第六单元 整理和复习
1.数 与 代 数
第 1 课时 数 的 认 识
知识板块 要点梳理 具体内容
数的意义
1.整数的意义:像-3,-2,-1,0,1,2,3…这样的
数统称整数。整数的个数是无限的。没有最小的整
数,也没有最大的整数。自然数是整数的一部分。
2.自然数的意义:在数物体个数的时候,用来表
示物体个数的 1,2,3,4,5,6…叫作自然数。一个物
体也没有用 0 表示。自然数的个数是无限的。最小
的自然数是 0,没有最大的自然数。
3.正、负数的意义:像 1,2,3…这样的数叫作
正数;像-3,-2,-1…这样的数叫作负数。
4.分数的意义:把单位“1”平均分成若干份,
表示这样的一份或者几份的数叫作分数。
5.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百
分之几的数叫百分数,也叫作百分率或百分比。百
分数通常用“%”表示。
6. 小 数 的 意 义 : 把 整 数 “ 1 ” 平 均 分 成 10
份,100 份,1000 份,……这样的一份或几份是十分
之一,百分之一,千分之一……或十分之几,百分之
几,千分之几……还可以用小数表示,小数的单位是
0.1,0.01,0.001……它是十进制分数的另一种表现
形式。
数的认识
计数单位和数
位
1.计数单位:个、十、百……以及十分之一、
百分之一……都是计数单位。
2.数位:各个计数单位所占的位置,叫作数位。
数位是按一定的顺序排列的。
3.十进制计数法:它的特点是每相邻的两个计
数单位之间的进率都是“十”,就是十个较低的计
数单位可以进成一个较高的计数单位(通常所说的
“逢十进一”)。这种以“十”为基础进位的方法,
叫作十进制计数法。
教学设计4.数的分级:按照我国的计数习惯,整数从个位
起,每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位
是个级,表示多少个一;万位、十万位、百万位、千
万位是万级,表示多少个万;亿位、十亿位、百亿
位、千亿位是亿级,表示多少个亿……
知识板块 要点梳理 具体内容
数的认识 倍数和因数
1.倍数和因数的意义:a÷b=c(a、b、c 均为整
数,且 b≠0)其中 a 是 b 和 c 的倍数,b 和 c 就是 a
的因数。倍数和因数是相互依存的。
2.2、3、5 的倍数特征:(1)2 的倍数特征:个位
上的数字是 0,2,4,6,8。(2)3 的倍数特征:各个数
位上的数字的和是 3 的倍数。(3)5 的倍数的特征:
个位上的数字是 0 或 5。
3.奇数和偶数:(1)奇数:在自然数中,不是 2 的
倍数的数叫作奇数。(2)偶数:在自然数中,是 2 的
倍数的数叫作偶数。
4.质数和合数:(1)质数的意义:一个数,如果只
有 1 和它本身两个因数,这样的数叫作质数。(2)偶
数:一个数,如果除了 1 和它本身还有别的因数,这
样的数叫作合数。
5.分解质因数:(1)质因数:每个合数都可以写
成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合
数的因数,叫作这个合数的质因数。(2)分解质因
数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫作
分解质因数。(3)分解质因数的方法:把一个合数分
解质因数,通常运用短除法。
6.最大公因数和最小公倍数:(1)最大公因数:
几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数。其中
最大的一个叫作这几个数的最大公因数。(2)最小
公倍数:几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍
数。其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。小数点位置移
动引起小数大
小变化的规律
小数点向右移动一位、两位、三位……该数就
扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍……小数点
向左移动一位、两位、三位……该数就缩小到原来
的 1
10、 1
100、 1
1000……
教材知识荟
【考点一】 数的意义
在 78,+2
5,0,-4,-1
2,+1
2,+7.8,-1,+9 中 正 数 有 ( ), 负 数 有
( ), 自 然 数 有 ( ), 整 数 有 ( ), 小 数 有
( ),分数有( )。
思路分析:根据正数,负数,自然数,整数,小数,分数的概念,以及它们之间的
关系加以区分。
解 答 : 正 数 有 :78,+2
5,+1
2,+7.8,+9; 负 数 有 :-4,-1
2,-1; 自 然 数
有:78,0,+9; 整数有:78,0, -4,-1,+9; 小数有:+7.8; 分数有:+2
5,-1
2,+1
2。
【练习】
1.填空。
(1)0,4,852,1500,400 都是( )数,也都是( )数。
(2)4.57878…可以简写为( )。
(3) 5
6kg 表示把( )平均分成( )份,取其中的( )份;也可以表
示把( )平均分成( )份,取其中的( )份。
(4)把一根长 1 米的木棒锯成同样长的小段,5 次锯完,每小段占全长的
( ),每段长( )。
答案:(1)整 自然 (2)4.5
·
7
·
8 (3)1 kg 6 5 5kg 6 1 (4) 1
6 1
6
米
2.判断。
(1)一个数先缩小到原来的 1
100,再扩大到原来的 100 倍,它的小数点的位置
实际没有变化。 ( )
(2)1 吨的3
4和 3 吨的1
4同样重。 ( )(3) 1
4 m=0.25 m=25% m。 ( )
(4)0 是最小的整数。 ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
3.选择。
(1)小于 1 的最大的两位数是( )。
A.0.9 B.0.09 C.0.99
(2)比3
4小,且比1
4大的分数有( )个。
A.1 B.2 C.无数
(3)商店里九八折出售商品,比原价( )。
A.提高 2% B.降低 2% C.降低 98%
(4)下列数中,( )不能写成整数。
A.200% B.6.00 C. 3
4
答案:(1)C (2)C (3)B (4)C
【考点二】计数单位和数位
3.2 和 3.20 的计数单位相同吗?
思路分析:判断小数的计数单位,关键看它是几位小数。3.2 是一位小数,它
的计数单位是 0.1 或 1
10,3.20 是两位小数,它的计数单位是 0.01 或 1
100。
解答:不相同。
六亿零四百五十万五千米写作( ),改写成用“亿”作单位
的数是( ),省略亿位后面的尾数是( )。
思路分析:先按整数的写法写出此数,即在亿位上写“6”,在万级中写
“450”,在个级中写“5000”,千万位上没有数,用“0”占位。再把写出的数改
写成用“亿”作单位的数,最后“四舍五入”到亿位。
解答:604505000 米 6.04505 亿米 6 亿米
【练习】
1.填空。
(1)3 1
10的分数单位是( ),它含有( )个这样的分数单位。
(2)10 个 0.001 是( ),100 个 0.01 是( ),1000 个 10 是( )。
(3)由 6 个 1、9 个 0.1 和 6 个 0.01 组成的小数是( ),它表示 v ( )。
答案:(1) 1
10 31 (2)0.01 1 10000 (3)6.96 696 个百分之一
2.判断。
(1)1 个 0.01 与 99 个 1
100的和是 1。 ( )
(2)4
5的分数单位与 0.08 的计数单位相差 0.12。 ( )
(3)0.8 和 0.80 的大小相等,但计数单位不同。 ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
3.选择。
(1)6.56 中百分位上的“6”是个位上的“6”的( )。
A. 1
10 B. 1
100 C. 1
1000
(2)不改变 1.5 的大小,改成用“千分之一”作单位的数是( )。
A.0.015 B.1.500 C.0.150
(3)在 5.8 的末尾添上一个 0,原数的计数单位就( )。
A.扩大到原来的 10 倍 B.不变 C.缩小到原来的 1
10
答案:(1)B (2)B (3)C
【考点三】倍数和因数
把 30 分解质因数是( )。
A.30=1×2×3×5 B.30=5×6 C.30=2×3×5 D. 2×3×5=30
思路分析:分解质因数是把一个合数写成几个质因数相乘的形式。它不同于
乘法算式,而是把被分解的合数写在等号左侧,显然 D 是错的,它是求积;A 中 1
不是质数,B 中 6 是合数,所以选 C。
解答:C
一袋饼干,如果平均分给 4 个小朋友,还剩下 3 块;如果平均分给 5 个小
朋友,还缺 1 块;如果平均分给 6 个小朋友,还缺 1 块。这袋饼干至少有多少块?
