第二十六章 反比例函数
1.结合具体情景体会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的概念.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.会用描点法画反比例函数图象.
4.掌握反比例函数的图象和性质,并能运用相关性质解决有关问题.
5.理解反比例函数中比例系数 k 的几何意义.
6.能根据实际问题确定变量之间是反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反
比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法
去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形
成过程,体会由特殊到一般的数学方法.
3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问
题的能力,培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,
提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、
转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系,获得用数学方法
解决实际问题的经验,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.
函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会
和掌握的三种函数基本形式之一.本节课的内容,是在学生已经学习了函数及其图象的初步
知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性质、简单应用,是在学生已经初步掌握
研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函数,作为重
要的数学模型,在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥了重要作用.通过学
习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.
本章内容从实际问题情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点
内容是对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,通过画特殊的反比例函数的图象,归纳出
一般反比例函数的图象特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分
析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安排,力图加强反比例函数与实际问题的联
系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内
容,函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上直观观察函数的变化规律,整体把握函
数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共
同研究函数的性质.
本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用,难点是反比例函数图象的生成过程,
以及函数图象的间断及渐近性特点.根据学生特点,以前面学过的函数为基础,用类比的方
法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.
【重点】
1.通过对实际问题情景的分析,确定反比例函数的解析式. 2.会用描点法画反比例函数图象,并能从图象中认识反比例函数的性质.
3.能用反比例函数性质解决简单的实际问题.
【难点】
1.能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题.
2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.
初中阶段从量变的角度研究函数,把函数定义为当一个量变化时,另一个量随这个量的变
化而变化.根据学生的知识基础,一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础,另一
方面要进一步深化对函数内涵的理解和掌握.
反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数,因此,教学中要处理好新旧知识的联系,通
过复习相关内容,类比前边所学函数的内容结构和思路,为全章的学习做好铺垫,尽量减少
学生接受新知识的困难.
在教学中,要重视反比例函数与已学函数,特别是与正比例函数的对比,教学时应引导
从以下方面对比思考:函数解析式与函数图象的异同、常数 k 对函数图象的分布、增减性、
变化趋势等性质的影响、自变量 x 的取值范围的异同.同时要重视反比例函数与一次函数、
二次函数的联系、差异和综合运用.
渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思
想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注
重数学思想的培养.
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数(1 课时)
26.1.2 反比例函数的图象和性质(2 课
时)
3 课时
26.2 实际问题与反比例函数 2 课时
单元概括整合 1 课时26.1 反比例函数
1.了解反比例函数的概念,能从实际问题中抽象出反比例关系.
2.会画反比例函数图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质.
3.初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式.
4.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题.
1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法
去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.经历观察、分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进一步体会数学建
模思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,
提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学
的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.体会数学与现实生活的紧密联系,增强学生应用数学解决实际问题的意识. 【重点】
1.理解反比例函数的概念.
2.画反比例函数图象,理解反比例函数的性质.
3.利用反比例函数的性质解决有关问题.
【难点】
1.理解反比例函数的意义.
2.通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质.
3.灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.
26.1.1 反比例函数
1.理解并掌握反比例函数的概念.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.
1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过
程.
2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究
能力及交流总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想. 1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴
趣.
2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,
提高学生应用数学的意识.
【重点】
1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
【难点】
经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.
导入一:
【课件 1】 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速
度有快有慢.
(1)如果速度 v 一定,那么路程 s 与时间 t 是什么关系?
(s=vt,是正比例函数)
(2)如果时间 t 一定,那么路程 s 与速度 v 又是什么关系呢?
(s=vt,是正比例函数)
(3)如果路程 s 一定,那么速度 v 和时间 t 又是什么关系呢?
(v =
s
t,是函数关系)
【思考】 以上关系是函数吗?这个函数是不是我们前边学过的函数? 【导入语】 问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过
的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.
[设计意图] 通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤
起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.
