九年级数学下册第二十七章相似27-2相似三角形教案（新人教版）.docx

27.2　相似三角形 　1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实. 　2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握平行线判定三角形相似的方法. 　3.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证 明三角形相似. 　4.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似. 　5.理解相似三角形的性质,能用三角形相似的性质计算有关角、线段、周长、面积问题. 　6.能应用三角形相似的判定定理及性质解决数学问题. 　7.能建立数学模型运用三角形相似的有关知识解决一些实际问题. 　1.经历平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数 形结合思想. 　2.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,渗透数学中的类比思想和 转化思想. 　3.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力. 　4.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生综合运用知识解决数学 问题的能力. 　5.通过建立与三角形相似有关的数学模型解决实际问题,培养学生数学建模思想,提高学 生运用数学知识解决实际问题的能力. 　1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维. 　2.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维 能力.　3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯. 　4.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精 神. 　5.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心. 　【重点】 　1.掌握平行线分线段成比例基本事实,利用平行线判定相似三角形. 　2.能灵活运用三角形相似判定定理证明三角形相似. 　3.运用三角形相似的性质计算有关角、线段、周长、面积问题. 　4.能运用三角形相似的知识解决实际问题. 　【难点】 　1.探索三角形相似的判定定理及性质的证明. 　2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似. 　3.在实际问题中建立数学模型解决问题. 27.2.1　相似三角形的判定 　1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实. 　2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握平行线判定三角形相似的方法. 　3.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证 明三角形相似. 　4.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似. 　5.能应用三角形相似的判定定理及性质解决简单问题. 　1.经历平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数 形结合思想.　2.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思 想和转化思想. 　3.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力. 　4.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识. 　1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作、合情推理及演绎 推理能力.　　　　 　2.通过探究三角形相似的判定定理的证明,渗透数学中的类比思想方法,提高学生逻辑思 维能力. 　3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑 的学习习惯. 　4.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精 神. 　【重点】 　1.掌握平行线分线段成比例基本事实,利用平行线判定相似三角形. 　2.能灵活运用三角形相似的判定定理证明三角形相似. 　3.能运用三角形相似的判定及性质解决简单问题. 　【难点】 　1.探索三角形相似的判定定理的证明. 　2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似. 第 课时　1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实. 　2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法. 　1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数 形结合思想. 　2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解 决问题的能力. 　1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维. 　2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑 思维能力. 　3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯. 　【重点】 　1.掌握平行线分线段成比例基本事实. 　2.能利用平行线判定三角形相似. 　【难点】 　探索利用平行线判定三角形相似的方法. 　【教师准备】　多媒体课件. 　【学生准备】　准备距离相等的一组平行线(或语文横格本). 导入一: 　【课件展示】　你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们 为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时, 只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能， 如图. 　　[过渡语]　泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质, 就可以说明他的测量方法是正确的. 导入二: 　【复习提问】　 　(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质? 　(2)当相似比为 1 时,两个相似多边形有什么关系? 　【师生活动】　学生独立回答,教师点评. 　[设计意图]　通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生 进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用；通过复习相似多边 形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫. 　　