思路分析:根据题意,如果这袋饼干再多 1 块,那么平均分给 4 个、5 个或 6
个小朋友就都正好了。也就是说这袋饼干数加上 1 块正好是 4,5,6 的公倍数。
因此,求这袋饼干至少有多少块就是求 4,5,6 的最小公倍数减 1 是多少。4、5、
6 的最小公倍数是 60。
解答:4,5,6 的最小公倍数是 2×2×3×5=60 60-1=59(块)
答:这袋饼干至少有 59 块。【练习】
1.填空。
(1)20 以内的质数有( ),合数有( )。
(2)三个连续的偶数,最大的一个是 n,另外两个分别是( )和( )。
(3)既是 3 的倍数又是 5 的倍数的最大两位数是( )。
(4)两个质数的和是 16,这两个质数的积是( )。
答案:(1)2、3、5、7、11、13、17、19 4、6、8、9、10、12、14、15、
16、18、20 (2)n-2 n-4 (3)90 (4)39 或 55
2.判断。
(1)一个自然数不是偶数,就是奇数。 ( )
(2)一个自然数不是质数,就是合数。 ( )
(3)互为质数的两个数的乘积一定是合数。 ( )
(4)因为 1.8÷6=0.3,所以 1.8 是 6 的倍数,3 是 1.8 的因数。 ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
3.选择。
(1)求 12 和 15 的最大公因数,必须包含 12 和 15( )质因数。
A.所有的 B.公有的 C.全部公有的
(2)将 24 分解质因数正确的式子是( )。
A.24=1×2×2×3 B.24=4×6 C.24=2×2×2×3
(3)两个奇数的和一定是( )数,积一定是( )数。
A.奇 B.偶 C.质
答案:(1)C (2)C (3)B A
【考点四】小数点位置移动引起小数大小变化的规律
去掉 0.25 的小数点,使它变成整数,原数就增加( )倍;在 25 后面加
上“%”,原数就减少了( )%。
分析:去掉 0.25 的小数点,就是把 0.25 的小数点向右移动两位,原数扩大到
原来的 100 倍,即增加(100-1)倍;25 后面添上“%”,原数变成 25%(即 0.25),也
就是把原数的小数点向左移动两位,因此,原数缩小到原来的 1
100,即减少了原数
的(1-1%)。
解答:99 99
【练习】
1.填空。
(1)一个小数,小数点向左移动一位后,再扩大到原来的 1000 倍,得 158,则
原小数是( )。(2)把 56.2 先缩小到原来的 1
10,再把小数点向右移动三位,结果是( )。
答案:(1)1.58 (2)5620
2.判断。
(1)一个数先扩大到原来的 100 倍,再缩小到原来的 1
100,它的小数点位置实
际没有变化。 ( )
(2)小数点后面添上 0 或去掉 0,小数的大小不变。 ( )
答案:(1)√ (2)×
我的反思:
第 2 课时 数的运算(1)
知识板 要点梳 具体内容块 理
整数 小数 分数
加法的
意义 把两个数合成一个数的运算。
减法的
意义
已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加
数的运算。
乘法的
意义
整数乘法就是求几个相同加数和的简便运算。
(小数乘整数与整数乘法的意义相同;一个数乘小
数,就是求这个数的十分之几、百分之几是多少。)
四
则
运
算
的
意
义 除法的
意义
已知两个乘数的积与其中的一个乘数,求另一
个乘数的运算(除数不能为 0)。
整数 小数 分数
加法
相 同 数 位
对齐,从低位加
起,哪一位上的
数相加满十,就
要 向 前 一 位 进
一。
减法
相 同 数 位
对齐,从低位减
起,哪一位上的
数 不 够 减 要 从
前一位上退 1,
在本位上加上
10 再减。
计 算 小 数
加、减法时,先
把 小 数 点 对 齐
(也就是相同数
位 对 齐 ), 再 按
照 整 数 加 、 减
法 的 法 则 进 行
计算,最后在得
数 里 对 齐 横 线
上 的 小 数 点 的
位 置 点 上 小 数
点。
同 分 母 分
数相加减,分母
不变,分子相加
减;异分母分数
相 加 减 , 先 通
分,再按同分母
分 数 加 减 法 的
法 则 进 行 计
算。
数
的
运
算 四
则
运
算
的
方
法
乘法
从 低 位 到
高 位 分 别 用 乘
数 的 第 一 位 去
乘另一个乘数;
用 一 个 乘 数 的
哪一位去乘,求
得 的 数 的 末 位
就 要 和 那 一 位
对齐;然后再把
几 次 求 得 的 积
加起来。
计 算 小 数
乘法,先按照整
数 乘 法 的 法 则
算出积,再看乘
数 中 一 共 有 几
位小数,就从积
的 右 边 起 数 出
几 位 点 上 小 数
点。
分 数 乘 整
数,用分数的分
子 和 整 数 相 乘
的积作分子,分
母不变;分数乘
分数,用分子相
乘的积作分子,
分 母 相 乘 的 积
作分母。
知识板
块
要点梳
理 具体内容
数 四 除法 从 被 除 数 除 数 是 整 甲数除以乙则
运
算
的
方
法
的高位起,除数
有 几 位 就 先 看
被 除 数 的 前 几
位,如果前几位
比除数小,就多
取一位,商就写
在那一位上;每
次 除 得 的 余 数
必须比除数小;
在 求 出 商 的 最
高位以后,如果
被 除 数 的 哪 一
位上不够商 1,
就 在 那 一 位 上
写“0”。
数时,按照整数
除法进行计算,
商 的 小 数 点 要
与 被 除 数 的 小
数 点 对 齐 。 除
数是小数时,要
先 把 除 数 转 化
成整数,同时把
被 除 数 扩 大 相
同的倍数,然后
按 照 除 数 是 整
数 的 除 法 进 行
计算。
数(0 除外)等于
甲数乘乙数的倒
数。
0 或 1
在四则
运算中
的特殊
性
a+0=a a-0=a a×0=0 a÷1=aa 作为除
数时不为 0
各部分之间的关系
加法 和=加数+加数
一个加数=和-另一个加数
减法
差=被减数-减数
被减数=减数+差
减数=被减数-差
乘法 积=乘数×乘数
一个乘数=积÷另一个乘数
四则运
算中各
部分间
的关系
除法
商=被除数÷除数
被除数=商×除数
除数=被除数÷商
四则混
合运算
的顺序
在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要按
从左往右的顺序依次计算;如果含有两级运算,要先算第二级
运算,再算第一级运算。在有括号的算式里,要先算括号里面
的,再算括号外面的。
名称 举例 用字母表示
加法交换律 15+28=28+15 a+b=b+a
加法结合律 (3+52)+48=3+(52+48) (a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律 3×5=5×3 a×b=b×a
乘法结合律 3×5×6=3×(5×6) (a×b)×c=a×(b×c)
的
运
算
四则运
算定律
乘法分配律 (4+5)×5=4×5+5×5 (a+b)×c=a×c+b×c教材知识荟
【考点一】 四则运算的方法
计算。
(1)35+46= (2)950-460= (3)6.5-4.8= (4)1
3+1
6=
思路分析:(1)相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就要向
前一位进一。
(2)相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减要从前一位上退 1,
在本位上加上 10 再减。
(3)计算小数减法时,先把小数点对齐(也就是相同数位对齐),再按照整数
减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。
(4)异分母分数相加减,先通分,然后按同分母分数加减法的法则进行计
算。
解答:(1)81 (2)490 (3)1.7 (4)1
2
【练习】
1.口算。
25+36= 490-384= 18×40= 930÷3= 5.6+4.2=
0.28×0.2=
7.8-5.9=
1
2+1
5 = 1
2-1
5= 1
3×2
5= 1
4÷2
7= 8.7÷0.3=
答案:61 106 720 310 9.8 0.056 1.9 7
10 3
10 2
15 7
8 29
2.填空。
(1)两个数相除,商 8 余 1,除数是 12,被除数是( )。
(2)1.8 t 的1
3是( ),( )的1
3是 1.8 t。
(3)一根绳长1
3 m,截去1
5 m 后,还剩( )m。
(4)两个数的差是 8,被减数增加 5,差是( )。
答案:(1)97 (2)0.6 吨 5.4 吨 (3) 2
15 (4)13
3.选择。
(1)0.001 与 0.01 的积是( )。
A.0.001 B.0.0001 C.0.00001
(2)比3
4小,比1
4大的分数有( )。
A.1 个 B.2 个 C.无数个
(3)a 表示一个数,那么 a×a=( )。
A.a B.2a C.a2
(4)下面的算式中,( )的得数最大。A. 998
999×2
9 B.998
999÷ 2
9 C.998
999×9
5
答案:(1)C (2)C (3)C (4)B
【考点二】四则混合运算的顺序
脱式计算。
45×(35+55) 3.68÷4.6+3.32 9
10÷(9× 4
15-3
5)
思路分析:在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要按从左往
右的顺序依次计算;如果含有两级运算,要先算第二级运算,再算第一级运算。
在有括号的算式里,要先算括号里面的,再算括号外面的。
解答:
45×(35+55) 3.68÷4.6+3.32
=45×90 =0.8+3.32
=4050 =4.12
9
10÷(9× 4
15-3
5)
= 9
10÷(12
5 -3
5)
= 9
10÷9
5
= 9
10×5
9
=1
2
【练习】
1.口算。
7.8+2.08= 1
2-1
5= 11
5+ 9
10= 50%×5
4 =
0÷1999
2000= 4.5÷0.9= 13× 5
26 = 7%+0.23=
答案:9.88 3
10 21
10 5
8 0 5 5
2 0.3
2.脱式计算。
1.2×32-(4.56+0.14) 38×(67+53) 7
10÷(15×
7
12-1
4) 3
7÷[2
3×(1-2
5)]
答案:33.7 4560 7
85 15
14【考点三】四则运算定律
用简便方法计算。
(1)26×13
25 (2)2.5×32×12.5
思路分析:(1)两个数相乘,显然不用乘法交换律和结合律,若用分配律,就要
把其中一个数转化为和或差的形式,为使计算简便,26 写成 25+1,这样就可以约
分使计算简便。
(2)利用乘法的结合律解题。
解答:
(1) 26× 13
25 (2) 2.5×32×12.5
=(25+1)×13
25 =2.5×4×8×12.5
=25× 13
25+1×13
25 =(2.5×4)×(8×12.5)
=13+13
25 =10×100
=1313
25 =1000
【练习】
用简便方法计算。
5
7× 1
12+2
7÷12 101×59-59 5
4
7-1
3
8+2
3
7-1.625
答案: 1
12 5900 5
我的反思:
第 3 课时 数的运算(2)
知识板块 要点梳理 具体内容
解决问题常
用的两种分
析方法
1.综合法:从已知数量与已知数量的关系入手,
利用已知信息看能解决什么问题,一直到求出未知
数的解题方法。
2.分析法:从所求的问题出发,逐步找出解答问
题所需要的条件,依次推导,一直到问题得到解决。
解决实际问
题主要步骤
1.理解题意,弄清楚问题和已知的信息。
2.分析数量关系。
3.解答。
4.检验并写出答语。
行程问题
速度× 时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
工程问题
工作效率× 工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
分 数 、
百 分 数
问题
关键找准标准量,即单位“1”。单
位“1”已知,用乘法计算,单位“1”未
知,用除法计算。
数的运算
应用题的类
型及解法
鸡 兔 同
笼问题
假设全是鸡,则兔的只数=(总腿数-
2×总头数)÷ 2
假设全是兔,则鸡的只数=(4×总头
数-总腿数)÷ 2
教材知识荟
【考点一】行程问题
两列火车同时从相距 630 千米的两地相向而行,经过21
5 小时后,两列
火车相遇,已知其中一列火车的速度是 85 千米/时,求另一列火车的速度。
思路分析:这是一道典型的相遇问题,可以先求出速度和,再减去已知的火车速度;也可以先求出另一列火车行驶的路程,再用路程除以时间,求出速度。
解答:方法一:630÷21
5 -85=65(千米/时)
方法二:(630-85×21
5 )÷21
5 =65 (千米/时)
答:另一列火车的速度是 65 千米/时。
【练习】
甲、乙两车同时从 A、B 两地出发相向而行,甲每小时行驶 80 千米,乙每小
时行驶 70 千米,4 小时后两车相遇,求 A、B 两地的距离。
答案: 方法一:(80+70)×4=600(千米)
方法二:80×4+70×4=600(千米)
答:A、B 两地的距离为 600 千米。
【考点二】工程问题
某服装加工厂一月份计划生产 2000 件衬衫,上半月已完成5
8,下半月还
要生产多少件衬衫才能完成任务?
思路分析:上半月已完成5
8的意思是上半月已经完成了计划的5
8,这里把计划
生产的 2000 件衬衫看成单位“1”,下半月还要生产的衬衫件数所对应的分数是
(1-5
8),因此,下半月要生产 2000 的(1-5
8)才能完成任务。
解答:2000×(1-5
8)=2000×3
8=750(件)
答:下半月还要生产 750 件衬衫才能完成任务。
【练习】
(1)一份书稿,甲单独完成需要 10 天,乙单独完成需要 15 天,如果甲、乙两
人一同工作,完成此份书稿需要多少天?
(2)一项工程,甲单独做 8 小时完成,乙单独做 16 小时完成。若甲做 1 小时
后由乙接替甲做,乙要多少小时才能完成此项任务?
答案:(1) 1÷( 1
10+ 1
15)
=1÷( 3
30+ 2
30)
=1÷1
6
=6(天)
答:完成此份书稿需要 6 天。(2) (1-1
8)÷ 1
16
=7
8÷ 1
16
=14(时)
答:乙要 14 小时才能完成此项任务。
【考点三】分数、百分数问题
一种商品现价 60 元,比原价降低了 20%,降低了多少元?