导入二:
【课件 2】 我们知道,导体中的电流 I 与导体的电阻 R、导体两端的电压 U 之间满足关
系式 U=IR,当 U=220 V 时:
(1)你能用含有 R 的代数式表示 I 吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
当 R 越来越大时,I 怎样变化?当 R 越来越小呢?
(3)变量 I 是 R 的函数吗?为什么?
[设计意图] 从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当
中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.
同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.
导入三:
【复习提问】
(1)什么是函数?什么是一次函数、二次函数?
(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?
【课件 3】 出示以往研究函数的基本思路:
【师生活动】 学生思考回答,教师点拨. [设计意图] 通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地
构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章
的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.
[过渡语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数、二次函数时,在理
解定义的基础上,研究它们的图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究
一种新的函数——反比例函数.
思路一
1.感知反比例函数
【出示课件 4】
(1)京沪线铁路全程为 1463 km,某次列车的平均速度 v(单位:km/h)随此次列车的全程运
行时间 t(单位:h)的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪,草坪的长 y(单位:m)随宽 x(单
位:m)的变化而变化；
(3)已知北京市的总面积为 1.68×104 km2,人均占有面积 S(单位:km2/人)随全市总人口
n(单位:人)的变化而变化.
教师引导学生针对上面三个事例思考:
(1)每个事例中的两个变量是什么?
(2)当一个量变化时,另一个量怎样变化?
(3)有几个值与变化的量相对应?这种变化说明变量之间是什么关系?
(4)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?
(5)所列出的函数关系式有什么特点?
[设计意图] 通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并
且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识
准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的. 【学生活动】 独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,
并列出具体的函数解析式.
【参考答案】 (1)v=1463
t (2)y=1000
x (3)S=1.68 × 104
n .
2.反比例函数的概念
[过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式,既不是一次函数,也不是二次函数,接下来
让我们一起研究这类函数的特征吧.
观察前面的三个函数关系式,思考:
(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗?
(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同?你能说出它们的共同特征吗?
(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
(4)你能给这类函数下一个定义吗?
【师生活动】 学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.
教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比；给出的三个函数
关系式等号右面是整式还是分式；三个函数关系式中的 k 值有什么特点.
【总结(出示课件 5)】
一般地,形如 y=k
x(k 为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中 x 是自变量,y 是函数.自
变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
思考:(1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?
(2)在反比例函数 y=k
x中,k,x,y 可以取任意实数吗?
(3)反比例函数 y=k
x中,自变量 x 的指数是 1 吗?为什么?
(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同
归纳反比例函数的概念的有关特点:
反比例函数 y=k
x，等号右边是分式形式. 反比例函数中,比例系数 k≠0,自变量 x≠0,函数值 y≠0.
反比例函数的三种表示形式:y=k
x,xy=k,y=kx-1.
[设计意图] 通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的
本质特征,归纳出反比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的
目的,同时培养学生的归纳总结能力.
思路二
1.认识新的函数——反比例函数
【出示课件 6】 下列五个事例:
(1)某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪,草坪的长 y(单位:m)与宽 x(单
位:m)有何关系?
(2)物理学中电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U=IR.当 U=220 V 时,R 与 I 有何关
系?当 R=10 Ω时,I 与 U 有何关系?
(3)京沪线铁路全程为 1463 km,某次列车的平均速度 v(单位:km/h)与此次列车的全程运
行时间 t(单位:h)有何关系?
(4)用 10 m 长的篱笆围成矩形的小花园.
①如果花园的长为 y m,宽为 x m,那么 y 与 x 有何关系?
②如果花园的长为 x m,面积为 y m2,那么 y 与 x 又有何关系?
(5)已知北京市的总面积为 1.68×104 km2,人均占有面积 S(单位:km2/人)与全市总人口
n(单位:人)有何关系?
教师引导学生针对上面五个事例思考:
(1)每个事例中的两个变量是什么?
(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?这种变化说明变量之间是什么关系?
(3)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?
