第四单元 比 例
单元导语本单元包括比例的意义和性质、正比例和反比例以及比例的应用三大部分
知识点。本单元的教学内容不仅是六年级上册比的知识的延伸,还是后续学生学
习中学数理化学科常用的数学基础。
1.比例的意义和基本性质
该部分知识点包括比例的意义、比例的基本性质和解比例三部分内容,通过
教材第 40~42 页的内容体现出来。判断两组比是否成比例有两种方法:根据比例
的意义和比例的基本性质。
2.正比例和反比例
该部分内容包括教材第 45 页例 1 和第 47 页例 2 两个例题。正、反比例是
学生学习数学的重要转折点,它是学生学习“变量关系”的开始,引导学生经历
从具体情境中抽象出正、反比例的过程,理解正、反比例的意义和正比例的图像。
3.比例的应用
该部分内容包括比例尺、图形的放大与缩小和用比例解决问题三部分知识点,
即教材第 53~62 页的内容。用解比例的方法解决有关比例尺的问题、图形的放
大与缩小问题使学生更深刻地体会到比例在生产和生活中的应用,提高学生应用
所学知识解决实际问题的能力。
在本单元的教学中,应带领学生先回忆一下以前学的有关比的知识,在学生
已掌握比的基本知识的基础上进一步引导学生学习新的有关比例的内容。第一,
教师应联系实际,发现和应用比例的基本性质;第二,引导学生经历从具体情境中
抽象出正、反比例的过程,理解正、反比例的意义;第三,教学比例尺时,首先让
学生在实际情景中识别实际距离和图上距离,这些是与比例尺有关的概念。其次,
在解决具体问题的过程中积累学习材料,通过交流,体会比例尺的概念,再用数量关系进一步表达比例尺的意义和计算方法;第四,联系实际,建立图形放大、缩小
的概念,提高学生观察问题、思考问题和解决问题的能力。
第 1 课时 比例的意义和基本性质
教学内容
人教版六年级下册教材第 40 页比例的意义、第 41 页比例的基本性质和例
1。
内容简析
比例的意义:通过计算操场上和教室里两面国旗长和宽的比值,发现规律,掌
握比例的意义。
比例的基本性质:通过分析一个比例的组成部分,认识各部分名称。
例 1:发现规律并总结出比例的基本性质。
教学目标
1.理解和掌握比例的意义和基本性质,认识比例的组成及各部分名称。
2.经历探索比例基本性质的过程,体验学习的快乐。
3.培养学生自主探索的精神;培养学生观察、分析和概括的能力;培养学生
学习数学的兴趣。
教学重难点
重点:理解比例的意义和基本性质。
难点:运用所学知识判断两个比是否组成比例。
教法与学法
1.在教法上,教师应在学生已有的比的知识基础上,结合具体实例,引出比例
的意义。引出比例的意义后,还应回到实例中,体现从具体——抽象——具体这
样一个认知过程。
2.在学法上,本节课以学生自主学习为主,通过复习有关比的知识,自学例
1,理解比的意义。结合具体的比例,在学生独立思考之后,采取小组合作的形式,
讨论交流,归纳出比例的基本性质。
承前启后链
教学设计教学过程
一、情景创设,导入课题
游戏导入法:课前,教师准备带有数字的卡片,要保证每人一张还有
剩余,数字包括整数、小
数、分数。上课开始,每人发一张卡片,然后请同学两人一组自由组合,算一算两
人手里卡片上的数字的比是多少,比相等的 4 个同学站到一起。通过这个游戏,
提出比例的定义,进而开始新课。
【品析:通过这种游戏的方式,既复习了比的知识,又快速形象地引入了比例
的知识,使学生在游戏中就记住了要学的新知识,有利于进一步学习比例的基本
性质。】
学生自学导入法:课前,教师给学生布置任务,让学生自己借助网络
查找有关比例的知识,尤其是在实际生活中的应用。同时,教师也要准备相关资
料,如:北京的世界公园里的世界著名建筑的图片、小汽车的模型、几张照片
等。上课开始,先让学生说说自己查找的资料,然后教师再把自己准备的资料展
示出来,及时提出问题,给出定义,进入新课。
【品析:这种导入的方式,充分调动了学生自主学习的积极性,培养学生自学
的学习能力,感受自己获得新知的成就感,体会学习的乐趣。】
课件展示法:
多媒体课件出示教材第 40 页的三幅图。
师:请同学们认真观察这三幅图,你都知道了哪些信息?
生:第一幅图的内容是天安门升国旗仪式;第二幅图的内容是校园升旗仪式;
第三幅图的内容是教室场景。
师:请同学们找一找三幅图中有什么共同的东西?
生:都有国旗。
师:国旗是我们国家的象征,我们不要随意玩弄或者丢弃国旗,我们必须尊重
它。
复习:回顾以前学
的比的基本知识。
学习:理解和掌握比例
的意义和基本性质,认
识比例的各部分名称,
会判断两个比能不能
组成比例。
延 学 : 根 据 比 例
的意义和基本性
质解决问题。多媒体课件把图变换成三面国旗的画面,每面国旗标注了长和宽。让学生计
算出每面国旗长和宽的比。引出课题,教师板书。
【品析:此环节创设大小不同的国旗引入比例的意义,主要是体现知识由实
际问题产生。同时,适时地对学生进行爱国主义教育,增强他们的爱国意识。】
二、师生合作,探究新知
◎教学比例的意义。
(1)出示教材第 40 页的三幅图。
每面国旗的长和宽的比分别是多少?指名分别写出每面国旗长和宽的比。
5∶10
3 2.4∶1.6 60∶40
每面国旗长和宽的比值有什么关系?(都相等)
5∶10
3 =2.4∶1.6 2.4∶1.6=60∶40
像这样表示两个比相等的式子叫作比例。
比例也可以写成:2.4
1.6 =60
40
(2)比较“比”和“比例”两个概念。
教师:上学期我们学习了“比”,现在又知道了“比例”的意义,那么“比”
和“比例”有什么区别呢?
引导学生从意义上、项数上进行对比,最后教师归纳:比是表示两个数相除,
有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
【品析:学生通过观察、计算、验证等方式得出比例的意义,教师在适当的
时候引导、鼓励学生打开思路,充分发挥合作学习的作用,让学生从不同角度去
寻找比例的意义,加深对比例意义的认识,使学生掌握有效的学习方法。】
◎教学比例的基本性质。
(1)教学比例各部分的名称。
师:同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了,那么比例各部分的名称
是什么?请同学们翻开教材第 41 页,看看什么叫比例的项、外项以及内项。
指名让学生指出板书中的比例的外项、内项。
(2)教学比例的基本性质。
师:我们知道了比例各部分的名称,那么比例有什么性质呢?现在我们就来研
究。(在比例的意义后面板书:比例的基本性质)请同学们分别计算出教材例 1 第一个比例中两个内项的积和两个外项的积。教师板书:
①两个外项的积是 2.4×40=96,两个内项的积是 1.6×60=96。
师:你发现了什么?(两个外项的积等于两个内项的积。)
板书:2.4×40=1.6×60
师:是不是所有的比例都是这样呢?
通过计算,大家发现所有的比例都有这个共同的规律,谁能用一句话把
这个规律说出来?
最后教师归纳并板书:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。这
叫作比例的基本性质。
师:如果把比例写成分数形式,比例的基本性质又是怎样的呢?(指着
2.4∶1.6=60∶40)教师边问边改写成:2.4
1.6 =60
40。
师:这个比例的外项是哪两个数呢?内项呢?
师:因为两个内项的积等于两个外项的积,所以,当比例写成分数的形式
时,等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积怎么样?
让学生自主解决例 1 中的第二个比例:
②两个外项的积是 3×15=45,两个内项的积是 5×9=45。
学生回答后,教师强调:如果把比例写成分数形式,比例的基本性质就是
等号两端分子和分母分别交叉相乘,积相等。
【品析:此环节教师引导学生通过观察、计算、交流、思考自主得出比例的
基本性质,把接受性学习与自主探究、合作学习很好地相结合,这样既培养了学
生自主探究的习惯,同时又增强学生的自信心。】
三、反馈质疑,学有所得
在学生理解了比例的意义和基本性质的基础上,让学生及时消化吸收,
教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:什么是比例?“比”和“比例”有什么区别?