[过渡语]　三角形是最简单的多边形,我们知道了相似多边形的概念,很容易得到相似 三角形的概念. 一、认识相似三角形 　思考并回答: 　(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗? 　(2)如果相似比是 1,那么这两个三角形是什么关系? 　(3)△ABC 与△A'B'C'的相似比为 k,那么△A'B'C'与△ABC 的相似比是多少? 　 (4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示. 　【师生活动】　学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言. 　(课件展示) 　(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做 两个三角形的相似比.　(2)表示:△ABC 与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”,读作“△ABC 相似于△ A'B'C'”. 　注意:对应顶点写在对应的位置上. 　(3)相似比为 1 时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例. 　(4)△ABC 与△A'B'C'的相似比为 k,那么△A'B'C'与△ABC 的相似比是1 k. 　(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 　【几何语言】　如图,△A1B1C1∽△ABC,∴∠A1=∠A,∠B1=∠B,∠C1=∠C；A1B1 AB =B1C1 BC =A1C1 AC . 　[设计意图]　通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学 生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般 到特殊,由特殊到一般之间的联系. 二、平行线分线段成比例基本事实 　思路一 　(1)在课前准备的距离相等的一组平行线 l1,l2,l3中,任意作直线 AC 和 A1C1(如图(1)),则AB BC =　　　　,A1B1 B1C1 =　　　　,即AB BC　　　 A1B1 B1C1 . 　　(2)在课前准备的距离相等的一组平行线 l1,l2,l3,l4,l5 中,任意作直线 AE 和 A1E1(如图 (2)),则AB BE=　　　　,A1B1 B1E1 =　　　　,即AB BE　　　 A1B1 B1E1 ；AD DE=　　　　,A1D1 D1E1 =　　　　,即AD DE 　　　 A1D1 D1E1 . 　(3)在图(2)中,你还能得到其他的比例式吗? 　(4)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗? 　(5)尝试用语言概括你得出的结论.　【师生活动】　学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮 助有困难的学生,对学生的展示进行点评. 　【课件展示】　两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 　如图,当直线 l1∥l2∥l3 时,则AB BC=DE EF,BC AB=EF DE,AB AC=DE DF,BC AC=EF DF等. 　思路二 　【动手操作】　任意画两条直线 l1,l2,再画三条与 l1,l2 都相交的平行线 l3,l4,l5,分别度 量 l3,l4,l5 在 l1 上截得的线段 AB,BC,AC 和在 l2 上截得的线段 DE,EF,DF 的长度. 　(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来. 　(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系? 　(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗? 　(4)你能用语言概括你得到的结论吗? 　【师生活动】　学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师 点评. 　　[过渡语]　我们每个同学虽然画的直线的位置不同,但得到的结论是相同的,所以我们 可以得到基本事实: 　【课件展示】　两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 　如图,当直线 l1∥l2∥l3 时,则AB BC=DE EF,BC AB=EF DE,AB AC=DE DF,BC AC=EF DF等. 　[设计意图]　通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从 特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.三、平行线分线段成比例转化到三角形中 　活动 1 　如图,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线 l1 或 l2 上时,你能得到哪些比例式?(教师 动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本 事实仍然成立) 　【师生活动】　学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论. 　活动 2 　(1)如图,在△ABC 中,DE∥BC,且 DE 分别交 AB,AC(或 AB,AC 的反向延长线)于点 D,E,那么 比例式AD AB=AE AC成立吗? 　(2)你能用语言叙述图中的结论吗? 　(3)用几何语言如何描述这一结论? 　【师生活动】　学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论. 　【课件展示】　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段 成比例. 　【几何语言】　如图,∵DE∥BC,∴AD AB=AE AC. 　[设计意图]　通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观 形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力. 四、利用平行线证明三角形相似　问题 　如图,在△ABC 中,DE∥BC,且 DE 分别交 AB,AC 于点 D,E,△ADE 与△ABC 相似吗?如何证明? 　教师引导回答问题: 　(1)要证明三角形相似,需要哪些条件? 　(∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,AD AB=AE AC=DE BC) 　(2)你能证明这些角对应相等吗? 　(由两直线平行,同位角相等可得) 　(3)如何证明AD AB=AE AC? 　(由平行线分线段成比例事实易得) 　(4)DE 不在 BC 边上,用什么方法将 DE 转化到 BC 边上呢? 　(过 E 作 EF∥AB,交 BC 于点 F) 　(5)你能证明BF BC=AE AC吗? 　(由平行线分线段成比例事实易得) 　(6)你能写出△ADE∽△ABC 的证明过程吗? 　(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论. 　【师生活动】　学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡 视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程. 　