(4)所列出的函数关系式有什么特点?
[设计意图] 问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,
这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学生的认识冲突,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函
数做好准备.
【总结】 经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的
函数解析式.
(1)y=1000
x . (2)R=220
I ;I= U
10. (3)v=1463
t . (4)y=5-x；y=5x-x2. (5)S=1.68 × 104
n .
2.反比例函数的概念
[过渡语] 刚才同学们列出了相关的 7 个函数关系式,接下来我们开始研究这些函数
解析式的特征吧.
(1)反比例函数的一般形式
【出示课件 7】 思考下列问题:
【问题 1】 哪些是正比例函数、一次函数、二次函数?
【问题 2】 哪些函数与问题 1 中的函数不同?能给这类函数下定义吗?
【问题 3】 你能尝试写出类似问题 1 中这种函数的一般形式吗?
【问题 4】 上述函数中的常数 k 分别是多少?
【问题提示】 上述情景中给出七个函数,其中第一、二、三、四个及第七个函数不是
以往学习过的函数.通常情况下,我们用 y 表示函数,用 k 表示常量,用 x 表示自变量.这几
个特殊的函数学生可以初步总结为 y=k
x.
(2)理解反比例函数的概念
【问题 1】 反比例函数的一般式 y=k
x的等号右边是什么式子?
(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)
【问题 2】 反比例函数 y=k
x的比例系数 k、自变量 x 取值有什么要求?
(提示:都是不能为 0 的实数)
【问题 3】 反比例函数的解析式还可以写成其他形式吗?
(提示:两个变量的乘积为定值；自变量 x 的指数为-1) [设计意图] 通过前面的三个问题,观察学生是否能理解反比例函数的意义,是否能用数
学语言表达反比例函数的解析式,是否理解自变量的取值范围(实际问题中自变量取值有所
不同),是否掌握判断反比例函数的标准和方法. 通过学生的观察、思考、合作、交流,反
比例函数的概念及模型的建立也就会水到渠成.
3.例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.
下列函数:(1)y=5
x；(2)y=0.4
x ；(3)y= 3
x；(4)y= 1
2x；(5)xy=2；(6)y= 5
x + 2.其中是
反比例函数的
是 (填序号),它们的比例系数分别是 .
〔解析〕 根据反比例函数的概念进行判断,易得(1)(2)(4)(5)是反比例函数,其中 k 分
别为 5,0.4,1
2,2.
〔答案〕 (1)(2)(4)(5) 5,0.4,1
2,2
若 y=(a-2)x|a|-3 是反比例函数,则 a 的值为 .
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易
错点.
〔解析〕 根据反比例函数的概念可得,反比例函数满足两个条件:(1)常数 k≠0；(2)
自变量 x 的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且 a-2≠0,解得 a=-2.故填-2.
[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是
忽略考虑 k≠0 这一易错点.
已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x=2 时,y=6.
(1)写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2)当 x=4 时,求 y 的值.
【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,
学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤. 〔解析〕 类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,
将一对 x,y 的值代入,求出待定系数 k.
解:(1)设所求函数解析式为 y=k
x.
因为当 x=2 时,y=6,所以有 6=k
2，解得 k=12.
因此所求函数解析式为 y=12
x .
(2)把 x=4 代入 y=12
x ,得 y=12
4 =3.
[设计意图] 通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数的解析式,并让学生体
会反比例函数解析式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学
生体会建模思想在数学中的应用,提高学生的归纳能力.
[知识拓展] (1)反比例函数 y=k
x(k≠0)，等号右边分式的分母不能是多项式,只能是 x
的一次单项式,如 y=1
x,y= 3
2x等都是反比例函数,但 y= 2
x + 1中,y 就不是 x 的反比例函数.
(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为 0 的常数,因此可以写成
xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.
1.反比例函数的定义:形如 y=k
x(k 为常数,且 k≠0)的函数叫做反比例函数.