思路分析:由“比原价降低了 20%”可知,以原价为单位“1”,20%这个百分
数对应的具体数量是降低的价钱。用标准量(即单位“1”的量)× 百分数=百分
数对应的个体数量,即原价× 20%=降低的价钱,因此,本题的关键是求单位
“1”,即原价。
解答: 60÷ (1-20%)× 20%
=60÷ 0.8× 0.2
=15(元)
答:降低了 15 元。
六(1)班有女生 24 人,女生比男生少 20%,求六(1)班共有学生多少人。
思路分析:先求出男生人数,由“女生比男生少 20%”可知男生人数是单位
“1”。男生人数未知,用除法计算。求出男生人数后,再加上女生人数,即可求
出六(1)班共有学生的人数。
解答: 24÷ (1-20%)+24
=24÷ 0.8+24
=30+24
=54(人)
答:六(1)班共有学生 54 人。
【练习】
(1)有一桶油,第一次取出总数的1
3,第二次取出总数的 40%,这时桶中还剩下
12 kg 油,这桶油原来有多少千克?
(2)截至 2014 年 7 月,实验小学完成校园绿化面积 168 m2。完成全年计算的
42%,全年计划绿化面积是多少平方米?
答案:(1) 12÷ (1-1
3-40%)
=12÷ 4
15=12×15
4
=45(kg)
答:这桶油原来有 45 kg。
(2) 168÷ 42%
=168÷ 0.42
=400(m2)
答:全年计划绿化面积是 400 m2。
【考点四】鸡兔同笼问题
笼子里有若干只鸡和兔,从上面数有 8 个头,从下面数有 28 条腿,鸡和
兔各有多少只?
思路分析:鸡兔同笼问题一般采用假设法,方法一:假设全是鸡,兔的只数
=(总腿数-2×总头数)÷ 2;
方法二:假设全是兔,鸡的只数=(4× 总头数-总腿数)÷ 2。
解答:方法一:兔: (28-2× 8)÷ 2=6(只) 鸡:8-6=2(只)
方法二:鸡:(4× 8-28)÷ 2=2(只) 兔:8-2=6(只)
答:鸡有 2 只,兔有 6 只。
【练习】
笼子里有鸡、兔若干,从上面数有 10 个头,从下面数有 32 条腿,则鸡、兔各
有多少只?
答案:方法一:兔:(32-2×10)÷ 2=6(只) 鸡:10-6=4(只)
方法二:鸡:(4×10-32)÷ 2=4(只) 兔:10-4=6(只)
答:鸡有 4 只,兔有 6 只。
我的反思:
第 4 课时 式 与 方 程
知识板块 要点梳理 具体内容
用字母表示
数、运算定
律和计算公
式
1.用字母或含有字母的式子可以表示数、数量
关系、运算定律和计算公式。
2.字母与字母、字母与数中间,乘号使用“·”
或者省略不写,乘号省略不写时,数字写在字母前
面。
3.字母表示运算定律(如下表):
运算定律 字母含义 用字母表示
加法交换
律
用 a、b 分别
表 示 两 个 加
数
a+b=b+a
加法结合
律
用 a 、 b 、 c
分 别 表 示 三
个加数
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换
律
用 a 、 b
分 别 表 示 两
个乘数
a×b=b×a
乘法结合
律
用 a 、
b 、 c 分 别 表
示三个乘数
a×b×c=a×(b×c)
乘法分配
律
用 a 、 b
分 别 表 示 两
个 加 数 ,c 表
示乘数
(a+b)×c=a×c+b×c
式与方程
方程与等式
的区别与联
1.等式的含义:表示相等关系的式子叫作等式。
2.方程的意义:含有未知数的等式叫作方程。系 3.等式与方程的联系:所有的方程都是等式,但
等式不一定是方程。
4.方程解的意义:使方程左右两边相等的未知数
的值,叫作方程的解。
5. 解方程的意义: 求方程的解的过程叫作解方
程。
等式的性质
1.等式的性质(1):等式的两边都加上(或减去)
同一个数,左右两边仍然相等。
2.等式的性质(2):等式的两边都乘(或除以)同
一个不等于 0 的数,左右两边仍然相等。
教材知识荟
【考点一】用字母表示数、运算定律和计算公式
(1)比 a 多 3 的数是( );
(2)比 a 少 3 的数是( )。
分析:(1)求比一个数多几的数用加法计算;
(2)求比一个数少几的数用减法计算。
解答:(1)a+3 (2)a-3
【练习】
1.填空。
(1)用字母表示平行四边形的面积公式( )。
(2)用字母表示梯形的面积公式( )。
(3)用字母表示长方形的周长公式( )。
(4)5 和 a 相乘的积是( )。
答案:(1)S=ah (2)S=(a+b)h÷2 (3)C=(a+b)×2 (4)5a
2.判断。
(1)字母与字母之间的乘号可以省略不写。 ( )
(2)省略乘号的时候,应当把字母写在数字的前面。 ( )
(3)用字母表示运算结果时,必须是最简式子。 ( )
(4)a×a=2a。 ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【考点二】等式的性质 列方程解决下列问题。
(1)一个数的1
6与 2 的商是 15
6,求这个数。
(2)一工厂运来一批煤,如果每天烧煤 1500 kg,比计划提前一天烧完;如果
每天烧 1000 kg,将比计划多烧一天。如果要求按计划烧煤,每天烧煤多少千克?
思路分析 (1)设这个数是 x,则1
6x÷2=15
6,求出 x 即可。
(2)如果直接设每天烧煤 x kg,不容易列出方程,题中的数量关系是:煤的总
量不变,于是可设计划烧 x 天,可以列出方程求解。
解答:(1)解:设这个数为 x。
1
6x÷2=15
6
1
12x=11
6
x=11
6 ÷ 1
12
x=22
(2)解:设计划烧 x 天。
1500(x-1)=1000(x+1)
1500x-1500=1000x+1000
1500x-1000x=1000+1500
500x=2500
x=5
1500×(5-1)÷5=1200(kg)
答:如果按计划烧煤,每天烧煤 1200 kg。
【练习】
1.解方程。
(1)7
8x-1
5=4
5 (2)3.8+1
2x =7.3
(3)8.5x-4.7x=0.76 (4)2
9×27-25%x=4
答案:(1)x=8
7 (2)x=7 (3)x=0.2 (4)x=8
2.列方程解决问题。
(1)a 的 5 倍减去 7.8 等于 7.2,求 a。(2)从 59 里面减去一个数的 4 倍,差是 25,求这个数。
(3)一个数的 5
12与这个数的1
6的和是5
6,求这个数。
答案:(1)3 (2)8.5 (3)10
7
3.列方程解决实际问题。
(1)六(2)班向穷困山区小学捐图书 110 本,如果再捐 50 本,就是六(5)班所
捐图书本数的 2 倍,六(5)班捐图书多少本?
(2)运一堆煤,如果每天运 24 车,需要 20 天运完,现在每天多运 6 车,多少天
能运完?
答案:(1)解:设六(5)班捐图书 x 本。
2x=110+50 x=80
(2)解:设 x 天能运完。
(24+6)x=24×20 x=16
我的反思:
第 5 课时 比 和 比 例
知识板块 要点梳理 具体内容
比 比例
比和比例
比和比例的
联系与区别 意义 表 示 两 个 数 相 表示两个比相等除。 的式子。
各部分
名称
8 ∶ 4 = 2
↑ ↑ ↑ ↑
前项比号后项比值
比的前项和后项
同时乘或除以相同的
数 (0 除 外 ), 比 值 不
变。
在比例里,两个
外项的积等于两个内
项的积。
基本性
质
化简比的根据。 解比例的根据。
联系
各部分名称
举例
分数 分子 分数线分母 分数值 5
8
除法 被除数除号 除数 商 5÷8=0.625
比与分数、
除法的联系
比 前项 比号 后项 比值 5∶8=0.625
比的基本性
质、分数的
基本性质、
商不变的规
律之间的联
系
1.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除
以相同的数(0 除外),比值不变。
2.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘
或除以相同的数(0 除外),分数的大小不变。
3.商不变的规律:被除数和除数同时乘或除以
相同的数(0 除外),商不变。
不同点
意义 变化方向 关系式
相同点正 比
例、反比例
的区别与联
系
正 比
例
两 种 量
中 相 对
应 的 两
一 种 量
扩大(或
缩 小 ),
另 一 种
量 也 随
푦
푥
=k( 一
定)
两种相关联
的 量 , 一 种
量 变 化 , 另个 数 的
值,( 商)
一定。
之 扩 大
( 或 缩
小)。
反 比
例
两种量
中相对
应的两
个数的
积一
定。
一 种 量
扩大(或
缩 小 ),
另 一 种
量 却 随
之 缩 小
( 或 扩
大)。
xy=k( 一
定)
一种量也随
之变化。
教材知识荟
【考点一】比和比例的区别与联系
填空。
(1)一项工作,甲单独完成需要 4 天,乙单独完成需要 5 天,甲和乙的工作效
率比是( ) ∶( )。
(2)把 1 米 ∶5 厘米化成最简单的整数比是( ),比值是( )。
思路分析:(1)要求甲、乙的工作效率比,关键是要根据“工作效率=工作总
量÷工作时间”求出甲、乙的工作效率,即1
4∶1
5=5∶4;
(2)先将单位统一,再用比的前项除以比的后项求出最简单的整数比和比值,
但要注意结果的区别。即 1 米∶5 厘米=100 厘米∶5 厘米=20∶1=20。
解答:(1)5 4 (2)20∶1 20
【练习】
1.填空。
(1)2.4∶0.8 化成最简单的整数比是( ),比值是( )。
(2)甲、乙两数的比是 5∶6,甲数是乙数( ),乙数是甲、乙两数和的
( )。
(3)( )÷16=5
8=15∶( )=( )%。(4)如果 7×a=3×b(a、b 都不为 0),那么 a∶b=( )。
答案:(1)3∶1 3 (2)5
6 6
11 (3)10 24 62.5 (4)3∶7
2.判断。
(1)化简比的结果是一个数,可以是小数、分数或整数。 ( )
(2) 完成一项工作, 甲用 9 小时, 乙用 7 小时, 甲、乙的工作效率之比是
7∶9。 ( )
(3)比的前项和后项都乘一个相同的数,比值不变。 ( )
答案:(1)× (2)√ (3)×
3.化简下列各比,并求出比值。
(1)1
9∶1
6 (2)2∶8
3 (3)4∶0.8 (4)24 cm∶4 m
答案:(1)2∶3 2
3 (2)3∶4 3
4 (3)5∶1 5 (4)3∶50 3
50
4.解比例。
(1)3
5∶x=3
4∶3
8 (2) x
25= 6
75
(3)15∶x=0.3∶10 (4)x∶2
3=1∶1.2
答案:(1)x= 3
10 (2)x=2 (3)x=500 (4)x=5
9
【考点二】正比例、反比例的区别与联系
王师傅平时每天工作 6 小时,能加工零件 72 个,如果王师傅要加工 120
个零件,需要多少小时?
思路分析:求王师傅加工 120 个零件需要的时间,先要判断出加工零件的个
数与时间成正比例,再列比例式解答。
解答:解:设需要 x 小时。72
6 =120
x
72x=6×120
x=10
答:需要 10 小时。
有一本书,每页 16 行,每行 36 个字,共有 150 页,现在要改为每页 18
行,每行 24 个字。该书应有多少页?
思路分析:求该书应有多少页,由于总字数是一定的,可以判断出每页的字与
页数成反比例,列出比例式解答。
解答:解:设该书应有 x 页。
18×24×x=16×36×150
432x=86400
x=200
答:该书应有 200 页。
【练习】
(1)一辆汽车 3 小时行驶 180 km,照这样的速度,行驶 1920 lm 需要多少小
时?