师生共同总结:(1)表示两个比相等的式子叫作比例。
(2)区别:比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相
等,有四项。
质疑二:什么是比例的基本性质?
师生共同总结:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了比例的意义和基本性质,你能说说你的收获吗?
师生共同总结:1.比例的意义:表示两个比相等的式子叫作比例。2.比
例的基本性质:两个外项的积等于两个内项的积。(如果是分数形式的比例,就有
交叉相乘,积相等。)衔接下节课的内容,给大家留一个思考题:怎样解比例?
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把比例的意义和基本性质真正掌握了。
反思过程,有待改进之处: 在探究比例的基本性质环节,应该把知识的
探究过程留给学生,给学生足够的时间和空间去思考,不应该一味地来讲解。
我的反思:
板书设计
比例的意义和基本性质
意义:表示两个比相等的式子叫作比例。
基本性质: 在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
第 2 课时 解 比 例
教学内容
人教版六年级下册教材第 42 页解比例的含义、例 2 和例 3。
内容简析
解比例的含义:理解解比例的含义。例 2:根据实际情境中的数量关系列出比例、解比例。
例 3:把比例的形式改为分数形式,巩固、深化解比例的技能。
教学目标
1.使学生理解解比例的含义,掌握解比例的方法,进一步理解和掌握比例的
基本性质。
2.联系学生的生活实际创设情境,体会解比例在生产、生活中的广泛应用。
3.培养学生知识迁移的能力,培养学生综合运用知识的能力以及情感、态
度、价值观的发展,增强学生的合作意识。
教学重难点
重点:根据比例的基本性质,掌握解比例的方法,学会解比例。
难点:解比例方法的探究过程。
教法与学法
1.在教法上,教师多引导学生进行独立思考,分析问题,自主探索,合作交流
解决实际问题。
2.在学法上,学生主要通过分析、交流、小组合作等方法进行解比例的计
算。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
情境导入法:
出示问题情境:大家知道法国巴黎吗?你对它的建筑物了解多少?法国巴黎埃
菲尔铁塔高约 320 m,它不仅是一座吸引游人观光的纪念塔,而且是巴黎这座具
有悠久历史文化的美丽城市的象征。
我们的首都北京的世界公园里也有一座埃菲尔铁塔的模型,它的高度与原塔
高度的比是 1∶10。那么通过这些已知条件,我们能不能用比例的知识求出这座
复习:回顾上节课
比 例 的 意 义 和 基
本性质。
学习:掌握解比例的
方法,学会解比例。
延学:运用比例解
决实际问题。模型的高度呢?
今天我们来学习利用比例的知识解决这个问题。
【品析:通过创设情境导入要解决的问题,能够引起学生的思考,给学生留有
足够的想象空间,进而有利于下面解比例问题的学习。 】
课件展示法:
课件出示:法国巴黎的埃菲尔铁塔。
师:同学们猜一猜它有多高。
同学们纷纷猜测。
师:好,这座埃菲尔铁塔的高度约 320 m,在北京的世界公园里有一座埃菲尔
铁塔的模型,它的高度与原塔的比是 1∶10,大家想不想知道北京世界公园里的
这座模型有多高?
课件出示教材例 2,要想求这座模型有多高,我们今天学习了解比例就能解
决了。
【品析:此环节课件首先出示埃菲尔铁塔的图,激发学生的兴趣,紧接着一段
简短的谈话,让学生认识到数学与实际生活的密切联系,让学生通过猜想、思
考、积极主动地去寻找解决问题的方法。】
二、师生合作,探究新知
◎教学解比例的含义及方法。
(1)什么叫解比例?
我们知道比例共有四项,根据比例的基本性质,如果知道其中的任何三项,就
可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫作解比例。
(2)教学例 2。
①把未知项设为 x。解:设这座模型的高度是 x m。
②根据比例的意义列出比例:x∶320=1∶10
③让学生指出这个比例的外项、内项,并说明知道哪三项,求哪一项。
根据比例的基本性质可以把它变成什么形式?10x=320×1。
这变成了什么?(方程)
教师说明:这样解比例就变成解方程了,利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知数 x 的值。因为解方程要写“解:”,所以解比例也应写“解:”。
④学生说,教师板书解比例的过程。
解:设这座模型的高度是 x m。
x∶320=1∶10
10x=320×1
x=32
答:这座模型高 32m。
教师总结:从刚才解比例的过程,可以看出,解比例可以根据比例的基本性质
把比例变成方程,然后用解方程的方法来求未知数 x。
【品析:本环节紧紧抓住了“比例的基本性质”在比例与简易方程之间起桥
梁作用这一特点展开教学,较好地体现了教师的主导作用。】
◎教学例 3,解比例。
出示例 3:解比例 : 2.4
1.5=6
푥
提问:“这个比例与例 2 有什么不同?”(这个比例是分数形式)
这种分数形式的比例也能根据比例的基本性质,变成方程来求解吗?
学生回答后,教师指出:在写方程时,含有未知数的积通常写在等号的左边,
然后板书:2.4x=1.5×6。
让学生在课本上填出求解过程。解答后,让他们说一说是怎样解的。
◎总结解比例的过程。
刚才我们学习了解比例,大家回忆一下,解比例首先要做什么?(根据比例的
基本性质把比例变成方程)
变成方程以后,再怎么做?(根据以前学过的解方程的方法求解)
从上面的过程可以看出,在解比例的过程中哪一步是新知识?(根据比例的基
本性质把比例变成方程)
【品析:例 3 的教学引导学生观察比例,分数形式的比例同样根据比例的基
本性质利用解方程的方法解答,进一步熟悉了解比例的过程,以及如何突破重难
点巩固新学的知识。】
三、反馈质疑,学有所得
在理解了解比例的含义,学习完例 2、例 3 的基础上,让学生及时消化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:什么是解比例?
师生共同总结:比例共有四项,根据比例的基本性质,如果知道其中的任
何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫作解
比例。
质疑二:怎样进行解比例?
师生共同总结:(1)根据比例的基本性质把比例变成方程。
(2)根据以前学过的解方程的方法求解。
四、课末小结,融会贯通
同学们,这节课我们一起学习了有关解比例的知识,你们对解比例的知
识有哪些了解?能说说你的收获吗?
师生共同总结:有关解比例的计算方法:在做解比例的题目时,根据比例
的基本性质把比例改写成方程的形式,再根据解方程的方法进行解方程即可;在
计算有关解比例的实际问题时,首先分析题意,找到已知条件和等量关系,列出相
应的比例,再进行求解。
衔接下节课内容,给大家留一个思考题:课下想一想什么叫作正比例?
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把解比例的含义和方法真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:在讲解解比例的方法时,应该放手让学生运用
多种不同的方法解比例,这样学生就能自主发现用比例的意义解很难算,而用比
例的基本性质解很容易这个道理了。
我的反思:
板书设计
解 比 例例 2 解:设这座模型的高度是 x m。
x∶320=1∶10…………比例
转化
10x=320×1………方程
x=32
答:这座模型高 32 m。
例 3 2.4
1.5=6
x
解: 2.4x=1.5×6
x=
1.5 × 6
2.4
x=3.75
第 3 课时 正 比 例
教学内容
人教版六年级下册教材第 45 页例 1、正比例的意义和第 46 页正比例的图
像。
内容简析
例 1 及正比例的意义:通过分析、观察、计算表中的有关数据,总结正比例
的意义。
正比例的图像:通过对表中的数据进行描点、连线,总结正比例的图像是一
条直线。
教学目标
1.理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断是不是成正比例。
2.进一步培养学生观察、分析、综合和概括的能力,让学生掌握判断两种相
关联的量成不成正比例关系的方法,培养学生的判断、推理能力。
3.培养学生观察、比较和判断的能力,渗透函数思想,初步建立事物是相互
联系的辨证观念。
教学重难点
重点:认识正比例关系的意义,并能准确判断成正比例的量。难点:判断两种相关联的量是否成正比例。
教法与学法
1.在教法上,学习正比例的意义时,应结合学生熟悉的数量关系进行教学。
教学正比例图像时,可以先出示坐标系,说明正比例关系可以通过一个图像来表
示。
2.在学法上,正比例的认知基础是比例的意义,教学时先在学生已有的认知
水平上让学生复习已学过的一些常见的数量关系,再通过操作、观察、讨论,学
生不难得出什么是正比例关系。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
游戏导入法:课前,教师准备两组数字卡片,一组是 2、4、6、8、
10、12、14、16、18,另一组是 3、6、9、12、15、18、21、24、27。上课开
始,教师分别找两组同学,一组同学代表分子,拿 2、4、6、8、10、12、14、
16、18;另一组同学代表分母,拿 3、6、9、12、15、18、21、24、27。依次按
顺序组成分数,然后说说这些分数的特征是什么。分数值相等,分子和分母成正
比例。由此引出正比例的新知。
【品析:通过这种游戏的方式,引入新知,有利于学生理解记忆,既能活跃课
堂气氛,又使枯燥的知识变得有趣。】
提问交流法:教师设置问题,张老师开车的速度一定(这里的张老师
在具体授课中需要换成班里的某位同学或同学的家长,是同学的话就把开车换成
走路,这样更能和学生产生共鸣),张老师从家上班需要 30 分钟,而从家去银行需
要 40 分钟,从家去菜市场需要 10 分钟,从家去商场需要 1 小时。这是为什么呢?