2.反比例函数满足的条件:
(1)函数右边是分式形式；
(2)自变量的指数是-1；
(3)比例系数不为 0.
3.反比例函数的三种表示形式:y=k
x(k≠0);xy=k(k≠0);y=kx-1(k≠0).
4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.
1.下列函数,是反比例函数的是 ( ) A.y=2x+1 B.y=0.75x
C.y= 1
x - 1 D.xy=1
解析:A 中函数是一次函数；B 中函数是正比例函数；C 中函数右边分母不是 x 的单项式,
所以 A,B,C 都不是反比例函数,只有 D 符合反比例函数的定义.故选 D.
2.反比例函数 y=(m+1)x-1 中 m 的取值范围是 ( )
A.m≠1 B.m≠-1
C.m≠±1 D.全体实数
解析:在反比例函数 y=kx-1 中,比例系数 k≠0,所以 m+1≠0,所以 m≠-1.故选 B.
3.若函数 y=x2m-1 为反比例函数,则 m 的值是 .
解析:根据反比例函数的定义可得 2m-1=-1,解得 m=0.故填 0.
4.某蓄水池的排水管每小时排水 8 m3,6 h 可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积为 ；
(2)若每小时排水用 Q(m3)表示,则排水时间 t(h)与 Q(m3)的函数解析式为 .
解析:由题意可得等量关系为:单位时间内的排水量×排水时间=总排水量,所以蓄水池的
容积为 8×6=48(m3),故 Qt=48,即 t=48
Q .
答案:(1)48 m3 (2)t=48
Q
5.已知 y 与 3x 成反比例,且当 x=1 时,y=2
3.
(1)写出 y 与 x 的函数解析式；
(2)当 x=1
3时,求 y 的值；
(3)当 y=1
2时,求 x 的值.
解:(1)设 y 与 x 的函数解析式为 y= k
3x.
把 x=1,y=2
3代入,得2
3=k
3,所以 k=2,
所以 y 与 x 的函数解析式为 y= 2
3x. (2)当 x=1
3时,y=2.
(3) 当 y=1
2时,1
2= 2
3x,解得 x=4
3.
26.1.1 反比例函数
思路一
1.感知反比例函数
2.反比例函数的概念
思路二
1.认识新的函数——反比例函
数
2.反比例函数的概念
3.例题讲解
例 1
例 2
例 3
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列函数,不是反比例函数的是 ( )
A.y=- 3
x B.y= -3
2x
C.y= 1
x - 1 D.3xy=2
2.下列反比例函数,当 x=2 时,y 的值为-3 的是 ( )A.y=6
x B.y=-6
x
C.y=- 3
2x D.y=- 2
3x
3.若 y=(a+1)xa2-2是反比例函数,则 a 的值为 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.任意实数
4.若一个矩形的面积为 10,则这个矩形的长与宽之间的函数关系是 ( )
A.正比例函数关系 B.反比例函数关系
C.一次函数关系 D.不能确定
5.下列函数:①y=2x-1；②y=-5
x；③y=x2+8x-2；④y= 2
x3；⑤y= 1
2x；⑥y=a
x.其中 y 是 x 的反比
例函数的有 (填序号).
6.若反比例函数 y=k
x,当 x=-1 时,y=2,则 k 的值是 .
7.已知 y 是 x 的反比例函数,且当 x=3 时,y=8,那么当 x=4 时,y= .
8.若梯形的下底长为 x,上底长为下底长的1
3,高为 y,面积为 60,则 y 与 x 的函数解析式是
(不考虑 x 的取值范围).
9.分别写出下列函数的解析式,指出是哪种函数,并确定其自变量的取值范围.
(1)在路程为 60 km 的运动中,速度 v(单位:km/h)关于运动时间 t(单位:h)的函数关系式.
(2)某校要在校园中开辟出一块面积为 84 m2 的矩形土地做花圃,这个花圃的长 y(单位:m)
关于宽 x(单位:m)的函数关系式.