证明:在△ADE 和△ABC 中,∠A=∠A. 　∵DE∥BC, 　∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. 　过 E 作 EF∥AB,交 BC 于点 F. 　∵DE∥BC,EF∥AB, 　∴AD AB=AE AC,BF BC=AE AC. 　∵四边形 DBFE 是平行四边形, 　∴DE=BF.　∴DE BC=AE AC, 　∴AD AB=AE AC=DE BC. 　∴△ADE∽△ABC. 　【课件展示】　平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相 似. 　【几何语言】　如图,在△ABC 中,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC. 　【追问】　当 DE 与 BA 和 CA 的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行 线证明三角形相似的基本图形:“A”型和“X”型) 　[设计意图]　通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌 握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似 的判定方法的理解. 　[知识拓展]　(1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相 同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似 比是 1∶1 的两个相似三角形是全等三角形. 　(2)相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A″B″C″,那么△ABC∽ △A″B″C″. 　(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段 不一定平行,当“上比下”的值为 1 时,说明这些平行线间的距离相等. 　(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图,若 DE∥ BC,则△ADE∽△ABC. 　1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,△ABC∽△A'B'C'.　2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 　3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线),所得的对应线段成比例. 　4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似. 　1.如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点 A,B,C 和 D,E,F,已知AB BC=3 2,则DE DF的 值为　　(　　) 　A.3 2　　B.2 3　　C.2 5　　D.3 5 　2.如图,DE∥BC, AD DB=1 2, 则△ADE 和△ABC 的相似比为　　(　　) 　A.1∶2　　B.1∶3C.2∶1　　D.2∶3 　3.若△ABC 与△DEF 的相似比是 5∶3,则△DEF 与△ABC 的相似比是 　　　　. 　4.如图,在△ABC 中,DE∥BC,若AD AB=1 3,DE=2,则 BC 的长为　　　　. 　5.如图,若 DE∥BC,DE=3 cm,BC=5 cm,求AD DB的值. 【答案与解析】1.D　解析:由平行线分线段成比例可得AB BC=DE EF.∵AB BC=3 2,∴DE DF=3 5.故选 D. 2.B 解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE 和△ABC 的相似比为AD AB.∵AD DB=1 2,∴AD AB=1 3.故填 B. 3.3∶5　解析:根据相似比的概念,可得△ABC 与△DEF 的相似比与△DEF 与△ABC 的相似比互 为倒数,所以△DEF 与△ABC 的相似比是 3∶5.故填 3∶5. 4. 6　解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE BC=AD AB=1 3.又∵DE=2,∴ 2 BC=1 3,∴BC=6.故填 6. 5.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, 　∴AD AB=DE BC. 　∵DE=3 cm,BC=5 cm, 　∴AD AB=3 5,∴AD DB=3 8. 　第 1 课时 　1.相似三角形的概念、表示 　2.平行线分线段成比例的基本事实 　3.平行线分线段成比例在三角形中的应用 　4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型 一、教材作业 二、课后作业 【基础巩固】 1.若△ABC∽△A'B'C',∠A=40°,∠C=110°,则∠B'等于　　(　　) A.30°　　B.50°C.40°　　D.70° 2.若△ABC∽△A'B'C',且相似比为 k,则 k 的值等于　　(　　) A.∠A∶∠A'　　B.AB∶ A'C'C.AB∶A'B'　　D.BC∶A'B' 3.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 边上,DE∥BC,若AD DB=1 2,BC=9,则 DE 等于　　(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.54.如图,已知在△ABC 中,点 D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD DB=3 5,那么CF CB 的值为　　(　　) A.5 8　　B.3 8　　C.3 5　　D.2 5 5.如图,点 P 是▱ABCD 边 AB 上的一点,射线 CP 交 DA 的延长线于点 E,则图中相似的三角形有　　 (　　) A.0 对　　B.1 对 C.2 对　　D.3 对 6.已知△ABC∽△DEF,∠A=80°,∠B=20°,那么△DEF 的各角的度数分别是　　　　. 7.如图,直线 l1,l2,…,l6 是一组等距离的平行线,过直线 l1 上的点 A 作两条射线,分别与直 线 l3,l6 相交于点 B,E,C,F.若 BC=2,则 EF 的长是　　　　. 8.如图,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚 B 距墙 80 cm,梯上点 D 距墙 70 cm,BD 长 55 cm.求梯 子的长. 9.如图,已知 AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求 CO 和 DO.【能力提升】 10.如图是 A,B,C,D 四点在坐标平面上的位置,其中 O 为原点,AB∥CD.根据图中各点的坐标, 可知 D 点的坐标为　　(　　) A.(0,20 9 )　　B.(0,10 3 )C.(0,5)　　D.(0,6) 11.如图,已知 AB,CD,EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B,D,F,且 AB=1,CD=3,那么 EF 的长是　　 (　　) A.1 3　　B.2 3　　C.3 4　　D.4 5 12.如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD.求证AF AD=AD AB. 【拓展探究】 13. 如图(1),在▱ABCD 中,O 是对角线 AC 上一动点,连接 DO 并延长交直线 AB 于点 E,得到 △DOC∽△EOA. (1)当点 O 运动到何处时,△DOC 与△EOA 的相似比为 2?(如图(2)) (2)当点 O 运动到何处时,△DOC≌△EOA? (3)当点 O 运动到何处时 E 与 B 重合?此时△DOC 与△EOA 的相似比是多少?此时 O 点继续向 C 点运动,DO 的延长线与 BC 交于 F,且有△DFC∽△EFB,当 F 是 BC 的中点时,求△DOC 与△EOA 的相似比.【答案与解析】 1.A 解析:在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∠C=110°,∴∠B=30°.又△ABC∽△ A'B'C',∴∠B'=∠B=30°.故选 A. 2.C 解析:相似比为相似三角形对应边的比,即 AB∶A'B'或 AC∶ A'C' 或 BC∶B'C'.故选 C. 3.B 解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE BC=AD AB,∵AD DB=1 2,∴AD AB=1 3,DE BC=1 3.又∵BC=9,∴DE 9 =1 3, ∴DE=3.故选 B. 4.A 解析:∵AD DB=3 5,∴BD AB=5 8.∵DE∥BC,∴CE AC=BD AB=5 8.∵EF∥AB,∴CF CB=CE AC=5 8.故选 A. 5.D 解析:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△APE∽△BPC,△APE∽ △DCE,∴△BPC∽△DCE.故选 D. 6. 80°,20°,80°解析:根据三角形的内角和,可得∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=80°. ∵△ABC∽△DEF,∴∠D=∠A=80°,∠E=∠B=20°,∠F=∠C=80°.故填 80°,20°,80°. 7. 5 解析:由平行线分线段定理可得AB AE=2 5.因为 BC∥EF,所以△ABC∽△AEF,所以BC EF=AB AE=2 5.因为 BC=2,所以 AE=5.故填 5. 8.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴AD AB=DE BC,∴AB - 55 AB =70 80.∴AB=440(cm). ∴梯子的长为 440 cm. 9.解:设 DO=x cm,则 CO=(159-x)cm.∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴AC∥BD.∴△AOC∽△BOD.∴AO BO=CO DO,即 78 42=159 - x x .∴x=55.65.∴CO=103.35 cm,DO=55.65 cm. 10.C 解析:∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.∴AO CO=BO DO,即12 7 ∶10 3 =18 7 ∶DO,∴DO=5,∴D 点的坐标为 (0,5).故选 C. 11.C 解析:∵AB,CD,EF 都与 BD 垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD, ∴EF AB=DF DB,EF CD=BF BD,∴EF AB+EF CD=DF BD+BF DB=1.∵AB=1,CD=3,∴EF 1 +EF 3 =1,∴EF=3 4.故选 C. 12. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴AD AB=AE AC.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD.∴AF AD=AE AC, ∴AF AD=AD AB.13. 解:(1)∵△DOC 与△EOA 的相似比为 2,则CO AO=2,∴当点 O 运动到CO AO=2 处时,△DOC 与△EOA 的相似比为 2.　 (2) 当点 O 运动到 AC 的中点时,AO=CO,∵AB∥CD,∴∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO,∴△DOC≌ △EOA,∴当 O 点运动到 AC 的中点处时,△DOC 与△EOA 全等.　 (3)∵当 E 与 B 重合时,△DOC 与△EOA 全等,∴AO=CO,∴当点 O 运动到 AC 的中点时,E 与 B 重 合,此时△DOC 与△EOA 的相似比是 1.当点 F 是 BC 的中点时,则 BF=CF.∵AB∥CD,∴∠CDF=∠ BEF,∠DCF=∠EBF,∴△DFC≌△EFB,∴DC=BE,∴AB=DC=BE,∴DC AE=1 2,∴△DOC 与△EOA 的相似比 为DC AE=1 2. 　本节课是三角形的判定的第 1 课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相 似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主，探究平行线分线段成 比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课 堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思维中经历知识的形成过程,然后通过动画展示, 学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线 证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的 学习精神. 　本节课在探究平行线分线段成比例基本事实后,将这一基本事实转化到三角形中应用,得 到三角形中的两个推论,课容量较大,在前面概念及基本事实的探究活动中耽误时间长,后面 的探究活动教师设计的小问题较多,造成完不成课时任务,后面的处理过于仓促,有头重脚轻 的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重时间的安排,突出课时重点. 　本节课的重点是在探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,将这一结论转化到三 角形中,然后得到平行线判定三角形相似的基本方法,在教学设计中要突出重点,通过动手操 作、共同探究等数学活动,共同归纳出这一基本事实,通过直观形象的动画演示,自然地转化 到三角形中,应用基本事实证明线段成比例,再通过师生共同探究,完成平行线证明三角形相似的定理的证明,注重学生课堂学习的参与度,给学生较大活动空间,达到提高学生学习能力 的目的. 　(1)本节课是在相似多边形的基础上开始系统研究相似三角形.平行线判定三角形相似是 其他判定方法的基础,本节课的知识结构看似分散,但又环环相扣,具有承上启下的作用.在 探究平行线分线段成比例这一基本事实时,让学生动手操作、观察、归纳、总结出结论,然后 将这一结论转化到三角形中,得到平行于三角形的一边,与其他两边或两边的延长线相交,截 得的对应线段成比例,然后根据这一结论证明截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例,从而得到平行线判定三角形相似的基本方法,层层深入的问题探索,知识得到升华,在 教学设计中,问题的设置在知识的生成处,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归 纳等数学活动,探索出本节课的结论,培养学生分析问题、解决问题的能力. 　