总结规律,进入新知。
【品析:用提问的方式导入课题,使学生开动脑筋,积极思考,活跃了课堂气
氛,调动了学生的积极性。】
课件展示法:
课件播放教材第 45 页例 1 的图片和数据表格。
复习:回顾上节课学
过的解比例的含义
和方法。
学习:理解正比例的意
义,会判断成正比例的
量,认识正比例图像。
延 学 : 利 用 正 比
例 知 识 , 解 决 问
题。1.首先让学生分析表格:表格中是“总价”和“数量”两种量。让学生运用
前面所学的知识,根据表格数据分别计算出相应的总价与数量的比是多少?
2.学生纷纷汇报计算结果,发现规律:相应的总价与数量的比值是同一个数,
即是一定的。
这就是今天我们要学习的新的知识——正比例。
【品析:课件展示例题,出示问题情境,让学生先凭借前面学习的知识计算出
相对应的两个量的比值,再根据比值猜测、观察、总结出规律,得出疑问,进而引
出课题。】
二、师生合作,探究新知
◎教学正比例的意义。
(1)出示例 1 表格,让学生观察表中的数据,思考表中有哪两种量?总价是怎
样随着数量的变化而变化的?(表中有数量和总价两种量,数量增加,总价增加;数
量减少,总价减少。数量扩大到原来的几倍,总价也扩大到原来的几倍;数量缩小
到原来的几分之几,总价也随着缩小到原来的几分之几。)
(2)认识相关联的量。
像这样,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量是相关联的量。
(3)计算表中的数据,理解正比例的意义。
①计算相应的总价与数量的比值,看看有什么规律。
3.5
1 =3.5,7
2=3.5,10.5
3 =3.5,14
4 =3.5,17.5
5 =3.5,21
6 =3.5,24.5
7 =3.5,28
8 =3.5……
比值相等。
②说一说,每一组数据的比值表示什么?(彩带的单价)
③让学生用公式把彩带的总价、数量、单价之间的关系表示出来。
总价
数量=单价(一定)
④明确成正比例的量及正比例关系的意义。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应
的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正比例
关系。
如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量,用 k 表示它们的比值(一定),正比
例关系可以用下面的式子表示:푦
푥=k(一定)(板书)
(4)列举并讨论成正比例的量。
①生活中还有哪些是成正比例的量?让学生说一说。(速度一定,路程和时间成正
比例;长方形的宽一定,面积和长成正比例。)
②小结:成正比例的量必须具备哪些条件?哪个条件是关键?(两种量是相关
联的量;一种量变化,另一种量也随着变化;它们的比值不变,这是关键。)
【品析:此教学环节先让学生通过观察表格中的数据的变化,来认识什么是两种相关联的量,再通过计算相对应的两个数据的比值,发现规律,理解正比例的
意义。】
◎教学正比例的图像。
(1)课件出示例 1 表格及正比例图像,让学生观察统计表和图像,你发现了什
么?(每一个数量和相对应的总价组成的一组数在图像上都体现为一个点,这些点
连起来是一条直线;正比例图像是一条直线。)
(2)把数对(10,35)和(12,42)所在的点描出来,再和上面的图像连起来并延
长,你还能发现什么?让学生操作后发表自己的见解。(这两个点与上面的图像仍
能连成一条直线。无论怎样延长,得到的都是直线。)
(3)从正比例图像中,你知道了什么?
(可以由一个量直接找到对应的另一个量;可以直观地看到成正比例的量的
变化情况)
(4)利用正比例图像解决问题。
不计算,根据图像判断,买 9 m 彩带的总价是多少元?49 元能买多少米彩
带?(31.5 元;14 m)
小明买的彩带的米数是小丽的 2 倍,他花的钱是小丽的几倍?(在单价一定的
情况下,数量和总价成正比例关系,小明买的彩带的数量是小丽的 2 倍,他花的钱
也是小丽的 2 倍。)
【品析:此环节通过在坐标系中描点,我们画出了正比例的图像,它是一条经
过原点的直线。直线上每一个点都表示一定的意义,而且我们可以利用图像来解
决实际问题。】
三、反馈质疑,学有所得
在理解了正比例的意义、认识了正比例的图像的基础上,让学生及时消
化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:什么是相关联的两个量?什么是正比例?
师生共同总结:(1)一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量叫作
“相关联的量”。
(2)两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相
对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正
比例关系。
质疑二:正比例的图像是怎样的?
师生共同总结:正比例的图像可以用直线来表示,而且直线上每一个点
都表示一定的意义。
四、课末小结,融会贯通 同学们,今天我们学习了正比例的意义和正比例的图像,你能说说你的
收获吗?
师生共同总结:
1.成正比例的量和正比例关系:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随
着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例
的量,它们的关系就叫作正比例关系;
2.表示正比例关系的式子:푦
푥=k;
3.正比例的图像:一条经过原点的直线。
衔接下节课内容,给大家留一个思考题:
我们已经学过了正比例的有关知识,那么什么叫作反比例呢?
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把正比例的意义和正比例的图像真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:练习是掌握知识、形成技能、发展智力的重
要环节。因此,本节课的欠缺之处是应该围绕教学目标让学生有针对性地多做几
个不同层次的练习题,这样既重视了基本训练又能注意到综合性的训练。
我的反思:
板书设计
正 比 例
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 …
总价
数量 =单价(一定)
푦
푥=k(一定)第 4 课时 反 比 例
教学内容
人教版六年级下册教材第 47、48 页例 2 和反比例的意义。
内容简析
例 2:借助具体情境,利用体积、底面积和高的数量关系初步理解成反比例
的量之间的变化规律。
反比例的意义:通过分析、观察、计算表中的有关数据,总结反比例的意
义。
教学目标
1.理解反比例的意义,能根据反比例的意义判断两个量是不是成反比例。
2.进一步培养学生观察、分析、综合和概括的能力,让学生掌握判断两种相
关联的量成不成反比例关系的方法,培养学生的判断、推理能力。
3.培养学生观察、比较和判断的能力,渗透函数思想,初步建立事物是相互
联系的辨证观念。
教学重难点
重点:认识反比例的意义,并能准确判断成反比例的量。
难点:判断两种相关联的量是否成反比例。
教法与学法
1.在教法上,反比例的意义应结合学生熟悉的数量关系进行教学。
2.在学法上,反比例的认知基础是比例的意义,教学时先在学生已有的认知
水平上让学生复习已学过的一些常见的数量关系,再通过操作、观察、讨论,学
生不难得出什么是反比例关系。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
复习:回顾上节课学
过的正比例的意义及
正比例的图像。
学习:理解反比例的
意义,会判断成反比
例的量。
延 学 : 利 用 反 比
例 知 识 , 解 决 问
题。 数字游戏法:课前,教师准备若干张数字卡片,要保证卡片里的数字
两两相乘,积有相等。上课开始,找三个同学到讲台,其中两个同学手里每人拿一
些卡片,每人拿出一张,算两个数的乘积,第三个同学记录乘积,把乘积相等的数
挑出来。然后教师总结提出新知。像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种
量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫作成
反比例的量。
【品析:通过游戏,体会两个量的反比例关系,比直接去讲更容易接受,理解
得更加透彻,为后面的学习做好铺垫。】
提问交流法:出示词语“总数”“路程”。
师:看到“总数” “路程”这两个数量,你想到了什么?
生 1:看到“总数”想到了“份数”和“每份数”;
生 2:看到“路程”想到了“时间”和“速度”
师:为什么会想到“份数”和“每份数”,“时间”和“速度”呢?