(3)市政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石总量为 106 米 3,某运输公司承办了
该项工程运送土石的任务,运输公司的平均工作量 V(单位:米 3/天)与完成运送任务所需要
的时间 t(单位:天)之间的函数关系式.
10.已知 y 与 x 的反比例函数的解析式为 y=3
x.
(1)请完成下表:
x -3 -1 1 3
y(2)求当 x=-10 时函数 y 的值.
(3)求当 y=6 时自变量 x 的值.
【能力提升】
11.将 x=2
3代入反比例函数 y=-1
x中,所得函数值记为 y1,又将 x=y1+1 代入原反比例函数中,所
得函数值记为 y2,再将 x=y2+1 代入原反比例函数中,所得函数值记为 y3,…,如此继续下去,
则 y2018= .
12.已知一个长方体的体积是 100 cm3,它的长是 y cm,宽是 5 cm,高是 xcm.
(1)写出用高表示长的解析式；(不用写出自变量的取值范围)
(2)当 x=3 时,求 y 的值.
【拓展探究】
13.已知 y=y1+y2,y1 与 x2 成正比例关系,y2 与 x 成反比例,且当 x=1 时,y=3；当 x=-1
时,y=1.求当 x=1
2时 y 的值.
【答案与解析】
1.C 解析:A,B,D 符合反比例函数的定义,C 函数中的分母不是关于 x 的单项式,所以不是反
比例函数.故选 C.
2.B 解析:把 x=2 分别代入各选项求出 y 的值,只有 B 中 y 的值为-3.故选 B.
3.A 解析:根据反比例函数的定义,得 a2-2=-1,且 a+1≠0,解得 a2=1,a≠-1,∴a=1.故选 A.
4.B 解析:题目中的等量关系为长×宽=矩形面积,所以长×宽=10,即长等于 10 除以宽,所
以长与宽是反比例函数关系.故选 B.
5.②⑤解析:①是一次函数,不是反比例函数；③y=x2+8x-2 是二次函数,不是反比例函数；
④的分母中 x 的指数是 3,不是反比例函数；⑥y=a
x,a≠0 时,是反比例函数,没有此条件则
不一定是反比例函数.只有②⑤符合反比例函数的定义.故填②⑤.
6.-2 解析:把 x=-1,y=2 代入可得 k=(-1)×2=-2.故填-2.)
7.6 解析:设 y=k
x,把 x=3,y=8 代入,得 k=24,所以 y 与 x 之间的函数解析式为 y=24
x ,把 x=4 代
入得 y=6.故填 6.8.y=90
x 解析:根据梯形的面积公式可得1
2(x + 1
3x)y=60,化简得 y=90
x .故填 y=90
x .
9.解:(1)v=60
t ,是反比例函数,t>0. (2)y=84
x ,是反比例函数,x>0. (3)V=106
t ,是反比例函
数,t>0.
10.解:(1)-1 -3 3 1 (2)当 x=-10 时,y=- 3
10. (3)当 y=6 时,6=3
x,解得 x=1
2.
11.2 解析:把 x=2
3代入得 y1=-3
2,则 x2=-3
2+1=-1
2,所以 y2=2,则 x3=2+1=3,所以 y3=-1
3,则 x4=-1
3
+1=2
3,所以 y4=
-3
2,….观察 y1=y4 ,所以三组一循环,2018 除以 3 余 2,所以 y2018=y2= 2.
12.解:(1)y=20
x . (2)当 x=3 时,y=20
3 .
13.解:设 y1=k1x2,y2=k2
x ,则 y=y1+y2=k1x2+k2
x .把 x=1,y=3；x=-1,y=1 分别代入得
{k1 + k2 = 3,
k1 - k2 = 1.解得{k1 = 2,
k2 = 1.所以 y=2x2+1
x.当 x=1
2时,y=2×(1
2)2
+2=5
2.
本课时精心设计了课程导入环节,顺利地把学生带入课时学习的情景之中,为学好本课时
的内容做了很好的铺垫.