(2)一间教室用边长 0.4 m 的正方形砖铺地,需要 300 块,如果改用边长为
0.5 m 的正方形砖铺地,需要多少块?
(3)电视机厂试制一批新产品,原计划每天生产 40 台,30 天完成。实际每天
比原计划多生产 25%,实际多少天完成?
答案:(1)解:设行驶 1920 km 需要 x 小时。
180
3 =1920
x
180x=1920×3
x=32
答:行驶 1920 km 需要 32 小时。
(2)解:设需要 x 块。0.5×0.5×x=0.4×0.4×300
0.25x=48
x=192
答:需要 192 块。
(3)解:设实际 x 天完成。
40×(1+25%)×x=40×30
50x=1200
x=24
答:实际 24 天完成。
我的反思:
2.图形与几何
第 1 课时 图形的认识与测量(平面图形)
知识板块 要点梳理 具体内容
直线 没有端点,无法度量
射线 一个端点,无法度量分类
线段 两个端点,可以度量
垂直(相交成直角)
相交
不垂直(相交不成直角)
位置关系
(同一平面内)
平行 不相交
点到直线的距
离
垂线段最短
线
距离
平行线间的距
离
都相等
角的意义
从一点引出两条射线所组成
的图形
角的大小 与两条边张开的大小有关
图
形
与
几
何
平
面
图
形
的
分
类
及
特
点
角
角的分类
锐角(小于 90°)、直角
(90°)、钝角(大于 90°小于 180°)、
平角(180°)、周角(360°)
角的度量 使用量角器测量
特征 稳定性
锐角三角形(三个角都是锐
角)
直角三角形(有一个角是直
角)
按角分类
钝角三角形(有一个角是钝
角)
不等边三角形(三条边均不
相等)
等腰三角形(有两条边相等)
三角形
按边分类
等边三角形(三条边相等)
(特殊的等腰三角形)
知识板块 要点梳理 具体内容
三角形具有稳定性
三角形
三角形的内角和是 180°
平行四边形 两组对边分别平行且相等
图
形
与
几
平
面
图
形
四边形
长方形
四个角都是直角,对边平行且
相等正方形
特殊的长方形,四个角都是直
角且四条边都相等
梯形 只有一组对边平行
圆 各部分名称 圆心(O)、直径(d)、半径(r)
名称
周长(C)计算公
式
面积(S)计算公
式
长方形 C=2(a+b) S=ab
正方形 C=4a S=a2
平行四边形 —— S=ah
梯形 —— S=(a+b)h÷2
圆 C=πd 或 C=2πr S=πr2
何 的
分
类
及
特
点
平面图形
的
周长和面
积
计算公式
三角形 —— S=ah÷2
教材知识荟
【考点一】线
判断。
(1)不相交的两条直线叫作平行线。 ( )
(2)一条射线长 5 m。 ( )
(3)过直线外一点画已知直线的平行线,可以画 1 条。 ( )
思路分析:(1)在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线。所以此题
错误。
(2)射线不能度量,所以此题错误。
(3)正确。
解答:(1)× (2)× (3)√
【练习】
1.填空。
(1)过一点可以画( )条射线,过两点可以画( )条线段。(2)直线有( )个端点,射线有( )个端点,线段有( )个端点。
(3)在同一平面内,两条直线要么( ),要么( )。
答案:(1)无数 1 (2)0 1 2 (3)平行 相交
【考点二】角
判断。
(1)一个角的两边越长,这个角就会越大。 ( )
(2)平角是一条直线,一条直线就是 180°。 ( )
(3)下面各图形,哪些是角?哪些不是角?是的画“√”,不是的画“×”。
思路分析:(1)一个角的大小由角两边的张口大小决定,与角两边的长短没有
关系。
(2)平角是等于 180°的角,直线没有端点,是把线段向两端无限延长得到
的。
(3)根据角的定义来判断,角是从一点引出两条射线所组成的图形。
解答:(1)× (2)×
(3)
填空。
(1)一个角有( )个顶点、( )条边。
(2)请你给下图的角的各部分填上名称。
思路分析:(1)根据角的定义完成此题,即从一点引出两条射线所组成的图
形。
(2)根据角的组成完成此题,即角是由一个顶点和两条边组成。
解答:(1)1 2
(2)【练习】
1.我能做好。
(1) 判断下面的图形哪些是角, 是角的在( ) 里画“√”, 不是的画
“×”。
(2)用三角板比比下面哪个是直角,是直角的在( )里画“√”,不是的画
“×”。
(3)数一数,下面图形中各有几个角?填在( )里。
答案:(1)( √ ) ( × ) ( × ) ( × ) ( √ ) ( √ )
(2)( × ) ( √ ) ( √ ) ( × ) ( √ )
(3)( 3 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 4 )
2.我会画。
在方格纸上画一个直角。
答案:
【考点三】三角形
填空。
(1)直角三角形除一个直角外,其余两个角一定是( )角。
(2)一个三角形,其中两个角分别是 40°和 60°,这个三角形是( )角三角形。
(3)三角形按角可分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。
思路分析:(1)根据三角形的内角和是 180°,一个角是直角即 90°,那么其
余两个角的和就是 90°,说明两个角都小于 90°,所以一定是锐角。
(2)根据三角形的内角和是 180°,其中两个角分别是 40°和 60°,可求出
另外一个角是 80°,三个角都是锐角,可判断是锐角三角形。
(3)根据三角形的分类完成此题,即三角形按角可分为:锐角三角形、直角三
角形和钝角三角形。
解答:(1)锐 (2)锐 (3)锐角 直角 钝角
【练习】
1.填空。
(1)一个三角形最多可以画( )条高。
(2)由三条( )围成的图形叫三角形。
(3)一个等腰三角形,其中一个角是 50°,它的另外两个角可能是( )和
( ),也可能是( )和( )。
答案:(1)3 (2)线段 (3)65° 65° 50° 80°
2.判断。
(1)等腰三角形一定是锐角三角形。 ( )
(2)一个三角形中,最大的角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形。
( )
(3)用三根分别长 15 厘米、24 厘米和 8 厘米的小木棒,一定能摆出一个三
角形。 ( )
答案:(1)× (2)√ (3)×
【考点四】四边形
判断。
(1)一组对边平行的四边形叫作梯形。 ( )
(2)一组对边平行的四边形叫作平行四边形。 ( )
思路分析 (1)一组对边平行,另一组对边不平行的四边形才是梯形,所以错
误。
(2)两组对边分别平行且相等的四边形叫作平行四边形,所以错误。
解答 (1)× (2)× 选择。
(1)梯形的高有( )条。
A.一 B.两 C.三 D.无
数
(2) 在一个等腰梯形中画一条线段, 可以将它分割成两个完全一样的
( )。
A.梯形 B.平行四边形 C.三角形 D.正方形
(3)下列四边形中( )不是轴对称图形。
A. B. C. D.
(4)把一个长方形框架拉成一个平行四边形,这个平行四边形的周长比原长
方形的周长( )。
A.大 B.小 C.一样大 D.无法比较
思路分析:(1)梯形的高:夹在两底之间的垂线段有无数条,所以选择 D;
(2)画出连接上底、下底的中点的线段,即可分出两个完全一样的梯形,所以
选择 A;
(3)在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重
合,这样的图形叫作轴对称图形,以上三个图形只有 A 不能沿一条直线折叠后完
全重合,所以选择 A;
(4)周长是围成一个封闭图形的线段的长度,长方形框架拉成一个平行四边
形,由于四条边的长度没有变化,所以它们的周长一样大,选择 C。
解答 (1)D (2)A (3)A (4)C
【练习】
1.填一填。
(1)两组对边分别( )的四边形叫作平行四边形。
(2) 常 见 的 四 边 形 有
( )。
(3)只有一组对边平行的四边形叫作( )。
(4)( )的梯形叫作等腰梯形。
答案:(1)平行且相等 (2)平行四边形、长方形、正方形、梯形 (3)梯形 (4)两腰相等
2.大显身手。
(1)过直线外一点作已知直线的垂线和平行线。
(2)画出下面平行四边形的高。
(3)按要求在下面图形中画一条线段。
①分成两个梯形。
②分成一个三角形和一个平行四边形。
答案:
(答案不唯一)
【考点五】圆
填空。
(1)( )确定圆的大小,( )确定圆的位置。
(2)在同一个圆内,半径是直径的( ),直径是半径的( )。
(3)两个半径不等的同心圆之间的部分叫作( )。
思路分析:(1)根据圆的特点完成此题;
(2)根据圆的特征完成此题。
(3)根据圆环的定义完成此题。
解答:(1)半径 圆心 (2)一半 二倍 (3)圆环
【练习】
1.填写表格。半径(r) 3 厘米 1.8 分
米
10 厘
米
直径(d) 4 厘米 0.7 米
答案:从左向右为:6 厘米 2 厘米 3.6 分米 0.35 米 20 厘米
2.画一个直径 4 厘米的圆,标出圆心、半径和直径。
答案:略
【考点六】 平面图形的周长与面积计算公式
下图中,边长为 10 cm 和 15 cm 的两个正方形并放在一起,求三角形
ABC(阴影部分)的面积。
思路分析:三角形 ADC 的面积是 10×15÷2=75(cm2),如果三角形 ABC 和三角
形 BCD 都以 BC 边为底,又已知三角形 ABC 的高是三角形 BCD 高的(15÷10=1.5)
倍 , 那 么 三 角 形 ABC 的 面 积 是 三 角 形 BCD 的 1.5 倍 。 阴 影 部 分 面 积 是
75÷(1+1.5)×1.5=45(cm2)。
解答:10×15÷2=75(cm2) 75÷(1+1.5)×1.5=45(cm2)
填表。
图形 已知条件 周长/m 面积/m2
长方形 a=8,b=6
正方形 a=7
平行四边
形 a=10,h=8 /
三角形 a=15,h=10 /梯形 a=12,b=18,h=8 /
圆 r=2
思路分析:根据平面图形的周长和面积公式完成此题。
解答:
图形 已知条件 周长/m 面积/m2
长方形 a=8,b=6 28 48
正方形 a=7 28 49
平行四边
形 a=10,h=8 / 80
三角形 a=15,h=10 / 75
梯形 a=12,b=18,h=8 / 120
圆 r=2 12.56 12.56
【练习】
1.填空。
(1)一个时钟的时针长 5 cm,一昼夜时针针尖走了( )cm。
(2)一个圆的半径扩大到原来的 2 倍,周长扩大到原来的( ),面积扩大到
原来的( )。
(3)用一根长 2 米的绳子将一只羊拴在一根木桩上,这只羊最多能吃到
( )平方米的草。
答案:(1)62.8 (2)2 倍 4 倍 (3)12.56
2.选择。
(1)用一根铁丝围成正方形、长方形和圆,面积最大的是( )。
A.长方形 B.正方形 C.圆
(2)一个平行四边形和一个三角形等底等高,已知平行四边形的面积是 50 cm2,那么三角形的面积是( )cm2。
A.30 B.50 C.25
答案:(1)C (2)C
3.解决问题。
(1)一个梯形广告牌,它的上底是 6 m,下底是 10 m,高是 8 m。如果要给这
个广告牌涂上油漆,按每平方米花费 15 元来计算,共要花多少元?