生:因为我们学过份数和每份数的乘积等于总数;时间和速度的乘积等于路
程。
师:我们把“份数和每份数”“时间和速度”这样有关的两个量叫作“相关
联的量”。(板书)
你还能举出相关联的量的例子吗?
今天我们就来继续研究一下这样两种相关联的量的关系。
【品析:提问交流把学生步步引入,与正比例的意义相对,通过以前学过的一
些数量关系,来引出今天所要学习的新的内容,既巩固了旧知,又联系到新的知识
点。】
课件展示法:
课件播放教材第 47 页例 2 的图片和数据表格。
1.首先让学生分析表格:表格中是“杯子的底面积”和“水的高度”两种
量。让学生运用前面所学的知识,根据表格数据分别计算出相应的杯子的底面积
与水的高度的乘积是多少。
2.学生纷纷汇报计算结果,发现规律:相应的杯子的底面积与水的高度的乘
积是同一个数,即是一定的。
这就是今天我们要学习的新的知识——反比例。
【品析:课件展示例题,出示问题情境,与正比例的知识相对,让学生先凭借
前面学习的知识计算出相对应的两个量的乘积,再根据乘积猜测、观察、总结出规律,得出疑问,进而引出课题。】
二、师生合作,探究新知
◎教学反比例的意义。
(1)在具体情境中初步感知成反比例的量。
课件出示第 47 页例 2,引导学生汇报:表中有哪两种量?(有杯子的底面积和
水的高度这两种量。)
水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的?(杯子的底面积
增加,水的高度降低;杯子的底面积减少,水的高度升高。)相对应的杯子的底面
积与水的高度的乘积分别是多少?(都是 300,是一定的,也就是底面积×高=体积
(一定)。)
因为水的体积一定,所以水的高度随着底面积的变化而变化。杯子的底
面积增加,水的高度反而降低;杯子的底面积减少,水的高度反而升高,并且水的
高度和杯子的底面积的乘积一定,我们就把水的高度和杯子的底面积叫作成反比
例的量,它们的关系叫作反比例关系。
(2)在自主学习中理解、掌握反比例的意义及关系式。
让学生阅读第 47 页内容,交流自己对反比例意义的理解。再结合教材内容,
说一说反比例关系怎样用字母表示(xy=k(一定),教师结合学生回答板书,强调乘
积一定。)
(3)在对比学习中明确正比例与反比例的异同。
课件出示例 1 和例 2,比较交流:正比例与反比例有什么相同点和不同
点?(相同点是都表示两种相关联的量,且一种量变化,另一种量也随着变化。不
同点是正比例关系中比值一定,反比例关系中乘积一定。)
(4)举例,进一步深化对反比例的认识。
你能举出日常生活中成反比例关系的例子吗?(路程一定,速度与时间成反
比例;工作总量一定,工作效率与工作时间成反比例;总价一定,单价与数量成反
比例。)
【品析:学生已经在上节课掌握了什么是两种相关联的量,此教学环节先让
学生通过观察表格中的数据的变化,计算相对应的两个数据的乘积,发现规律,理
解反比例的意义。】
◎教学反比例的图像。
在合作探究中了解反比例图像。(1)正比例图像是一条直线,反比例图像是什么形状呢?
引导学生阅读教材第 48 页下面“你知道吗?”的内容,观察给出的反比
例关系图像,让学生通过观察图像回答:杯子的底面积分别是 40 cm 2、50 cm2、
55 cm2 时,水的高度分别是多少?(7.5 cm、6 cm、60
11 cm)。
(2)请同学们利用例 2 的数据试一试。学生小组合作,画坐标系、描点、连
线。
学生汇报,教师总结:反比例图像是曲线。
【品析:此环节通过观察教材中给出的反比例的图像,并回答问题,再让学生
利用小组合作的方式把例 2 中的数据在图像上表示出来,最后总结得出:反比例
图像是一条平滑的曲线。曲线上每一个点都表示一定的意义,而且我们可以利用
图像来解决实际问题。】
三、反馈质疑,学有所得
在理解了反比例的意义、认识了反比例的图像的基础上,让学生及时消
化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:什么是反比例?
师生共同总结:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如
果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们
的关系叫作成反比例关系。
质疑二:反比例的图像是怎样的?
师生共同总结:反比例的图像是一条曲线,而且曲线上每一个点都表示
一定的意义。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了反比例的意义和反比例的图像,你能说说你的
收获吗?
师生共同总结:1.成反比例的量和反比例关系:两种相关联的量,一种量
变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量
就叫作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。 2.反比例关系的式子表示
为:xy=k。3.反比例的图像:一条平滑的曲线。衔接下节课内容,给大家留一个思
考题:
我们已经学过了正比例和反比例的有关知识,那么怎样用比例解决问题呢?
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把反比例的意义和反比例的图像真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:本节课在教学完例 2 之后,应该将例 1 和例 2
进行对比,通过讨论让学生归纳出正比例和反比例的相同点和不同点,以此来使
学生加深对正比例和反比例的认识。
我的反思:
板书设计
反 比 例
x×y=k(一定)
杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
杯子的底面积×水的高度=水的体积(一定)
第 5 课时 比 例 尺
教学内容
人教版六年级下册教材第 53 页比例尺的含义、例 1 和第 54 页例 2、第 55
页例 3。
内容简析
比例尺的意义:通过阅读教材有关比例尺的知识,总结比例尺的意义及公
式。例 1:教学比例尺的求法。
例 2:教学比例尺的应用。
例 3:根据实际距离与比例尺求图上距离。
教学目标
1.理解比例尺的意义,能运用比例尺公式解决有关比例尺的问题。
2.通过小组合作探讨,培养学生的合作意识和创新思维能力。
3.体验数学与生活的联系,培养学生用数学眼光观察生活的习惯。
教学重难点
重点:理解比例尺的意义。
难点:能熟练解答比例尺的有关问题。
教法与学法
1.在教法上,可以出示一幅用数值比例尺表示的地图,结合地图说明绘制地
图首先需要把实际距离按一定的比缩小,引出比例尺。教学比例尺的应用时,可
以先引导学生分析题意,再组织学生进行小组讨论,合作完成。
2.在学法上,学生可以通过自主学习认识比例尺的意义,然后类比比和比例
的知识,运用知识迁移,利用小组合作学习完成例题的解答。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
图片导入法:
师:北京是我国的首都。同学们,2008 年北京奥运会取得了巨大的成功,中
国的历史悠久,文化灿烂,让我们感受一下我们祖国的魅力!今天老师把我们的祖
国和首都北京“搬进”了课堂。
教师拿出中国和北京的地图展示给学生。
复习:回顾前面学
过的正比例、反比
例的意义及图像。
学习:理解比例尺的
意义,会解答比例尺
的有关问题。
延 学 : 利 用 比 例
尺解决生活中的
实际问题。师:你们知道我们的祖国和北京是如何画在这么小的地图上的吗?今天我们
就来学习比例尺。
【品析:此环节在设计情境时,把中国和北京“搬进”课堂,激发了学生的好
奇心,调动了学生学习的积极性,并让学生感受到数学来源于生活。】
师生互动法:
1.让几名学生代表站在讲台上,老师用数码相机给他们照一张全身照,放入
电脑里,打在屏幕上,让学生观察。
师:照片上的同学与本人相比有什么变化?
生:缩小了。
2.把照片复制成两张,一张变成矮胖,一张变成瘦高。
师:看了这两张照片,你有什么想法?
生:如果把照片的高度缩小一些,照片上的同学就显得又矮又胖;如果把照片
的宽度缩小一些,照片上的同学就显得又瘦又高。
师:照片变形的奥秘与我们将要学习的内容有关。今天我们就一起来研究比
例尺。
【品析:本环节通过师生互动拍照活动 ,用学生的照片作为学习素材,激发
了学生的学习兴趣,为探究新知做好铺垫。】
二、师生合作,探究新知
◎教学比例尺的意义。
(1)学生自学教材第 53 页例 1 上面的内容,了解比例尺的意义。
课件出示自学提纲,之后讨论交流。明确:
①什么叫作比例尺?