在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函
数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸.
依托教材的素材对教材进行了开发,依据教材的情景,设计了对学生具有启发性和引导性
的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.
在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好
地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问
题组的时候,让学生自我学习和交流做得不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处理环节上,第一个例题可以让学生通过交流
合作去完成.
因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识,教师应该在课前让学生进行有针对性
的复习.降低补充的两个例题的综合程度,把处理的重点放在巩固基础知识上,而不是强调
对知识的综合练习.在明确了反比例函数的定义之后,建议学生利用函数解析式把不同的函
数特点进行对比,这样更有利于学生对知识的掌握.
反比例函数与正比例函数的异同.
函数名称 正比例函数 反比例函数
一般形式 y=kx(k≠0) y=k
x(k≠0)
自变量 x 的取
值范围
任意实数 x≠0
函数 y 的取值
范围
任意实数 y≠0
自变量 x 的次
数
1 -1
函数 y 与自变
量 x 的数量关
系
商为定值 k(k
≠0)
积为定值 k(k≠
0)
(1)本节课要学习的内容是反比例函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受
反比例函数的特征和意义,从而形成反比例函数的初步认识,本节课的重点是在实际问题中
建立数学模型及用待定系数法求函数解析式.教师引导学生分析实际问题,并用解析式表示
实际问题中的等量关系,从而引出反比例函数的概念,让学生获得用反比例函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,同时
学生通过主动探究,获取了知识,丰富了数学活动的经验,逐步达到学会学习.
(2)对于九年级的学生来说,之前已经学习过一次函数和正比例函数、二次函数,对于函
数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,可以在此基础上用类比的方法
继续深入学习反比例函数,所以在学习本节课内容时,要重视新旧知识之间的联系,如适时
复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数及二次函数等有关概念,为学习反比
例函数的概念做好铺垫.
已知关于 x 的函数 y=(5m-3)x2-n+(m+n).
(1)当 m,n 为何值时,该函数为一次函数?
(2)当 m,n 为何值时,该函数为正比例函数?
(3)当 m,n 为何值时,该函数为反比例函数?
解:(1)由题意可得{2 - n = 1,
5m - 3 ≠ 0,
解得 n=1,m≠3
5,
所以当 n=1,m≠3
5时该函数为一次函数.
(2)由题意可得{2 - n = 1,
m + n = 0,
5m - 3 ≠ 0,
解得 n=1,m=-1.
所以当 n=1,m=-1 时该函数为正比例函数.
(3)由题意可得{2 - n = -1,
5m - 3 ≠ 0,
m + n = 0,
解得 n=3,m=-3,m≠3
5,
所以当 n=3,m=-3 时该函数为反比例函数.26.1.2 反比例函数的图象和性质
1.能用描点法画出反比例函数 y=k
x的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数 y=k
x的性质,并能灵活运用解决函数问题.
3.理解反比例函数中比例系数 k(k≠0)的几何意义.
4.初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系.
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动
手能力.
1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动
中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中,进一步理解变量和常量间的辨证关系,培养严谨的科学态度,感受
数学美,并发现学习的乐趣.
【重点】
用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质.
【难点】
探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数的几何意义.第 课时
1.能用描点法画出反比例函数 y=k
x的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数 y=k
x的性质.
3.能运用反比例函数的性质解决有关问题.
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动
手能力.
1.经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动,获得研究问题和合作交流的方法与经验,
体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中,体验与领悟数学发现的成功感,感受数学美,发现学习的乐趣.
【重点】
用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质.
【难点】
探究反比例函数的图象特点和性质的过程.导入一:
【课件 1 展示】
校园内有一块矩形草坪的面积为 200 m2,它的长 y(单位:m)与宽 x(单位:m)之间满足的函
数关系是什么?当它的长 y(单位:m)增加时,它的宽 x(单位:m)将怎样变化?