(2)王奶奶家用 65 m 长的竹篱笆在一块靠墙的空地上围了一个菜园(如图),
这个菜园的面积是多少平方米?
(3)在一个半径 4 m 的圆形花坛周围修一条宽 2 m 的甬道,甬道的面积是多
少平方米?
(4)一块三角形菜地的面积是 0.25 公顷,菜地的底是 50 m,高是多少米?
解答:(1)(6+10)×8÷2×15=960(元)
(2)(65-20)×20÷2=450(m2)
(3)3.14×[(4+2)2-42]=62.8(m2)
(4)0.25 公顷=2500 m2 2500×2÷50=100(m)
我的反思:
第 2 课时 图形的认识与测量(立体图形)
知识板
块
要点梳
理
具体内容
相同点 不同点
名称 图形
面 棱
面的特
点
面的大
小
棱长
从不同
方向上
看到的
形状
长
方
体
6 个面
一般都
是长方
形,特
殊情况
可能有
2 个相
对的面
是正方
形。
相对的
面的面
积相
同。
相对棱
的
长度相
等。
长方体
的棱长
总和
C=4(a
+b+h)
。
从上、
下、
前、
后、
左、右
看,一
般都会
看到长
方形,
特殊情
况可能
看到正
方形。
图
形
与
几
何
长
方
体
和
正
方
体
的
特
征
正
6
个
12
条
8
个
6 个面
都是完
6 个面 12 条
棱
从上、
下、方
体
全相同
的正方
形。
的面积
都相
等。
的长度
都相
等。正
方体的
棱长总
和:C=1
2a。
前、
后、
左、
右看,
都会看
到一
个正方
形。
名称 图形 特征
从不同方向上看到的形
状
圆
柱
与
圆
锥
的
特
征
圆
柱
1.圆柱有 3 个面,
上、下两个底面
是大小相同的圆,
侧面是曲面。
2.圆柱两底面之
间的距离叫作高,
它有无数条高。
3.圆柱沿侧面上
的高展开后是长
方形(或正方
形)。
4.以长方形或正
方形的一条边为
轴旋转一周形成
圆柱。
1.从上或下看,会看到一
个圆。
2.从侧面看,会看到一个
长方形(或正方形)。
知识板
块
要点梳
理
具体内容名称 图形 特征
从不同方向上看到的形
状圆
柱
与
圆
锥
的
特
征
圆
锥
1.圆锥有 2 个面,
它的底面是圆,侧
面是曲面。
2.圆锥的顶点到
底面圆心的距离
叫作高,圆锥只有
一条高。
3.以直角三角形
的一条直角边为
轴旋转一周形成
圆锥。
1.从上面看,会看到☉。
2.从下面看,会看到一个
圆。
3.从侧面看,会看到一个
等腰三角形。
1.表面积:一个立体图形所有面的面积总和。
2.体积:一个立体图形所占空间的大小。
名称 图形 字母意义 侧面积 表面积 体积
长
方
体
a—长
b—宽
h—高
S=
2(a+b)h
S=
(ab+ah
+bh)×2
V=abh
正
方
体
a—棱长 S=4a2 S=6a2 V=a3
空
间
与
几
何
立
体
图
形
的
表
面
积
和
体
积
圆
柱
r—底面半
径 h—高
S=Ch
=2πrh
S=2πrh
+2πr2
V=πr2h
V=ShC—底面周
长
圆
锥
S—底面积
r—底面半
径
h—高
—— —— V=1
3Sh=1
3πr2h
教材知识荟
【考点一】 长方体和正方体的特征
判断。
(1)圆柱的侧面展开一定是正方形。 ( )
(2)以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成的图形是圆锥。
( )
(3) 把 一 根 长 24 cm 的 铁 丝 制 作 成 一 个 正 方 体 框 架 , 棱 长 是 3 cm 。
( )
思路分析 (1)圆柱的特征:沿侧面上的高展开后是长方形(或正方形),所以
此题错误。
(2)以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成圆锥,所以此题正确。
(3)正方体有 12 条长度相等的棱,24÷12=2(厘米),此题错误。
解答:(1)× (2)√ (3)×
【练习】
填空。
(1)正方体有( )条棱、( )个顶点,每个面都是( )形,正方体是
特殊的( )。
(2)长方体至少有( )个面是长方形。
答案:(1)12 8 正方 长方体
(2)4
【考点二】圆柱和圆锥的特征 填空。
(1)圆柱的两个底面都是( )。
(2)圆柱的侧面是一个( )面,把它沿着高展开可能是一个( )形或
( )形。
(3)圆锥的高有( )条,圆柱的高有( )条。
思路分析:(1)根据圆柱的构成完成此题,圆柱有 3 个面,上、下 2 个底面是
大小相同的圆,侧面是曲面。
(2)根据圆柱的特征完成此题,圆柱沿侧面上的高展开后是长方形(或正方
形)。
(3)根据圆柱、圆锥的特征完成此题,圆柱两底面之间的距离叫作高,它有无
数条高;圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作高,圆锥只有一条高。
答案:(1)圆 (2)曲 长方 正方 (3)1 无数
【练习】
1.判断。
(1) 如果一个长方体有两个面是正方形, 那么其他 4 个面的面积相等。
( )
(2)圆柱的侧面沿高展开是一个长方形或正方形。 ( )
(3)长方体的三条棱就是它的长、宽、高。 ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)×
2.填空。
(1)长方体和正方体都有( )个面、( )个顶点、( )条棱,长方体
两个相对的面( ),相对的棱( ),正方体六个面都是( ),所有的
棱( )。
(2)圆柱的侧面沿着一条( )展开会得到一个( ),它
的长等于圆柱的( ),它的宽等于圆柱的( )。
(3) 以一个长 6 厘米、宽 4 厘米的长方形的宽为轴旋转一周会得到一个
( ),它的底面半径是( )厘米,高是( )厘米。
(4)以直角三角形的一条( )为轴,旋转一周得到的图形是( ),另有一
条直角边是( )。答案:(1)6 8 12 完全相同 长度相等 正方形 长度相等
(2)高 长方形或正方形 底面周长 高
(3)圆柱 6 4
(4)直角边 圆锥 底面半径
【考点三】 立体图形的表面积和体积
一个圆柱的侧面展开图是正方形,已知它的底面周长是 31.4 cm,它的体
积是多少?
思路分析:当底面周长与高相等时,圆柱的侧面展开图是正方形,所以底面周
长是 31.4 cm,说明圆柱的高也是 31.4 cm。根据底面周长求出底面半径,进而求
出底面面积,最后求得体积。
解答:31.4÷3.14÷2=5 (cm) 3.14×52×31.4=2464.9 (cm2)
求下列立体图形的底面周长和底面积。
思路分析:根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面
积。
解答:圆柱:底面周长 3.14×3×2=18.84(cm)
底面积 3.14×32=28.26(cm2)
圆锥:底面周长 3.14×10=31.4(m)
底面积 3.14×(10÷2)2=78.5(m2)
【练习】
(1)做一个圆柱形油桶,底面直径是 0.6 m,高是 1 m,至少需要多少平方米铁
皮?(得数保留整数)
(2)一个圆柱的底面直径是 6 cm,高是 10 cm,体积是多少?(3)一个圆锥的底面半径是 5 m,高是 6 m,体积是多少?
答案:(1) 底面积:3.14×(0.6÷2)2=0.2826(m2)
侧面积:3.14×0.6×1=1.884(m2)
表面积:0.2826×2+1.884=2.4492(m2)≈3(m2)
(2)底面积:3.14×(6÷2)2=28.26(m2)
体积: 28.26×10=282.6(m3)
(3)1
3×3.14×52×6=157(m3)
我的反思:
第 3 课时 图形的运动
知识板块 要点梳理 具体内容
平移与旋转
1.平移:一个物体或图形在同一平面内沿直线运动,
且自身的方向没有发生变化,像这样的物体或图形
所做的运动叫作平移。
2.旋转:把一个物体或图形绕着某一点或某一条直线
做圆周运动,像这样的物体或图形所做的运动叫作
旋转。
轴对称图形
轴对称图形:如果一个图形沿一条直线对折,直线两
侧的部分能够完全重合,这个图形就叫作轴对称图
形,这条直线叫作它的对称轴。
图
形
的
运
动
图形的放大
与缩小
图形的放大与缩小:可以把一个图形按照一定的比
例进行放大或缩小,从而得到该图形的放大或缩小
图。
教材知识荟
【考点一】平移与旋转
连一连。
思路分析:根据平移、旋转的概念完成此题。平移:一个物体或图形在同
一平面内沿直线运动,且自身的方向没有发生变化,像这样的物体或图形所做
的运动叫作平移;旋转:把一个物体或图形绕着某一点或某一条直线做圆周运动,像这样的物体或图形所做的运动叫作旋转。
解答:
观察下图,判断从前面到后面每次发生了怎样的变化?填上“平移”
或“旋转”。
思路分析:根据平移、旋转的概念完成此题。
解答:旋转 旋转 平移 平移
【练习】
1.下列现象哪些是平移?哪些是旋转?
酒店的门( ) 自行车的车轮
( )
公园里的木马( ) 大楼里的电梯( )
答案:旋转 旋转 旋转 平移
2.看图填一填。
(1) 长 方 形 向 ( ) 平 移 了 ( ) 格 。
(2) 六 边 形 向 ( ) 平 移 了 ( ) 格 。
(3) 五 角 星 向 ( ) 平 移 了 ( ) 格 。 答案:(1)上 6 (2)左 5 (3)下 6
3.画一画。
(1)小旗子向左平移 8 格。
(2)小旗子绕 O 点顺时针方向旋转 90°。
答案:略
【考点二】轴对称图形
填空。
(1)如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就
是( ),折痕所在的直线叫作( )。
(2)圆的对称轴有( )条,半圆的对称轴有( )条。
(3)( )三角形有三条对称轴,( )三角形有一条对称轴。
思路分析:(1)(2)(3)根据对称轴的概念完成此题,轴对称图形:如果一个图
形沿一条直线对折,直线两侧的部分能够完全重合,这个图形就叫作轴对称图形,
这条直线叫作它的对称轴。
解答:(1)轴对称图形 它的对称轴 (2)无数 1 (3)等边 等腰
画出下列图形的对称轴。
思路分析:根据对称轴的概念完成此题。解答:
【练习】
1.选择。
(1)下列各图形中,不是轴对称图形的是( )。
A. B. C. D.
(2)下列图形中,对称轴最多的是( )。
A.等边三角形 B.正方形 C.圆 D.长方形
(3)下列不是轴对称图形的是( )。
A.长方形 B.平行四边形 C.圆 D.半圆
答案:(1)A (2)C (3)B
2.以图中虚线为对称轴,画出图形的另一半。
答案:
【考点三】 图形的放大与缩小
选择。
(1)图形的各边按相同的比放大或缩小后所得的图形与原图形比较( )。
A.形状相同,大小不变 B.形状不同,大小不变
C.形状相同,大小改变 D.形状不同,大小改变
(2)一个直角三角形的两条直角边缩小到原来的1
3后,其斜边( )。A.扩大到原来的 3 倍 B.不变 C.缩小到原来的1
3 D.
无法判断
(3)把一个图形按 4∶1 变化后,得到的图形与原图形比较,正确的说法是
( )。
A.面积扩大到原来的 4 倍 B.面积缩小到原来的1
4
C.周长扩大到原来的 4 倍 D.周长缩小到原来的1
4
思路分析:(1)可以把一个图形按照一定的比进行放大或缩小,从而得到该图
形的放大或缩小图,一个图形的相似图形与原图比较:形状相同,大小不同。
(2)可以把一个图形按照一定的比进行放大或缩小,从而得到该图形的放大
或缩小图。
(3)把一个图形按 4∶1 变化后,每条边都是原来的1
4,也就是说这个图形的周
长缩小为原来的1
4。
解答:(1)C (2)C (3)C
下面( )图是图形 A 按 2∶1 扩大后得到的图形。
思路分析 把 A 图形按 2∶1 扩大,就是将 A 图形的长、宽都扩大到原来的
2 倍,即长 3 个格,扩大后就是 6 个格;宽 2 个格,扩大后是 4 个格,选择 D。
解答 D
【练习】
1.按 4∶1 画出下列图形放大后的图形。答案:
2. 按 1∶2 画出下列图形缩小后的图形。
答案:
我的反思:
第 4 课时 图形与位置
知识板块 要点梳理 具体内容
确定物体的
相对位置
1.根据行、列用数对表示物体的位置。
(1)竖排叫作列,横排叫作行,确定第几列一般是从左
往右数,确定第几行一般是从前往后数。
(2)用数对表示物体位置时,一般先表示第几列,再表
示第几行。要用括号把列数与行数括起来,并在列
数与行数之间用逗号隔开。
2.根据物体的方向和距离可以确定物体的位置。
确认方向
在地图或平面图中,通
常是上北、下南、左西、
右东,还有东面、东北、
西面、西北 4 个方向,
如右图:
图形与位置
使用线路图
1.看懂并描述线路图。
(1)根据方向标确定线路图的方向。
(2)根据比例尺和测得的图上距离算出相应的实际
距离。
(3)弄清图中从哪儿按什么方向走,走多远到哪儿。2.画线路图。
(1)确定方向。
(2)根据实际距离及图纸的大小确定比例尺。
(3)求出图上距离。
(4)以某一地点为起点,根据方向和图上距离确定下
一地点的位置,再以下一地点继续画。
比例尺
1.比例尺的意义。
图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
2.求图上距离或实际距离。
图上距离
实际距离=比例尺;
图上距离=实际距离×比例尺;
实际距离=图上距离÷比例尺。
教材知识荟
【考点】确定物体的相对位置
小明家所在的街区的平面图如下:
比例尺 1∶20000
如果以学校为中心,你用什么方法来确定其他地方的位置?
思路分析:用方格纸上的数对来确定物体的位置。例如:小明家的位置是(2,2)。如图
所示:
用方向和距离来确定物体的位置。例如: 邮局在学校东偏北 45° 约 280
m(用直尺量出小明家到邮局的图上距离,再根据实际距离=图上距离÷比例尺,计
算出实际距离即可)的位置。
解答:略
【练习】
1.看图解决问题。
(1)赵波从家到学校需要走多少米?
(2)写出他的行走线路。答案:(1)120+130+125+186+130+95=786(米)
(2)赵波从家到学校的线路:先向北走 120 米到食品超市,再向东北走 130 米
到书城,再向东南走 125 米到影剧院,再向东北走 186 米到医院,再向正东走 130
米到银行,再向东南走 95 米到学校。
2.看图答题。
(1)根据上面的路线图,说一说小玲从家去书店和回来时所走的方向和路程,
并完成下表。
方向 路程 时间
家→商场 15 分
商场→书店 7 分
书店→商场 8 分
商场→家 18 分
全程
(2)小玲走完全程的平均速度是多少?
答案:(1)第一段是从家出发向西偏北 30°方向行走 1000 米到达商场;第二
段是从商场出发向南偏西 45°方向行走 400 米到达书店;第三段是从书店出发
向北偏东 45°方向行走 400 米到达商场;第四段是从商场出发向东偏南 30°方向行走 1000 米到达家。
方向 路程 时间
家→商场 西偏北
30°
1000 米 15 分
商场→书店 南偏西
45°
400 米 7 分
书店→商场 北偏东
45°
400 米 8 分
商场→家 东偏南
30°
1000 米 18 分
全程 2800 米 48 分
(2)2800÷48≈58.3(米/分)
3.岛在灯塔的( )偏( )( )°方向( )米处。
答案:东 北 40 1000
我的反思:
3.统计与概率
第 1 课时 统 计
知识板
块
要点梳
理
具体内容
调查统
计
工作的
主
要步骤
1.确定调查的主题和需要调查的数据。
2.根据调查的主题和数据设计调查表(用于问卷调查)或统计
表(用于收集现成数据)。
3.确定调查的方法:实地调查、测量、问卷调查,或收集各种
媒体上的信息。
4.进行调查,确定数据记录的方法。明确把数据记录在调查表
上还是记录在统计表上。
5.整理和描述数据,对数据进行分类,选择适当的统计图表示
数据。
6.根据统计图分析数据,作出判断和预测。
统计
设计调
查表
1.调查表是一种比较规范的收集数据的方法。
2.设计调查表主要有以下几项工作:
(1)根据教学和普遍关注的问题,确定调查哪些数据。
(2)调查的方法是什么,例如是由每个调查者自己填表还是由
调查者进行访谈填表等。
如何记录数据,例如所调查的数据是写出来还是给出选项进
行选择等。统计表
和
统计图
1.统计表。
(1)单式统计表:只有一组统计项目的统计表。
(2)复式统计表:有两组或两组以上统计项目的统计表。
(3)制作统计表的步骤:
①收集整理数据。
②确定统计表的格式和栏目数量,根据纸张大小制成表格。
③填写栏目和各项名称,并填写数据。
④写好表格名称并标明制表时间。
2.统计图。
(1)条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点和作用。
条形统计
图
折线统计
图
扇形统计
图
用一个单位长度表示
一定的数量
特点
用直条
的长短
表示数
量的多
少
用折线
起伏表
示数量
的增减
变化
用整个
圆面积
表示总
数,用圆
内的扇
形面积
表示各
部分占
总数的
百分数
作用
从图中
能清楚
地看出
各数量
从图中
能清楚
地看出
数量增
从图中
能清楚
地看出
各部分的多少,
便于相
互比较
减变化
的情况,
也能看
出数量
的多少
与总数
的百分
比,以及
部分与
部分之
间的关
系
知识板
块
要点梳
理
具体内容
统计
统计表
和
统计图
(2)绘制条形统计图的步骤:
①根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。
②通常在水平射线(即横轴)上,适当分配条形的位置,确定直
条宽度和间隔。
③通常在与水平射线垂直的射线(即纵轴)上,根据数据大小
的具体情况,确定单位长度。
④按照数据的大小,画出长短不同的直条,并标明数量。
⑤写上统计图名称并标明制图时间。
(3)会根据统计图进行数据分析,提出问题,并能作出简单的判
断和预测。
教材知识荟
【考点】统计表和统计图
填空。
(1)常用的统计图有( )、( )、( )。
(2)如果想清楚地看出数量的多少,选( )统计图;如果想看出数量增
减变化的情况,选( )统计图;如果要反映各部分量与总数之间的关系,选
( )统计图。
思路分析:(1)常用的统计图:条形统计图、折线统计图和扇形统计图。(2)根据统计图的作用完成此题。从条形统计图中能清楚地看出各数量的
多少;从折线统计图中能清楚地看出数量增减变化的情况,也能看出数量的多
少;从扇形统计图中能清楚地看出各部分与总数的百分比,以及部分与部分之
间的关系。
解答:(1)条形统计图 折线统计图 扇形统计图
(2)条形统计图 折线统计图 扇形统计图
【练习】
1.根据所要描述的情况,填写合适的统计图。
(1)描述六(1)班同学喜欢的体育项目情况,用( )。
(2)描述六(1)班同学对自己不同年级时的综合表现满意人数随着年级的
变化情况,用( )。
(3) 描 述 六 (1) 班 男 、 女 生 人 数 各 占 全 班 人 数 的 百 分 比 情 况 , 用
( )。
答案:(1)条形统计图
(2)折线统计图
(3)扇形统计图
2.补充统计表。
光明机床厂第一季度生产情况统计表
项目 计划生产/台 实际生产/台 增产的百分数
一月 200 25%
二月 220 230
三月 20%
合计 670
答案:
项目 计划生产/台 实际生产/台 增产的百分数一月 200 250 25%
二月 220 230 4.5%
三月 250 300 20%
合计 670 780 16.4%
我的反思:
第 2 课时 可 能 性
知识板块 要点梳理 具体内容
平均数
平均数:求平均数的实质就是将几个数量在总量(和)
不变的情况下,通过移多补少,使它们变为相等。总
数÷总份数=平均数。可能性
可能性 1.确定与不确定事件,用一定、可能等词语来描述。2.体验事件发生的可能性及游戏的公平性。
3.求简单事件发生的可能性。
教材知识荟
【考点一】平均数
六(1)班的一个小组开展 1 分钟跳绳比赛,该小组每个人的跳绳成绩
如下。(单位:个)
92,133,234,92,92,128,113,92,116,225,125,92,92,235,164。
问题:这组数据的平均数是多少?