(2)本节课的重点是平行线分线段成比例这一基本事实判定三角形相似,难点是平行线证 明三角形相似,在教学设计中突出学生的主体作用,在教师问题的引导下,学生小组合作交流, 归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数 学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从 而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,使知识得到升华. 第 课时 　1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.　2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似. 　1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特 殊与一般的辩证思想. 　2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力. 　3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识. 　1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维 能力. 　2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同 时体验成功带来的快乐. 　3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯. 　【重点】 　能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似. 　【难点】 　三角形相似判定定理的证明过程. 导入一: 　【复习提问】 　(1)证明三角形相似的方法是什么? 　(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似) 　(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法? 　(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形；SSS,SAS,ASA,AAS,HL) 　(3)全等三角形与相似三角形有什么关系? 导入二: 　【课件展示】　欣赏图片.　【导入语】　图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比 例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似. 　[设计意图]　通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法 做好铺垫；展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的 学习兴趣. 　　[过渡语]　对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知 道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢? 一、三边法证明三角形相似 　思路一 　类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形. 　【动手操作】　 　(1)同桌分别画边长为 2 cm,3 cm,4 cm 的三角形和边长为 4 cm,6 cm,8 cm 的三角形,然后 猜想、判断两个三角形是否相似. 　【学生活动】　通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定 义判定三角形相似. 　(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的 k 倍,那么这两个三角形是否相似? 　【学生活动】　学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似. 　(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗? 　【课件展示】　如图,已知在△ABC 和△A'B'C'中, AB A'B'= BC B'C'= AC A'C'.求证△ABC∽△A'B'C'. 　【教师引导分析】　 　(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?　(平行线证明三角形相似) 　(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似? 　(在 A'B'上截取 A'D=AB,过点 D 作 DE∥B'C',交 A'C'于点 E) 　(3)能否证明△A'DE 与△A'B'C'相似? 　(根据平行线分线段成比例基本事实可证明) 　(4)根据已知条件△ABC 与△A'DE 是否全等?(SAS) 　(5)尝试给出定理的证明过程. 　【课件展示】　 　 证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB,　过点 D 作 DE∥B'C',交 A'C'(或 A'C'的延长线)于点 E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴ A'D A'B'= DE B'C'= A'E A'C'. 　又 AB A'B'= BC B'C'= AC A'C',A'D=AB, 　∴ DE B'C'= BC B'C', A'E A'C'= AC A'C', 　∴DE=BC,A'E=AC. 　∴△A'DE≌△ABC, 　∴△ABC∽△A'B'C'. 　(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示. 　【课件展示】　判定定理 1:三边成比例的两个三角形相似. 　【几何语言】　如图,∵ AB A'B'= BC B'C'= AC A'C',∴△ABC∽△A'B'C'. 　思路二 　(1)类比 SSS 证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似. 　(2)证明你的猜想. 　如图,已知在△ABC 和△A'B'C'中, AB A'B'= BC B'C'= AC A'C'.求证△ABC∽△A'B'C'.　【教师引导】　除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相 似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中? 　【师生活动】　学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视 过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程. 　(证明过程同思路一) 　(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示. 　【课件展示】　判定定理 1:三边成比例的两个三角形相似. 　【几何语言】　如图,∵ AB A'B'= BC B'C'= AC A'C',∴△ABC∽△A'B'C'. 　