【师生活动】 学生思考回答,并观察该反比例函数中 y 随 x 的增大而减小,教师引出课
题.
[设计意图] 由生活实际情景导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴
趣,同时通过观察,思考问题中长 y 与宽 x 之间的关系,很自然地由实际问题抽象出本课时
学习重点之一的反比例函数图象的增减性.
导入二:
【复习提问】
(1)以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的?
(先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)
(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么?
(直线、抛物线)
(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么.
(一次函数增减性、图象所经过象限；二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)
(4)画函数图象的基本步骤是什么?
(列表、描点、连线)
【导入语】 我们可以类比研究一次函数、二次函数的性质的方法来研究反比例函数的
性质,如果可以,应先研究什么? [设计意图] 通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函
数图象来研究一次函数、二次函数的性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知
识,降低本节课的学习难度.
[过渡语] 这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.
一、描点法画反比例函数图象
画函数 y=6
x与 y=12
x 的图象.
思路一
教师引导,师生共同完成,同时展示画图象的过程.
(1)自变量 x 的取值范围是什么?函数值 y 的取值范围是什么?
(2)画函数图象时取哪些 x 的值列表,使函数图象完整、准确?
(师生共同完成列表)
(3)在平面直角坐标系中描点.
(4)如何用平滑的曲线连接各点?
(5)从左到右连线时,图象与 x 轴、y 轴有没有交点?为什么?
教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量、函数值的取值范围可得函数
图象与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同,坐
标轴把图象分成两部分.
[设计意图] 通过师生合作,经历用描点法画函数图象的过程,培养学生动手操作能力,
理解描点法画函数图象的本质,经历知识的形成,进一步体会数形结合思想,通过课件展示
画图的过程,直观形象,学生既感兴趣又记忆深刻.
思路二
【任务】 同桌合作,每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象. 【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线,画图后,小组合作交流,发现组内成员
的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整
画图过程后展示典型画图错误.
【课件 2 展示】
(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对应值表:
(教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
y=6
x … -1-1.5-2 -3 -6 6 3 2
1.
5
1 …
y=12
x … -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 …
(2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆)
(3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量 x 不等于 0,所以画
函数图象时,不能将左右两个图象连接起来)
[设计意图] 通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描
点法的方法画图象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合
作交流,培养学生合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程,加深了学生对画函数图象
的理解和认识.
二、反比例函数 y=k
x(k>0)的性质
[过渡语] 通过函数图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象
有哪些性质吧!
思路一
如图，观察函数图象,学生在教师的引导下思考回答: (1)你能描述反比例函数图象的形状吗?
(教师给出双曲线的定义)
(2)反比例函数图象无限延伸后与 x 轴、y 轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系?
(因为自变量 x、函数值 y 不能等于 0,所以函数图象与 x 轴、y 轴没有交点)
(3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点 O 对称吗?
(在第一、第三象限,关于原点 O 对称)
(4)观察函数图象,当 x0 时呢?你能根据函数解析
式说明理由吗?
(当 x0 时,随着 x 的增大,y 也减小)
(5)对于反比例函数 y=m
x(m>0),以上结论还成立吗?
(对于一般函数y =
m
x(m > 0),结论都成立)
【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和
图象两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流.
[设计意图] 将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向和目的,
降低学习新知识的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法.
【共同总结(课件 3 展示)】
(1)反比例函数 y=k
x(k>0)的图象是双曲线；
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
(3)在每个象限内,y 随着 x 的增大而减小；
(4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；
(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称. 思路二
类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、所画
函数图象,你能得到哪些结论?看看哪个小组得到的正确结论最多.
【师生活动】 学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师
在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、
增减性、对称性等多个角度观察思考,学生展示后,教师点评,师生共同归纳函数的性质.
【共同总结】 (板书)
(1)反比例函数 y=k
x(k>0)的图象是双曲线；
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
(3)在每个象限内,y 随着 x 的增大而减小；
(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；
(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.