思路分析 求平均数就是用这组数据的总和除以这组数据的个数。
解答:(92×6+113+116+125+128+133+164+225+234+235)÷15=135
【练习】
1.填空。
数据 58,57,42,45,50,54 的平均数是( )。
答案:51
2.某市举行一次少年书法比赛,各年龄组的参赛人数如下表所示。
年龄组 13 岁 14 岁 15 岁 16 岁
参赛人数 5 19 12 14
小红说,她所在年龄组的参赛人数占全体参赛人的 28%。你认为小红是哪
个年龄组的选手?并说明理由。
答案:(5+19+12+14)×28%=14(人),只有 16 岁年龄组是 14 人,所以小红是
16 岁年龄组的选手。
【考点二】可能性
填空。
(1)学校举行篮球比赛,裁判员抛硬币来决定谁开球,出现正面的可能性是
( ),出现反面的可能性是( )。
(2)盒子里有 6 个白球,4 个黄球,任意摸一个球,摸到白球的可能性是
( ),摸到黄球的可能性是( )。
(3)小正方体的各面分别写着 1、2、3、4、5、6。掷出每个数的可能性
都是( ),单数朝上的可能性是( ),双数朝上的可能性是
( )。
(4)在分别写有数字 1、2、3、4、5、6 的 6 张卡片中,抽出写有质数的卡
片的可能性是( ),抽出写有合数的卡片的可能性是( )。分析:(1)硬币有正、反两个面,出现的可能性是相等的,都是1
2;
(2)6 个白球,4 个黄球,一共有 10 个球,所以摸到白球的可能性是 6
10即3
5,摸
到黄球的可能性是 4
10即2
5;
(3)因为有 6 个数字,所以掷出每个数字的可能性都是1
6;因为单数有 1、3、
5 三个数字,可能性为3
6即1
2,同理,双数的可能性也是1
2;
(4)因为 1、2、3、4、5、6 中质数有 2、3、5,所以抽出质数的可能性为 3
6
即1
2,而合数有 4、6,所以抽出合数的可能性为2
6即1
3。
解答:(1)1
2 1
2 (2)3
5 2
5 (3)1
6 1
2 1
2 (4)1
2 1
3
【练习】
1.填空。
(1)袋子里装有红、黄、白球的个数分别为 3、4、5 个,这些球除颜色外都
相同,从袋中任摸一球,则摸到黄球的可能性是( ),摸到的不是黄球的可
能性是( )。
(2)20 个饮料瓶盖中,有 4 个红色的,5 个黄色的,其余为白色的。现知其中
只有一个有中奖号码,从中随意取一个。①中奖号码是红色发生的可能性是
( );②中奖号码是黄色的发生的可能性是( )。
(3)任意从装有 10 枚白棋子和 12 枚黑棋子的袋子里摸出 1 枚棋子,那么摸
到( )的可能性大,摸到( )的可能性小。
(4)在下面的括号里填“一定”“可能”或“不可能”。
明天( )会下雨。
太阳( )从东边落下。
哈尔滨的冬天( )会下雪。
这次测验我( )会得 100 分。
(5)从一副除去大、小王的扑克牌中任意抽取一张是 5 的概率为( )。
(6)用 1、2、3 组成三位数,出现单数的可能性是( );出现双数的可能性
是( )。
(7)用 2、3、4 组成三位数,出现单数的可能性是( );出现双数的可能性
是( )。
(8)用 1、2、3、4 组成三位数,出现单数的可能性是( );出现双数的可
能性是( )。
答案:(1)1
3 2
3 (2)1
5 1
4 (3)黑棋子 白棋子 (4)可能 不可能 一
定 可能(5) 1
13 (6)2
3 1
3 (7)1
3 2
3 (8)1
2 1
2
2.判断题。
某地的天气预报中说:“明天的降水率是 80%。”根据这个预报,判断下面
的说法是否正确。(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)明天一定下雨。 ( )
(2)明天下雨的可能性很小。 ( )
(3)明天不可能下雨。 ( )
(4)明天下雨的可能性很大。 ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
3.连线题。
答案:
我的反思:
4.数 学 思 考
知识板块 要点梳理 具体内容
找规律
点数
增加
条数 2 3 4 5
总条
数 1 3 6 10 15
n(n≥2,n 为自然数)个点能连多少条线段?
规律:1+2+3+4+5+……+(n-1)=[1 + (푛 - 1)] × (푛 - 1)
2
推理 用列表的方法来解决更加简单。
等量代换
“等量代换”是解数学题时常用的一种思考方法,
即两个相等的量,可以互相代换,用一个未知数量代
替另一个未知数量,从而找出解题的方法。
数学思考
平角与直线
1.平角与直线的区别:直线不是一个平角。因为角是
从一个顶点出发的两条射线。直线没有顶点,也不
是两条射线。
2.两个角分别加同一个角和相等,说明这两个角相
等。
教材知识荟
【考点一】 找规律
观察下图,想一想。(1)第 7 幅图有多少枚棋子?第 15 幅图呢?
(2)第 n 幅图有多少枚棋子?
思路分析:仔细观察图片,会发现第 1 幅图是 1 2 枚棋子;第 2 幅图是 22 枚
棋子;第 3 幅图是 32 枚棋子;第 4 幅图是 42 枚棋子……那么第 7 幅图就是 72
枚;第 15 副图是 152 枚;第 n 幅图有 n2 枚。
解答:(1)72;152 (2)n2
【练习】
找规律。
(1)
(2)
答案:(1)1 4 9 n2
(2)
【考点二】推理
六年级有三个班,每班有 2 个班长。开班会时,每次每班只要一个班长
参加。第一次到会的有 A、B、C;第二次有 B、D、E;第三次有 A、E、F。请问哪
两位班长是同班的?
思路分析:用列表法比较简单。用数字“1”表示到会,用数字“0”表示没
到会。(如下图)A B C D E F
第一次 1 1 1 0 0 0
第二次 0 1 0 1 1 0
第三次 1 0 0 0 1 1
从第一次到会的情况可以看出,A 只可能和 D、E、F 同班;从第二次到
会的情况可以判断,A 只能和 D、E 同班;从第三次到会的情况可以确定,A 只能和
D 同班。
从第一次到会的情况可以看出,B 只能和 D、E、F 同班;从第二次到会
的情况可以确定,B 只能和 F 同班。
从第一次到会的情况可以看出,C 只能和 D、E、F 同班;从第二次到会
的情况可以看出,C 只能和 D、E 同班;从第三次到会的情况可以确定,C 只能和 E
同班。
解答:A 和 D 同班,B 和 F 同班,C 和 E 同班。
【练习】
甲、乙、丙三人观看赛马,比赛前三人对 A、B、C、D 四匹马做了预测:甲
说:“B 第一,C 第二。”乙说:“B 第二,A 第三。”丙说:“A 第四,D 第二。”赛
后的实况证实了甲、乙、丙三人都只猜准了一个名次,那么这四匹马排列的名次
是怎样的?
答案:B 第一,D 第二,A 第三,C 第四。
【考点三】等量代换
△、□、○、☆、◎各代表一个数。
(1)已知△+□=24,△=□+□+□。求△和□的值。
(2)已知○+☆=160,◎+☆=160。○是否等于◎?
思路分析: (1)已知△+□=24,△=□+□+□,可得□+□+□+□=24,即 4×
□=24,所以□=6。△=□+□+□=18。
(2)已知○+☆=160,◎+☆=160,根据等式的性质,等式两边都减去☆,可以推
出,○=160-☆,◎=160-☆。因为☆代表一个数,所以○=◎。
解答:(1)△=18 □=6 (2)○=◎
△、○各代表一个数,已知△+○=12,○=△+△+△,求△和○的值。
思路分析:将两个等式编号:
△+○=12①
○=△+△+△②将①式中的○用②式中的 3 个△代替,得△+△+△+△=12。
所以△=12÷4=3,○=3+3+3=9。
解答:△=3 ○=9
【练习】
填空。
(1)△+□=40
△=□+□+□
△=( ) □=( )
(2)△+□+□=21
□=△+△+△
△=( ) □=( )
答案:(1)10 30 (2)3 9
【考点四】平角与直线
什么是平角?平角与直线有什么区别?
平角具有角的特点,有顶点、始边及终边;直线是可以向两端无限延伸的,两
端都没有端点,长度不可测量。
如右图,两条直线相交于点 O。
(1)每相邻两个角可以组成一个平角,一共能组成几个平角?
(2)你能推出∠1=∠3 吗?
思路分析:(1)根据平角的特点完成此题。即平角的两边在一条直线上。∠
1 和∠2,∠2 和∠3,∠3 和∠4,∠4 和∠1,一共能组成 4 个平角。
(2) ∠1 和∠2, ∠2 和∠3 都能组成平角, 可知∠1+ ∠2=180°, ∠2+ ∠
3=180°。根据等式的性质,等式的两边都减去∠2,可以得到∠1=180°-∠2,∠
3=180°-∠2。即∠1=∠3。
解答:(1)一共能组成 4 个平角。
(2)因为∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°
所以∠1=180°-∠2,∠3=180°-∠2
所以∠1=∠3
【练习】如图,把三角形 ABC 的边 BC 延长到 D 点。已知∠4=60°,求∠1+∠2 的度
数。
答案:∠1+∠2=60°
我的反思:
5.综合与实践第 1 课时 绿 色 出 行
知识板块 要点梳理 具体内容
绿色出行的意
义
绿色出行是指采取相对环保的出行方式,即节约能
源、提高能效、减少污染、有益于健康、兼顾效率
的出行方式,如乘坐公共汽车、地铁等公共交通工
具,骑自行车等。通过碳减排实现资源的可持续利
用,促进环境保护,减少环境污染。
绿色出行
同比和环比
在统计中表示数据增长幅度,如果是本期发展水平
与去年同期发展水平相比,就是同比。如果是报告
期水平与前一时期水平相比,就是环比。例如,计算
一年内各月与前一个月食品价格的对比,如 6 月比
5 月增长 1.0%,可以称为 6 月环比增长 1.0%,说明
逐月的增减程度。
教材知识荟
【考点】绿色出行的意义
每辆汽车平均每千米排放 160 克二氧化碳。一辆汽车一年排放二氧
化碳多少千克?合多少吨?全国 2011 年末(2011 年末全国民用轿车保有量 4962
万辆)之前购买的私人轿车在 2012 年排放多少吨二氧化碳?(一辆汽车平均每
年行驶 15000 千米)
思路分析:每千米排放的二氧化碳量乘一辆汽车平均每年行驶的路程,即
可求出一辆汽车一年排放二氧化碳多少千克;再将单位转化成吨。用所求结果
乘 49620000 求出全国 2011 年末之前购买的私人轿车在 2012 年排放多少吨二
氧化碳。
解答:160×15000=2400000(克) 2400000 克=2400 千克
2400 千克=2.4 吨
2.4×49620000=119088000(吨)
小明的爸爸每天开车上下班,从家到单位往返的平均速度为 60 千米/
时,单程用时 15 分钟。小明的爸爸从家到单位有多远?如果全年按 245 个工作
日计算,一年上下班行驶多少千米?排放多少吨二氧化碳?(每辆汽车平均每千
米排放 160 克二氧化碳)思路分析:根据路程=速度×时间,先求出每天行驶的路程再乘 245 求出一
年上下班行驶的路程,最后再乘 160(每辆汽车平均每千米排放 160g 二氧化
碳)求出排放多少吨二氧化碳。
解答:60×0.25=15(千米)
15×2×245=7350(千米)
7350×160=1176000(克)=1.176(吨)
【练习】
判断。
(1)在统计中表示数据增长幅度时,如果是本期发展水平与去年同期发展水
平相比,就是同比。 ( )
(2)计算一年内各月的食品价格的对比,可以用环比。 ( )
答案:(1)√ (2)√
我的反思:
第 2 课时 北京五日游
知识板块 要点梳理 具体内容
制定行程表
北京五日游行程
日
期
行程
交通
工具
住宿 其他
第
一
天
第
二
天
第
三
天
第
四
天
第
五
天