②比例尺产生的原因是什么?(有时按照实际尺寸无法绘制平面图,这就产生
了把实际距离按一定的比缩小(或扩大)的需求,因此就产生了比例尺。)
③比例尺有什么作用?(放大和缩小两个方面的作用。)
④比例尺是比还是尺?(是比,不是尺。)
⑤比例尺的文字表达式是什么?(图上距离∶实际距离=比例尺。)
(2)观察实物地图。(一幅地图的比例尺是 1∶100000000,另一幅地图的比
例尺是 ,了解比例尺的两种形式。)第一个比例尺是数值比例尺,表示
图上距离是实际距离的 1
100000000。第二个是线段比例尺,表示图上 1 cm 的距离相
当于地面上 50 km 的实际距离。(教师引导学生理解:0 后面第一个数表示图上
距离 1 cm 代表的实际距离,单位看最后那个单位。)
(3)学习把线段比例尺改写成数值比例尺的方法。你能把上面的线段比例尺改写成数值比例尺吗?先让学生独立改写,再指名
板演:
图上距离∶实际距离
=1 cm∶50 km
=1 cm∶5000000 cm
=1∶5000000
结合学生板演,归纳改写的方法。
【品析:学生通过阅读教材有关比例尺的内容,采取小组合作交流讨论的方
式学习比例尺的意义,培养了学生自主学习和小组合作的意识。】
◎教学比例尺的应用。
(1)自学例 1,知道怎样求比例尺。
①学生独立阅读例 1 后思考:求比例尺需要知道哪些已知条件?求比例尺要
用哪个公式?求比例尺应注意什么问题?
②交流汇报,提炼方法。
③小结:已知图上距离和实际距离,求出它们的比值就是比例尺,求比例尺之
前,单位一定要统一。
(2)教学例 2,根据比例尺求出实际距离或图上距离。
课件出示例 2,读题后审题,找出已知条件和所求问题。思考交流,如何求从
苹果园站至四惠东站的实际长度?(根据比例尺的意义,设实际距离为 x cm,用解
比例的方法求出实际距离;根据比例的意义,直接用图上距离 7.8 cm 乘比例尺中
的 400000,求出实际距离。)
使学生明确:为什么设的实际长度要以“cm”为单位?(因为图上距离的
单位是 cm,只有图上距离的单位和实际距离的单位统一了,才能计算出正确的结
果。)列比例的依据是什么?(图上距离∶实际距离=比例尺)400000 表示什
么?(实际距离 400000 cm)
之后让学生独立用解比例的方法解决问题,再指名学生板演:
解:设从苹果园站至四惠东站的实际长度是 x cm。
7.8
푥 = 1
400000
x=7.8×400000
x=31200003120000 cm=31.2 km
答:从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是 31.2 km。
巩固拓展:如果地铁 1 号线上的某两站之间的距离是 1 km,那么在比例尺为
1∶400000 的规划图上,这两站之间的图上距离是多少?
1 km=100000 cm
解:设这两站之间的图上距离是 x cm。
푥
100000=
1
400000
x=100000÷400000
x=0.25
答:这两站之间的图上距离是 0.25 cm。
(3)教学例 3,根据比例尺画平面图。
出示例 3,读题,你从题中知道了哪些信息?我们要解决哪些问题?怎样才能
准确地画出平面图呢?(引导学生明确,若想画得准确,应按照题目中给定的比例
尺求出三个同学家到学校的图上距离。)
分别求出三个同学家到学校的图上距离后,学生动手画图,老师巡视指
导,之后反馈,集体订正。
小结:根据比例尺画图的一般方法:
①根据比例尺计算图上距离。②根据数据,画出图形。
【品析:此环节通过教师帮助学生分析题意,让学生自主解决有关比例尺的
问题,既巩固新知,又让学生体验思维的乐趣,培养了学生应用数学知识的能
力。】
三、反馈质疑,学有所得
在理解了比例尺的意义、学习完了有关比例尺的问题的基础上,让学生
及时消化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:什么是比例尺?求比例尺的公式是什么?比例尺有几种形式?
师生共同总结:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例
尺。公式为:图上距离:实际距离=比例尺或 图上距离
实际距离=比例尺。比例尺有数值比例
尺和线段比例尺。
质疑二:怎样解决有关比例尺的问题?
师生共同总结:(1)分析题意,找到已知条件。(2)明确两种比例尺的公式。
(3)列式解答。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了比例尺的意义和解决有关比例尺的问题,你能
说说你的收获吗?
师生共同总结:1.比例尺的形式:数值比例尺和线段比例尺;2.比例尺=
图上距离÷实际距离=图上距离
实际距离;3.图上距离=实际距离×比例尺;4.实际距离=图
上距离÷比例尺。(注意:图上距离和实际距离要单位统一)
衔接下节课的知识,给大家留一个任务:
课下,请同学们搜集一下有关图形放大与缩小现象的实例。
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把比例尺的意义和怎样解决有关比例尺的问题真
正掌握了。
反思过程,有待改进之处:在研究和归纳比例尺的概念时,应该让学生试
着画一画教室地面的平面图,让学生通过动手操作,经历画图的思考过程,这样就
会加深学生对概念的理解和掌握。
我的反思:
板书设计
比例尺
图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离
实际距离=比例尺
例 1 120 km=12000000 cm
2.4∶12000000=1∶5000000
答:这幅地图的比例尺是 1∶5000000。例 2 解:设苹果园站至四惠东站的实际长度是 x cm。
7.8
푥 = 1
400000
x=7.8×400000
x=3120000
3120000 cm=31.2 km
答:从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是 31.2 km。
例 3 200 m=20000 cm
400 m=40000 cm
250 m=25000 cm
小明家到学校的图上距离:
20000× 1
10000=2 (cm)
小亮家到学校的图上距离:
(40000-20000)× 1
10000=2(cm)
小红家到学校的图上距离:25000× 1
10000=2.5(cm)
第 6 课时 图形的放大与缩小
教学内容
人教版六年级下册教材第 59 页图形的放大与缩小的现象和第 60 页例 4。
内容简析
图形的放大与缩小现象:通过观察教材有关图形放大与缩小的图片,感知生
活中的图形放大与缩小现象。
例 4:引导学生探究图形放大与缩小的特性,通过具体分析题意,找到已知条
件,解决有关图形放大与缩小的实际问题。
教学目标
1.理解图形放大与缩小的意义,能在方格纸上按一定的比例画出放大与缩小
的图形。
2.通过观察、理解、动手操作等数学活动体验图形放大与缩小的过程。
3.培养学生的空间观念和动手操作的能力,体验数学与生活的联系,培养用
数学眼光观察生活的习惯。教学重难点
重点:理解图形放大与缩小的意义。
难点:理解比的意义,体会图形相似的特征,画放大或缩小后的图形。
教法与学法
1.在教法上,组织学生讨论交流,让学生试着在方格纸上画出放大的图形,学
生汇报交流后,再通过观察、比较等方法总结规律,进一步理解图形放大。
2.在学法上,本节课以学生自主学习为主,通过动手画一画、动脑想一想、
动口说一说等多种形式参与学习,在实践中体会图形放大与缩小的含义。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
观察体验法:
教师拿出一张事先准备的卡片纸,上面写着“图形的放大与缩小”,字号为
小 5 号字。
师:下面来考考同学们的眼力怎么样,谁能看清上面写的什么?
生:看不清。
教师把卡片放在展台上,调整缩放键,将刚才的字放大,并问:这次能看清了
吗?那么大家知道这是生活中的什么现象吗?
生:图形的放大与缩小。
师:同学们很聪明,今天我们就来研究图形的放大与缩小。
【品析:此环节从学生的生活出发,从学生的兴趣出发,从学生的需要出发,
创设了“放大与缩小”的有趣情境,不仅吸引了学生的注意力,而且激发了学生
的学习热情。】
师生互动法:
让几名学生代表站在讲台上,老师用数码相机给他们照一张全身照,放入电
脑里,打在屏幕上,让学生观察。
师:照片上的同学与本人相比,有什么变化?
生:缩小了。
复习:回顾前面学过
的 比 例 尺 的 有 关 知
识。
学习:理解图形放大与
缩小的意义,会画放大
或缩小后的图形。
延学:理解比的意
义,体会图形相似
的特点。这就是今天我们要研究的图形的放大与缩小。
【品析:本环节通过师生互动拍照活动 ,用学生的照片作为学习素材,激发
了学生的学习兴趣,为探究新知做好铺垫的同时,也拉近了师生之间的距离。】
课件展示法:
课件出示生活中常见的有关图形的放大与缩小的实例,比如:照相、电脑上
字号的放大与缩小、多媒体上的投影、放大镜等。这些都是生活中常见的图形
的放大与缩小现象。
那么怎样理解图形的放大与缩小呢?又怎样解决生活中遇到的图形放大与缩
小的问题呢?
