎3.2.2‎空间向量与垂直关系 第 课时 ‎ 课型： 新授课 ‎ 教学目标：‎ ‎1．知识与技能：‎ ‎1)．向量运算在几何证明与计算中的应用．‎ ‎2).掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．．‎ ‎2．过程与方法：‎ 通过实例，培养以形识数的解题意识．‎ ‎3．情态与价值 使学生感到学习空间向量及其运算的必要性与重要性，增强学习的紧迫感.‎ 批 注 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．‎ 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．‎ 教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 讨论，分析 教学过程：‎ ‎1． 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．‎ 问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？‎ 提示：垂直．‎ 问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？‎ 提示：垂直 ‎2证明垂直关系的向量方法：‎ 线线垂直 线面垂直 面面垂直 证明两直线的方向向量垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 证明两个平面的法向量垂直 ‎3.用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．‎ ‎[例1]　在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.‎ ‎[精解详析]　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．‎ 设AE＝BF＝x，‎ 则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．‎ ‎∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)‎ ‎＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，‎ ‎∴⊥，即A‎1F⊥C1E.‎ ‎[一点通]　利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．‎ 练习:‎ ‎1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝ (　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－2‎ C．－3 D．3‎ ‎2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点. 证明： (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1.‎ ‎[例2] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． ‎ 求证：EF⊥平面B1AC. ‎ 法一：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分 别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．‎ ‎∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1),‎ ‎＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，‎ ‎＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．‎ ‎∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)‎ ‎＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0,‎ ‎·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，‎ ‎∴EF⊥AB1，EF⊥AC.‎ 又AB1∩AC＝A，‎ ‎∴EF⊥平面B‎1AC.‎ 法三：同法二得＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，＝(－1，－1,1)．‎ 设平面B‎1AC的法向量n＝(x，y，z)，‎ 则·n＝0，·n＝0，‎ 即取x＝1，则y＝1，z＝－1，‎ ‎∴n＝(1,1，－1)，‎ ‎∴＝－n，‎ ‎∴∥n，‎ ‎∴EF⊥平面B‎1AC.‎ 练习：‎ ‎3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.‎ ‎4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：‎ A1O⊥平面GBD. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎[例3]　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面 为A1B‎1C1，∠BAC＝90°，A‎1A⊥平面ABC，A‎1A＝，AB＝AC＝‎2A1C1＝2，‎ D为BC的中点．证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.‎ ‎ ‎ 小结：‎ ‎1.　证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．‎ ‎2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．‎ 教学后记：‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