北京五日游
制定费用预算
表
北京五日游费用预算(单位:元)
交
通
住
宿
餐
饮
市内
交通
景点
门票
其
他
合
计教材知识荟
【考点一】制定行程表
北京五日游行程(小明)
日期 行程 交通工具 住宿 其他
第一天 乘晚上 9:00 的火车前往北京
出租车
火车
火车
1.早晨 7:00 到达北京
2.入住酒店(三人间) 出租车
第二天
3.游览天安门广场,参观毛主
席纪念堂和故宫博物院,游览
景山公园,逛王府井大街
公交车
地铁
宾馆 吃北京烤鸭
1.游览八达岭长城 火车
第三天 2.游览鸟巢、水立方、奥林
匹克公园
出租车
宾馆 吃涮羊肉
1.游览天坛公园 地铁
2.游览颐和园,参观军事博物
馆
地铁
第四天
3.乘晚上 9:00 火车返程
地铁、火
车
火车 吃北京小吃
第五天 早晨 8:00 到家 出租车
【考点二】制定费用预算表
北京五日游费用预算(单位:元)交通 住宿 餐饮
市内交
通
景点门票 其他 合计
成人 260×4
学生 130×2
300×2 300×3 80×4
成人 280×2
学生 150
购物
500
4250
【考点三】旅游注意事项
不同的地方注意事项也不尽相同,如果你是自行出去游玩的话,需要注
意的事项比较多。出发前需带好备用药品,防晒防雨用具,换洗衣物,有效证件,
最好着运动鞋、休闲服。
住:找正规的酒店,不要在车站跟着拉客的人走,贵重物品寄在酒店或随
身携带。酒店配备物品 入住时要注意是否齐全,洗漱用品、毛巾、杯子等。床
单是否干净,不干净的话要请服务员马上调换,出入要随手关门,不要在床上抽烟
等。夜间不要待到太晚。
吃:切勿乱吃生食、生海鲜、已剥皮的水果,路边无牌照摊档最好不要
买。不要暴饮暴食,多喝开水,多吃蔬果类,少抽烟,少喝酒。
车:大交通就不用说太细, 一般都有常识,旅游途中搭车时请勿将头、
手伸出窗外,注意不要卧、趴,以免急停车产生磕碰,乘出租车要索要小票。
景点:到了景点不要乱画、乱动,注意爱护公物,不随地吐痰,乱扔东
西。不到禁步的地方,危险的地方。在海边的话,不熟悉水性者,切勿独自下水。
患有心脏病、肺病、哮喘病、高血压者切忌从事水上、高空活动。
简单的记住七句话:
1.周密的旅游计划 2.注意旅途安全
3.讲文明礼貌 4.爱护文物古迹
5.尊重当地的习俗 6.注意卫生与健康
7.警惕上当受骗
我的反思:
第 3 课时 邮票中的数学问题
知识板块 要点梳理 具体内容
认识普通邮
票及其作用
1.认识普通邮票。
2.普通邮票的作用。
调查与邮票
相关的费用
国家邮政局关于信函邮资的收取标准:
资费标准/
元业务
种类
计费单位
本埠
资费
外埠
资费
首重 100g,每
重 20 g(不足
20 g 按 20 g
计算)
0.80 1.20
信函 续重
101~2000g
每重 100 g(不
足 100g 按
100g 计算)
1.20 2.00
按照国家规
定,
根据信函质量
确定邮资
解决生活实际问题。
邮
票
中
的
数
学
问
题
探究合理的邮
资
支付邮资时,虽然满足条件的邮票组合很多,但要选
择、确定合理的邮票面值组合。支付方式
教材知识荟
【考点一】认识普通邮票及其作用
(1)认识普通邮票。(如下图)
(2)普通邮票的作用。
普通邮票由于面值种类齐全,可适用于各种邮政业务。
【考点二】调查与邮票相关的费用
国家邮政局关于信函邮资的收取标准:
资费标准/元
业务种
类
计费单位 本埠资
费
外埠资
费
首重 100g,每重 20 g(不足 20 g 按 20 g 计
算)
0.80 1.20
信函
续重 101~2000g,每重 100 g(不足 100g 按
100g 计算)
1.20 2.00
讲解:(1)本埠,指本地,外埠指外地。
(2)不满 100 g 重的信函,若寄往本地,每 20 g 重收取 0.80 元(不足 20 g
按 20 g 计算),若寄往外地,每 20g 重则收取 1.20 元(不足 20 g 按 20 g 计算)。
(3)超过 100g 重的信函,若寄往本地,第 100g 重收取 1.20 元(不足 100g 按
100g 计算),若寄往外地,则每 100g 重收取 2.00 元(不足 100g 按 100g 计算)。
(4)信函质量不得超过 2000g。
【考点三】按照国家规定,根据信函质量确定邮资
一封信有 45 g,寄往外地,怎样贴邮票呢?思路分析:因为信函寄往外地,每 20 g 重应支付邮资 1.20 元。
45 g 比 2 个 20 g 还多 5 g,所以应支付(2+1)个 1.20 元。
解答:45÷20=2(个)……5(g) 1.20×(2+1)=3.60(元)
答:可以贴 3 枚面值 1.20 元的邮票。
【练习】
(1)上海的小张写了一封信,寄给哈尔滨的小李,这封信重 51 g,需要邮费多
少元?
(2)王阿姨邮寄了本市的一封信,付邮费 4 元,这封信的质量在哪个范围?
答案:(1)51÷20=2(个)……11(g)
1.20×(2+1)=3.60(元)
(2)4÷0.8=5(个) 最轻: 20×4+1=81(g)
最重:20×4+20=100(g)
【考点四】探究合理的邮资支付方式
邮寄不超过 100 g 的信函,最多只能贴 3 枚邮票,只用 80 分和 1.20 元
的邮票能满足需要吗?如何设计?
思路分析:先确定 100 g 以内的信函所需支付的各种邮资情况,再确定哪些
交费可以直接用 80 分和 1.20 元的邮票支付,哪些不能,最后根据不能直接支付
的最高交费来设计邮票的面值。
解答:
质量/g
资费/元
目的地
1~20 21~40 41~60 61~80 81~100
本埠 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00
外埠 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00
最多贴 3 枚邮票,其中 0.80 元、1.20 元、1.60 元、2.40 元、3.20 元和
3.60 元资费都能仅用 80 分和 1.20 元的邮票支付;而 4.00 元、4.80 元和 6.00
元资费却不能只用 80 分和 1.20 元的邮票支付,应再设计一种其他面值的邮票。
因最高的资费是 6.00 元,所以用 3 枚邮票来支付面值最大的邮票其面值为
6.00÷3=2.00(元)。
4.00=2.00×2,4.00=2.40×1+0.80×2,4.00=4.00×1;
4.80=2.00×2+0.80×1,4.80=2.40×2,4.80=4.00×1+0.80×1;
6.00=2.00×3,6.00=2.40×2+1.20×1,6.00=4.00×1+1.20×1+0.80×1。因此,增加的邮票面值可以为 2.00 元、2.40 元或 4.00 元。
如果想最多只用 4 枚邮票,就能支付所有不超过 400g 的信函的资费,除
了 80 分和 1.20 元两种面值,你认为还需要增加什么面值的邮票?
思路分析:先确定 100 g 以内的信函所需支付的各种邮资情况,再确定哪些
交费可以直接用 80 分和 1.20 元的邮票支付,哪些不能,最后根据不能直接支付
的最高交费来设计邮票的面值。
解答:
质
量/g
资费/元
目的地
1~20 21~4041~6061~8081~10
0
101~2
00
201~3
00
301~4
00
本埠 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 5.20 6.40 7.60
外埠 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 8.00 10.00 12.00
各种邮资中不能只用 80 分和 1.20 元的邮票支付的邮资有 5.20 元、6.40
元、7.60 元、6.00 元、8.00 元、10.00 元和 12.00 元。
根 据 其 中 的 最 高 邮 资 确 定 , 可 以 增 加 的 邮 票 的 面 值 应 不 小 于
12.00÷4=3.00(元)。
综合其他邮资确定:可以增加面值为 4.00 元的邮票。
【练习】
(1)如果佳佳给本市的好朋友写一封 89 克的信,她该贴多少钱的邮票?
(2)如果佳佳给在外地工作的爸爸写一封 135 克的信,她该贴多少钱的邮票?
答案:(1)89÷20=4(个)……9(克)
0.80×(4+1)=4.00(元)
(2)135 克>100 克
1.20×5+2.00=8.00(元)
我的反思:
第 4 课时 有趣的平衡
知识板块 要点梳理 具体内容
杠杆原理
初步感受杠杆原理,即左边的棋子数×刻度数=右边
的棋子数×刻度数。
有趣的平衡 应用规律,体
会
反比例关系
体会杠杆原理中的反比例关系,即在左边棋子数与
刻度数的积一定的条件下,右边刻度数与棋子数成
反比例。
教材知识荟
【考点一】杠杆原理
实验过程
一、制作实验用具
选一根粗细均匀的竹竿(长约 1 m),在中点的位置打个孔并拴上绳子。然
后从中点开始每隔 8 cm 做一个记号(可以刻一个小糟)。
二、探索规律,体验杠杆原理。
实验一
如果塑料袋挂在竹竿左右两边刻度相同的地方,怎样放棋子才能保证平
衡?
实验数据
左边棋子数 1 2 3 4 5 6 7
右边棋子数 1 2 3 4 5 6 7实验总结
如果塑料袋挂在竹竿左右两边刻度相同的地方,只要两个塑料袋里放相同
数量的棋子,竹竿就能保持平衡。
实验二
如果把塑料袋挂在左右两边刻度不同的地方,怎样放棋子才能保证平衡,
你有什么发现?
1.左边的塑料袋在刻度 3 上,放了 4 枚棋子,右边的塑料袋在刻度 4 上,放
几枚棋子才能保证平衡?
操作结果
放 3 枚才能保证平衡。
发现
4×3=3×4
2.左边的塑料袋在刻度 6 上放 1 枚棋子,右边的塑料袋在刻度 3 上放几枚棋
子呢?在刻度 2 上呢?你有什么发现?
操作结果
在刻度 3 上放 2 枚棋子,在刻度 2 上放 3 枚棋子。
发现
6×1=1×6 6×1=2×3
实验总结
竹竿保持平衡,要满足左边的棋子数×刻度数=右边的棋子数×刻度数。
【考点二】应用规律,体会反比例关系
左边在刻度 4 上放 3 枚棋子并保持不变,右边分别在各个刻度上放几枚棋子
才能保证平衡呢?从记录的数据中,你发现刻度数和所放棋子数成什么比例?
1.操作
把右边的塑料袋分别放在刻度 1,2,3,4,6 上,并使竹竿保持平衡,看看分别
放了几枚棋子。
2.记录
右刻度 1 2 3 4 6所放棋子
数 12 6 4 3 2
乘积 12 12 12 12 12
3.分析
从表中数据可知,右刻度数和右边所放棋子数的乘积都是 12。
4.规律
左边的棋子数×刻度数=右边的棋子数×刻度数,说明左边的棋子数×刻度
数的积(4×3=12)一定,即当左边的棋子数与刻度数的积不变时,“右边的棋子
数” 与“刻度数”成反比例。
【练习】
1. 母女俩在玩跷跷板,女儿体重 12 千克,坐的地方距支点 15 分米,母亲体
重是 60 千克,为了使跷跷板保持平衡,母亲坐的地方距支点的距离为多少分米?
(提示:从新课探究的过程我们可以知道,体重和坐的地方距支点的长度成反
比例。因此,可直接设母亲坐的地方距支点的距离为 x 分米。可以得到方程。)
答案:解:设母亲坐的地方距支点的距离为 x 分米。
60x=12×15
x=3
答:母亲坐的地方距支点的距离为 3 分米。
2.用边长 20 厘米的方砖铺一块地,需要 2000 块,如果改用边长是 40 厘米的
方砖铺地,需要多少块?
答案:解:设需要 x 块。
40x=20×2000
x=1000
答:需要 1000 块。
我的反思:
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