今天这节课我们就来研究图形的放大与缩小。
【品析:本环节通过列举生活中的实例让学生感知图形的放大与缩小现象,
让学生感受数学来源于生活,同时,为新知的学习奠定基础。】
二、师生合作,探究新知
◎感知图形的放大与缩小现象。
生活中经常会遇到图形的放大与缩小,下面就让我们一起来感受一下图
形的放大与缩小。出示教材第 59 页主题图, 这些现象中, 哪些是把物体放
大?(图 2、3、4)哪些是把物体缩小?(图 1)。今天就让我们从数学的角度一起来
探究图形的放大与缩小。
【品析:学生通过观察图片,区分图形的放大与缩小,感知图形的放大与缩小
现象在实际生活中的应用,感受数学与生活的密切联系。】
◎教学图形放大与缩小的意义。
(1)探究把图形放大的意义和方法。
①课件出示例 4,思考并交流:按 2∶1 放大是什么意思?(要画的图形的每条
边都是原来长度的 2 倍,要着重提示学生注意 2∶1 是变化后的长度和变化前的
长度的比,而不是变化后的面积和变化前的面积的比。)
②以正方形为例,具体画图时应该怎么做?正方形原来的边长是 3 个单位长
度,现在按 2∶1 放大后,边长应该是 6 个单位长度。学生独立画图,老师巡视指
导。
③完成例 4。
怎样画长方形?把长方形的长和宽分别扩大到原来的 2 倍后,再画长方形。
怎样画三角形?把直角三角形的两条直角边分别扩大到原来的 2 倍后,连接
两条直角边的端点。
④引导学生观察放大后的图形和原图形。观察放大后的图形与原图形,比较它们的内角、边长、周长,什么变了?什么
没变?(图形放大后,内角的大小不变,所以形状不变;图形的各边的长都扩大到原
来的 2 倍,所以周长也扩大到原来的 2 倍。)
(2)合作探究,理解图形缩小的意义和方法。
如果把放大后的正方形按 1∶3,长方形按 1∶4,三角形按 1∶2 缩小,各个图
形又会发生什么变化?在方格纸上画画看。(引导学生明确这三个图形按相应的
比缩小时,边长应该是多少,从而得出结论:图形缩小,形状不变。)学生动手操
作,画出缩小后的图形,之后交流各自的作品。
(3)归纳图形放大与缩小的变化特点。
放大或缩小后的图形与原图形有什么异同?图形放大或缩小后,形状相同,大
小不同。
【品析:本环节通过课件出示例题,教师以正方形为例教学,让学生感知把一
个图形放大的方法,在此基础上进一步让学生解决长方形和三角形的放大问题,
激发学生的兴趣和培养学生动手操作的能力,让学生体验学习数学的乐趣。】
三、反馈质疑,学有所得
在理解了图形放大与缩小的意义的基础上,让学生及时消化吸收,教师
提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:生活中的图形放大与缩小现象有哪些?
师生共同总结:照相、计算机上字号的放大与缩小、多媒体上的投影、
放大镜等。
质疑二:图形放大与缩小的变化特点是什么?
师生共同总结:图形放大或缩小后,形状相同,大小不同。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了图形的放大与缩小,你能说说你的收获吗?
师生共同总结:图形按照一定的比进行放大或缩小时,是把图形的每一
条边都按一定的比进行放大与缩小;图形按照一定的比进行放大或缩小时,图形
的形状不变,内角不变,大小改变,周长变化,面积变化。
学完了图形的放大与缩小,下面学习用比例解决生活中的实际问题,请
大家课下思考一个问题:
怎样用比例解决问题?
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把有关图形的放大与缩小真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:学生通过动脑想一想、动口说一说等多种方
式参与学习,体会到图形放大与缩小的含义,但是如果让学生多动手操作,在方格纸上按规定的比画出简单图形放大或缩小后的图形,这样,学习效果会更好。
我的反思
板书设计
图形的放大与缩小
图形的放大与缩小{大小变了
形状没变
第 7 课时 用比例解决问题
教学内容
人教版六年级下册教材第 61 页例 5 和第 62 页例 6。
内容简析
例 5:寻找解题方法,根据已知条件和等量关系解决问题。
例 6:利用反比例的意义解决问题。
教学目标
1.使学生能正确判断题中涉及的量是否成正、反比例,并能利用正、反比例
的意义解决问题。
2.通过让学生尝试解决问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生良好的解决问题的习惯。
教学重难点
重点:用比例知识解决正、反比例的实际问题。
难点:利用正、反比例的关系列出含有未知数的等式。
教法与学法
1.在教法上,主要采取自主解答的方式,用比例知识解答正、反比例的问题
的关键是使学生能够正确找出两种相关联的量,判断它们成哪种比例,然后根据
正比例或反比例的意义列出方程。
2.在学法上,学生主要采取自主学习。承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
复习迁移法:
1.判断下面每题中的两种量成什么比例?并说明理由。
(1)速度一定,路程和时间。
(2)单价一定,总价和数量。
(3)我们班上体育课,每行站的人数和行数。
2.联系生活,提出问题。
师:同学们,全社会都在节约用水,请大家想一想,和我们息息相关的用水的
问题里蕴含了哪些数学问题呢?
生:用水的总量、应交的水费、每吨水的价格。
师:那么今天我们就来解决一个用水的问题。
【品析:本环节联系实际,唤起学生对旧知的回忆,使学生体会到数学在生活
中的运用,同时为新知的学习做好准备。】
讲故事导入法:上课开始,教师说,今天我要先给同学们讲个《手指
头帽子》的故事:有一个贪婪的财主,拿了一批上好的布料准备做一顶帽子,到了
裁缝店,觉得这样好的布料做一顶帽子似乎浪费了,于是问裁缝:“这批布可以做
两顶帽子吗?”裁缝看了财主一眼,说:“可以。”财主见他回答得那么爽快,心
想:这裁缝肯定从中占了些什么便宜,于是又问,“那做 3 顶帽子呢?”裁缝很爽
快地说:“行!”这时,财主更加疑惑了,嘀咕着:“多好的一匹布啊,那我做 4 顶
可以吗?”“行!”裁缝仍然很爽快地回答。经过一番较量后,财主最后问:“那
我想做 10 顶帽子可以吗?”裁缝迟疑了一会儿,然后打量着财主,慢慢地说:“可
以的。”这时财主才放下心来,心想:这批布料如果只做一顶帽子,那就便宜裁缝
了。瞧!这不让我说到 10 顶了吧。我还真聪明!嘿嘿……过了几天,财主到裁缝
店取帽子,结果一看,顿时傻了眼:10 顶帽子小得只能戴在手指头上。故事讲完,
教师提出疑问:裁缝为什么做了 10 顶这么小的帽子?进而引出用比例解决问题。
【品析:通过讲故事的方式,创造出引人入胜的情境,使学生能快速进入课
复习:回顾上节课学
习的图形的放大与缩
小。
学习:用比例知识解
决实际问题。
延学:通过分析问题,
判断正、反比例,并
用比例知识解决正、
反比例的问题。堂,激发学生学习的兴趣。】
情境导入法:
课件播放教材第 61 页例 5:张大妈:我们家上个月用了 8t 水,水费是 28 元;
李奶奶:我们家用了 10t 水。问:李奶奶家上个月的水费是多少钱?
让学生小组交流合作,用以前学过的方法解决问题。
通过交流探索,学生汇报:可以先算出每吨水的价钱,再求 10t 水的价钱,即
列式为:28÷8×10。
师:还有别的方法吗?
生:解比例的方法。
师:非常好,下面我们就用解比例的知识来研究一下这个问题。
【品析:课件展示例题,把学生带入问题情境中,先让学生运用以前学过的方
法解答,再思考还有没有别的方法,进而引入下面的用比例知识来解决问题,步步
引入,思路清晰。】
二、师生合作,探究新知
◎用正比例知识解决问题。
出示例 5 主题图,学生汇报题中的已知条件和所求问题,指名学生完整
叙述题意,根据学生的回答,课件出示例 5:张大妈家上个月用了 8 t 水,水费是
28 元,李奶奶家用了 10 t 水。李奶奶家上个月的水费是多少钱?
