4.3 用乘法公式分解因式
学习目标
1．能说出平方差公式和完全平方公式的特点．
2．能较熟练地应用公式分解因式．
学习重、难点
学习重点：应用公式分解因式．
学习难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
学习过程
(一)知识链接
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
(二)探索平方差公式分解因式
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点？
(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
(3)在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式
的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这
个多项式可以运用平方差公式分解因式．
填空：
(1)4a2=( )2；(2) b2=( )2；
(3)0．16a4=( )2；(4)1．21a2b2=( )2；
(5)2 x4=( )2；(6)5 x4y2=( )2．
(三)运用平方差公式分解因式
1、分解因式
(1)4x2-9(2)(x+p)2-(x+q)
2、分解因式
(1)x4-y4(2)a3b-ab
3、计算7582-2582
注：(1)多项式分解因式的结果要化简．
(2)在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
4
9
1
4
4
9(四)在前面我们不仅学习了平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，而且还学习了完全平方公
式(a±b)2=a2±2ab+b2．
(五) 探索完全平方公式分解因式
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2．便得到用完全平方公式
分解因式的公式．
从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平
方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项式，就
是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．
左边的特点有：
(1)多项式是三项式；
(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和(差)的平方．
用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的
和(或差)的平方．形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某
些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
练一练
下列各式是不是完全平方式？
(1)a2－4a+4；
(2)x2+4x+4y2；
(3)4a2+2ab+ b2；
(4)a2－ab+b2；
(5)x2－6x－9；
(6)a2+a+0．25．
判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且
能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍．
2．例题讲解
1、把下列完全平方式分解因式：
(1)x2+14x+49；
(2)(m+n)2－6(m+n)+9．
4
1先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b
可以是单项式，也可以是多项式．
解：(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2
(2)(m+n)2－6(m+n)+9=(m+n)2－2·(m+n)×3+32=［(m+n)－3］2=(m+n－3)2．
2、把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2；
(2)－x2－4y2+4xy．
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”
号，然后再用完全平方公式分解因式．
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2．
(2)－x2－4y2+4xy
=－(x2－4xy+4y2)
=－［x2－2·x·2y+(2y)2］
=－(x－2y)2．
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做
运用公式法.
（六）课堂小结
要掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式，有时候某些单项式化为平方形式，再用
平方差公式分解因式
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