[设计意图] 通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了
学生合作精神,同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让
学生体会数学中重要的学习方法——类比法,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最
常用的思想方法之一.
三、反比例函数 y=k
x(ky3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
〔解析〕 (1)已知三点的横、纵坐标分别是什么?(2)函数值 y1,y2,y3 与已知点的横坐
标有什么关系?(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值,
怎样求出对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求
出 y1,y2,y3 的值吗?三者的大小关系是什么?(把 x1=-2,x2=-1,x3=1 分别代入函数解析式求
出 y1,y2,y3)(5)反比例函数 y=1
x的图象及增减性是怎样的?(反比例函数的图象在第一、三
象限,在每个象限内 y 随 x 的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断 y1,y2,y3 的大小关
系吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于 0,且 y 随 x 的增大而减小；第一象限图象上的
点的纵坐标大于 0)
【师生活动】 学生独立思考,并回答问题,教师及时点评,然后归纳两种比较函数值大
小的方法.
解法 1:把三个点的横坐标分别代入 y=1
x,得 y1=-1
2,y2=-1,y3=1,∴y3>y1>y2.故选 C.
解法 2:可以看出点(-2,y1),(-1,y2)在同一象限,∵k=1>0,∴在每个象限内,y 随 x 的增
大而减小.∵-2<
-1y1>y2.故选 C. [设计意图] 通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,体会运用数
形结合思想解决函数问题的方法和技巧,提高学生分析问题、解决问题的能力.例 2 中用不
同思路解决问题,培养学生多角度思考问题的能力.
[知识拓展] (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.
(2)当 k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当 k0 时,在每一个象限内,y 随
着 x 的增大而减小,但不能笼统地说:当 k>0 时,y 随着 x 的增大而减小.同样,当 k0 时,y 随 x 的增大而增大
D.x0,解得 m>5.
(2)∵m-5>0,∴在这个函数图象的任一支上,y 都随 x 的增大而减小,
∴当 x1>x2 时,y10)的图象上,AB⊥x 轴于 B,AC⊥y 轴于 C,你能求出矩形
OBAC 的面积吗?
教师引导并提出下列问题.
(1)如何求图中矩形的面积?
(2)矩形的两个邻边长与点 A 的坐标之间有什么关系?
(3)点 A 在反比例函数图象上,它的横、纵坐标与比例系数 3 之间是否有等量关系?
(4)你能求出矩形 OBAC 的面积吗?
(5)求出的矩形面积与比例系数 3 之间有什么关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,教师帮助学习有困难的学生,并对学生的展
示作出评价.
【拓展思考】 (1)若点 A 在反比例函数 y=3
x(x0)的图象上,横坐标为 1,过点 B 分别向 x 轴、y 轴作垂
线,垂足分别为 A,C,则矩形 OABC 的面积为 ( ) A.1 B.2C.3 D.4
2.如图,正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2=k2
x 的图象相交于点 E(-1,2),若 y1>y2>0,
则 x 的取值
范围在数轴上表示正确的是( )
3.已知反比例函数 y=1 - 2k
x ,若它的图象在每个象限内,y 随自变量 x 的增大而减小,则
实数 k 的取值范围是 ,若图象经过点(-2,3),则 k= .
4.如图,直线 y=kx 与双曲线 y=2
x(x>0)交于点 A(1,a),则 k= .
5.如图,函数 y1=-x+4 的图象与函数 y2=k2
x (x>0)的图象交于 A(a,1),B(1,b)两点.
(1)求函数 y2=k2
x 的表达式；
(2)观察图象,比较当 x>0 时,y1 与 y2 的大小.【答案与解析】
1.B 解析:由反比例函数 y=k
x(k≠0)中比例系数 k 的几何意义可得矩形 OABC 的面积为
|k|=2.故选 B.
2.A 解析:∵正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2=k2
x 的图象相交于点 E(-1,2),∴根据
图象可知当 y1>y2>0 时,x 的取值范围是 x
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