让学生讨论怎样用比例的知识解决例 5 的问题。
正比例知识解答:(用水的吨数和水费是两种相关联的量,水费与用水吨数的
比值不变,可用正比例知识解答。)
学生汇报,教师板书:
解:设李奶奶家上个月的水费是 x 元。
28
8 = 푥
10
8x=28×10
x=280
8
x=35
答:李奶奶家上个月的水费是 35 元。
拓展:王大爷家上个月的水费是 42 元,上个月用了多少吨水?
解:设上个月用了 x t 水。
28
8 =42
푥28x=42×8
x=12
答:上个月用了 12 吨水。
【品析:此环节采取小组合作的形式讨论交流,培养了学生自主学习的能力
与小组合作的意识,接下来的拓展练习让学生独立解决,提高了学生独立解决问
题的能力。】
◎用反比例知识解决问题。
(1)出示例 6 主题图,读题,让学生找出题中的已知条件和所求问题。讨论用
什么方法解决例 6。
算术方法:100×5÷25
反比例知识解答:(每天的用电量和用电天数是相关联的两种量,每天的
用电量与用电天数的乘积也就是总用电量是不变的,所以可以用反比例知识解
答。)
解:设原来 5 天的用电量现在可以用 x 天。
25x=100×5
x=100 × 5
25
x=20
答:原来 5 天的用电量现在可以用 20 天。
拓展:现在 30 天的用电量原来只够用多少天?学生独立完成后交流订
正。
(2)总结用正、反比例知识解题的思路。
结合例 5、例 6 的解题过程思考,用比例知识解题时,应该怎样想?怎样
做?用比例知识解题的关键是什么?怎样列出等式?
小结:应用比例知识解题时,首先要判断两种相关联的量是否成比例关
系(板书:判断比例关系)然后找出相关量对应的数值。(板书:找出对应数值)最
后根据正、反比例的意义列出等式并解答。(板书:列出等式并解答)
解题的关键是正确判断两种相关联的量成什么比例。成正比例根据比
值相等列等式,成反比例根据乘积相等列等式。
【品析:此环节仿照例 5 的形式,让学生独立解答问题,培养了学生自主学习
的能力,最后的小结加深和巩固了所学知识。】
三、反馈质疑,学有所得
在学生了解用比例解决问题的基础上,让学生及时消化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:怎样用比例知识解决问题?
师生共同总结:应用比例知识解题时,首先要判断两种相关联的量是否
成比例关系,然后找出相关数量对应的数值。最后根据正、反比例的意义列出等
式并解答。
质疑二:用比例知识解题的关键是什么?怎样列出等式?
师生共同总结:解题的关键是正确判断两种相关联的量成什么比例。成
正比例根据比值相等列等式,成反比例根据乘积相等列等式。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了用比例解决问题,你能说说你的收获吗?
师生共同总结:
1.用正比例解决问题的方法:根据对应数量的比一定列等式;
2.用反比例解决问题的方法:根据对应数量的乘积一定列等式。
衔接下一节课内容,有关用比例解决问题的知识学完了,课下,请大家思
考一个问题:
自行车里有没有关于比例的知识?前、后齿轮的齿数与它们的转数有什
么关系?
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化把用比例解决问题的知识真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:在实际的教学中,不敢大胆放手让学生自主探
索,新知识的学习让学生讲述理由的机会相对减少,学生对解题思路的叙述机会
不多,从而造成部分学生只是模仿例题列比例解答,但解答的依据却说不清。在
今后的教学中,要多让学生用自己的语言来表达,训练学生对数学知识的表达能
力。
我的反思:
板书设计
用比例解决问题
成正比例的量,对应数量的比一定;
成反比例的量,对应数量的乘积一定。
例 5:解:设李奶奶家上个月的水费是 x 元。
28
8 = x
10
8x=28×10
x=280
8
x=35
答:李奶奶家上个月的水费是 35 元。
例 6:解:设原来 5 天的用电量现在可以用 x 天。
25x=100×5
x=100 × 5
25
x=20
答:原来 5 天的用电量现在可以用 20 天。
第 8 课时 自行车里的数学
教学内容
人教版六年级下册教材第 67 页内容。
内容简析
研究普通自行车:通过观察普通自行车的模型和测量数据,引导学生找到解
决方法。
研究变速自行车:通过观察变速自行车的模型和测量数据,引导学生找到解
决方法。
教学目标
1.探究普通自行车与变速自行车的速度与内在结构的关系。2.让学生经历“提出问题—分析问题—建立数学模型—求解—解释与应
用”解决问题的基本过程,获得用数学解决问题的思考方法。
3.培养学生解决问题的能力,激发学生学习数学的兴趣。
教学重难点
重点:在总齿数一定的情况下,对于“前齿轮转的圈数×前齿轮的齿数=后齿
轮的齿数×后齿轮转的圈数”关系的发现过程。
难点:自行车前进过程中前、后轮之间的比例关系的运用。
教法与学法
1.在教法上,主要采取小组合作的形式,讨论研究解决问题的方案。
2.在学法上,主要以小组合作学习为主。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
提问导入法:
师:同学们,我们已经学过了比例的知识,你能说说它在生活中有哪些应用
吗?
生 1:绘制地图时用到比例的知识。
生 2:稀释农药时用到比例的知识。
生 3:路程一定,时间和速度成反比例。
生 4:机器转动时,两个互相咬合的齿轮也用到比例的知识。
生 5:自行车也用到比例的知识。
师:非常好,刚才有的同学说自行车也用到了比例的知识。那么它用到了比
例的什么知识呢?今天这节课我们就来研究自行车的数学问题。
【品析:本环节联系生活,引入新知,使研究的内容产生于学生的身边,拉近
数学与学生的距离,激发学生的学习兴趣。】
复习:回顾本单元所
学习的有关比例的基
本知识。
学习:用比例知识解决
实际生活中的有关自行
车的问题。
延学:研究变速自行车
能变速的原因以及与
普通自行车的区别。 模型展示法:
出示一辆普通自行车和变速自行车的模型,让学生来指认区分这两种自行
车。
师:大家谁知道这两辆自行车有什么区别?
生:变速自行车的速度要快。
师:那么同学们通过观察这两辆自行车,能说一下它们的构造吗?
生 1:自行车有前轮、后轮、前齿轮、后齿轮。
生 2:我还知道链条带动前、后齿轮同时转动。
生 3:我观察到变速自行车前、后轮都有许多齿轮。
生 4:普通自行车的前齿轮转一圈,后齿轮就会转几圈。
……
师:同学们很聪明,下面我们就来研究一下车速与内在结构的关系。
【品析:本环节学生通过观察、实验、推理的方法了解普通自行车和变速自
行车前后车轮、齿轮、链条、转圈的关系。】
实地测量法:
展示一辆普通 28 寸自行车和 26 寸自行车,让学生小组合作分别测量自行车
蹬一圈能走多远,测量后小组汇报结果。
小组 1:我们组测得 28 寸自行车蹬一圈走了 5.64 米,26 寸自行车蹬一圈走
了 3.53 米。
小组 2:我们组测得 28 寸自行车蹬一圈走了 4.35 米,26 寸自行车蹬一圈走
了 2.98 米。
通过小组汇报发现测得的结果不同,存在很大的误差,事实证明测量方法不
准确,那么有没有更好更准确的方法呢?今天我们就一起研究一下。
【品析:让学生动手操作测量自行车蹬一圈所走的距离,通过测量发现这种方
法不准确,进而引导学生去思考更好的方法,引入新知,提高了学生的思考能
力。】
二、师生合作,探究新知
◎探究自行车的速度和内在结构的关系。
(1)猜测,自行车蹬一圈能走多远?
(2)分组讨论,怎样才能知道自行车蹬一圈走多远?(可以蹬一圈直接测量,也
可以计算得出。)
(3)观察讨论:前齿轮转过一个齿,后齿轮转过几个齿?你是怎样知道的?前齿
轮转动一圈,后齿轮转动几圈?齿轮的齿数与齿轮的转数有什么关系?(前齿轮转
过一个齿,后齿轮也转过一个齿,因为链条间的孔与前、后两个齿轮的每一个齿相对应。前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数。齿轮的齿数与齿
轮的转数成反比例。)
(4)引导学生尝试总结蹬一圈的路程的公式。(蹬一圈的路程=车轮的周长×
前齿轮齿数
后齿轮齿数)
(5)实际操作、测量、计算,比较两种方法的优劣。(蹬一圈直接测量,误差
比较大。而根据车轮的周长乘后齿轮转数计算的结果相对准确。)
【品析:本环节通过猜想、测量、小组合作讨论问题,找到解决问题的方法,
培养了学生动手操作的能力和小组合作的意识。】
◎研究变速自行车能组合出多少种速度。
(课件出示变速自行车的前、后齿轮数表)
(1)提问:变速自行车的结构是怎样的?变速自行车能组合出多少种速度?(变
速自行车有 2 个前齿轮,6 个后齿轮。根据这个结构和前、后齿轮的齿数,可以
组合出 2×6=12(种)速度。)
(2)质疑:蹬一圈,所走的路程与什么有关?蹬同样的圈数,哪种组合使自行车
走得最远?(所走的路程与自行车的车轮直径有关。前齿轮齿数
后齿轮齿数的比值越大,蹬同样
的圈数,自行车走的距离越远。)
【品析:通过课件出示表格,提出问题,让学生动脑思考、动手操作、培养了
学生思考问题、分析问题的能力和自主学习探究的能力。】
三、反馈质疑,学有所得
在学生解决了有关自行车问题的基础上,让学生及时消化吸收,教师提
出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:怎样求自行车蹬一圈所行的路程?
师生共同总结:蹬一圈的路程=车轮的周长×前齿轮齿数
后齿轮齿数
质疑二:蹬一圈,所走的路程与什么有关?蹬同样的圈数,哪种组合使自
行车走得最远?
师生共同总结:所走的路程与自行车的车轮直径有关。前齿轮齿数与后
齿轮齿数的比值越大,蹬同样的圈数,自行车走的距离越远。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了有关自行车的数学问题,你能说说你的收获吗?
师生共同总结:自行车里前、后齿轮的齿数与它们的转数的关系:前齿
轮齿数∶后齿轮齿数=后齿轮转数∶前齿轮转数;蹬一圈的路程=前齿轮齿数∶后齿轮齿数×车轮周长。
我们已经学完了有关比例的知识,衔接下节课知识,课下给同学们留一
个任务:
整理一下本单元所学习的知识点。
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把怎样解决有关自行车的问题真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:本课时的有关自行车问题,对于学生来说是一
个难点,学生不容易理解,所以要借助自行车模型让学生多进行观察和研究,教师
在关键的时候给予适当的讲解,这样学生更容易接受。
我的反思:
板书设计
自行车里的数学
前齿轮齿数∶后齿轮转数=后齿轮转数∶前齿轮转数
蹬一圈自行车走的距离=前齿轮齿数∶后齿轮齿数×车轮周长
第四单元复习教案
复习内容
人教版六年级下册第四单元,教材第 40~67 页。
知识梳理内容 重点知识
比例的意义:表示两个比相等的式子叫作比例。
比例的基本性质:在比例里,两个内项的积等于两个外项
的积。
比例的意义和
基本性质
解比例:求比例中的未知项,叫作解比例。
正比例关系的式子:=k(一定)正比例和反比例
的意义 反比例关系的式子:xy=k(一定)
比例尺:图上距离∶实际距离=比例尺
图形的放大与缩小:图形的各边按相同的比放大或缩小
后,所得图形的形状不变。比例的应用
用比例解决问题:成正比例的量,根据对应数量的比一定
列等式;成反比例的量,根据对应数量的乘积一定列等式。
复习目标
1.整理比例单元知识,查漏补缺,使知识形成系统。
2.在整理总结中,提升学生的抽象概括能力。
3.培养学生总结归纳的能力,渗透函数思想。
复习重难点
进一步理解和掌握应用比例知识解决问题。
复习方法
1.通过让学生梳理本单元的知识结构,加深学生对本单元所学知识的认识。
2.在复习本单元知识的同时,提高学生的学习能力和解决问题的能力。
复习过程
一、揭示课题,明确目标。
讲故事导入法:
在遥远的数学王国里,有许多好玩的事物:整数、小数、分数、正数、
负数等等,他们生活的非常快乐、整天无忧无虑地玩耍。有一天,数学王国里来
了一对奇妙的正、反比例兄弟。大家感到十分惊讶,都情不自禁的惊叹道:“天啊!你们是谁?为什么要到这里来?我们以前怎
么没有见过面呢?”“就是就是!”其他人也跟着嚷嚷起来,场面一片混乱。这
时,数学王国的国王走过来,对大家说:“大家不要惊慌,这是我们数学家族的其
中一员,只不过几年前,他的祖先因为比较特殊,就和我们分开。,现在,他又回来
了。下面,就请正、反比例介绍一下他们自己吧!”听了国王的话,大家恍然大
悟,原来是我们的兄弟啊!同学们,你们帮助这两兄弟做一个介绍吧,相信你们一
定会让两兄弟“闪亮登场”的!
【品析:通过这种讲故事的方式,很自然地就让学生自己动脑去总结本单元
所学的知识点,然后教师再加以补充,一节本来枯燥的复习课,通过一个故事充分
活跃了课堂的气氛,调动了学生的主观能动性。】
课件导入法:
课件展示问题:(1)本单元我们都学习了哪些内容?请把它们整理出来让大家
一目了然。
(2)你认为哪些内容较难、易混易错呢?请列出来。
(3)你还有什么问题吗?
请同学们围绕这些问题,再次看教材,自己进行整理归纳,记录下来。
教师板书:比例。
【品析:通过课件展示,将学生带进所要复习的内容中来,使学生对自己要复
习的知识一目了然,思路更加清晰。】
二、回顾整理,形成体系。
引领学生回顾知识点:小组汇报整理结果。
(1)比例的意义和性质
①比例的意义:表示两个比相等的式子叫作比例。
②比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
③解比例:求比例中的未知项,叫作解比例。
(2)成正比例和成反比例的意义
①成正比例的量:푦
푥=k(一定)
②成反比例的量:xy=k(一定)
(3)比例的应用
①比例尺=图上距离∶实际距离。
②图形的放大与缩小:图形的各边按相同的比放大或缩小后,所得图形的形
状不变。
③用比例解决问题:成正比例的量,根据对应数量的比一定列等式;成反比例
的量,根据对应数量的乘积一定列等式。【品析:整理复习本单元的知识点时,通过课件呈现的几个问题进行整理和
归纳,使学生掌握一些整理归纳知识的方法,有利于学生建立合理的知识结构,通
过小组汇报整理结果,使学生加深了对本单元知识点的理解和认识,再加上每个
知识点后面的习题巩固,使学生的复习效果达到了一个更加深刻的层次。】
三、探索实践,强化提高。
1.学生集体交流教材第 65 页的第 1 题。
【参考答案】
比 比例
意义
两个数相除叫作两
个数的比。
表示两个比相等的
式子。
构成
由两项组成,分别叫
比的前项和后项。
由四项组成,两端的
两项叫作比例的外项,中
间的两项叫作比例的内
项。
基本性质
比的前项和后项同
时乘或除以相同的数(0
除外),比值不变。
在比例里,两个外项
的 积 等 于 两 个 内 项 的
积。
2.学生独立完成教材第 65 页的第 2 题,然后集体订正答案。
【参考答案】
解比例依据的是比例的基本性质。
x=4.8 x= 1
12 x=6.25 x=8
3.学生独立完成教材第 65 页的第 3 题,然后集体交流。
【参考答案】
(1)成反比例关系 (2)成正比例关系 (3)不成比例关系
4.学生独立完成教材第 65 页的第 4 题,然后集体交流。
【参考答案】
(1)100÷2×3=150(km)
(2)50×3÷60=2.5(时)
四、评价总结,提升能力。 1.回顾本单元的知识,你对自己的收获满意吗?
2.和大家交流一下自己对本单元所学知识的感受。
【品析:通过交谈自己对本单元所学知识的感受,使学生对所学知识理解得
更加深刻,同时也提高了学生之间互相合作交流的能力。】
五、教海拾遗,反思提升。
比例是本教材知识的重点内容,在复习中既要掌握整个单元的重要知识
点,又要突破用比例解决问题这一重点,因此,知识量比较大,复习过程中,要立足
于整理知识,加强练习。不足的是,学生对根据成什么比例列出相应的等式的实
际问题有所欠缺。
我的反思:
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