[设计意图]　通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件, 体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的 数学精神. 二、两边及夹角法证明三角形相似 　　[过渡语]　类比证明三角形全等的方法,我们能用 SAS 证明三角形相似吗? 　动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想. 　(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程. 　(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论. 　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生, 规范学生的证明过程. 　【课件展示】　判定定理 2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 　如图,已知在△ABC 和△A'B'C'中, AB A'B'= AC A'C',∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.　 证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点 D 作 DE∥B'C',交 A'C'(或它 的延长线)于点 E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴ A'D A'B'= A'E A'C'. 　又∵ AB A'B'= AC A'C',A'D=AB, 　∴ A'E A'C'= AC A'C', 　∴A'E=AC. 　又∵∠A=∠A', 　∴△A'DE≌△ABC, 　∴△ABC∽△A'B'C'. 　【几何语言】　如图,∵ AB A'B'= AC A'C',∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'. 　【追加提问】　在△ABC 和△A'B'C'中, AB A'B'= AC A'C',∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗? 　【师生活动】　学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定 方法的易错点:角必须是两边的夹角. 　[设计意图]　学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判 定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维. 三、例题讲解 　 　根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. 　(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=24 cm； 　(2)∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm. 　〔解析〕　(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定, 所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似. (2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判 定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.　解:(1)∵ AB A'B'= 4 12=1 3, BC B'C'= 6 18=1 3, AC A'C'= 8 24=1 3, 　∴ AB A'B'= BC B'C'= AC A'C',∴△ABC∽△A'B'C'. 　(2)∵ AB A'B'=7 3, AC A'C'=14 6 =7 3, 　∴ AB A'B'= AC A'C'. 　又∵∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'. 　[设计意图]　通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知 识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情. 　[知识拓展]　(1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明 三角形相似. 　(2)在应用相似三角形的判定定理 1 时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边 与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似. 　(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理 2 判定两 个三角形相似. 　(4)在应用相似三角形的判定定理 2 时,一定要注意必须是两边夹角相等才行. 　(5)在应用相似三角形的判定定理 2 时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等. 　1.三边成比例的两个三角形相似. 　2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 　1.若△ABC 的各边都分别扩大为原来的 2 倍得到△A1B1C1,下列结论正确的是　　(　　) 　A.△ABC 与△A1B1C1 的对应角不相等 　B.△ABC 与△A1B1C1 不一定相似 　C.△ABC 与△A1B1C1 的相似比为1 2 　D.△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 2 　2.如图,小正方形的边长均为 1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（）　　　3.下列条件,能判定△ABC 相似于△DEF 的有　　(　　 ) 　①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠D=45°,DE=16,DF=40； 　②AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40； 　③∠A=47°,AB=15,AC=20,∠D=47°,DE=28,DF=21. 　A.0 个　　B.1 个　　C.2 个　　D.3 个 　4.如图,在△ABC 中,D,E 分别在 AB,AC 边上,且AD AB=AE AC=1 2,BC=5,则 DE=　　　　. 　5.根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. 　(1)∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A'=40°,A'B'=16,A'C'=30； 　(2)AB=10,BC=12,AC=15,A'B'=1.5,B'C'=1.8,A'C'=2.25. 【答案与解析】 1.C　解析:△ABC 的各边都分别扩大为原来的 2 倍,则两个三角形的对应边成比例,且比值为 1 2.由三边对应成比例的两个三角形相似,可得△ABC∽△A1B1C1,且相似比为1 2.故选 C. 2.B　解析:由题意得 AB=2,BC= 2,AC= 10.A 中三角形的三边长分别为 1, 5,2 2,三边不 对应成比例,A 错误；B 中三角形的三边长分别为 1, 2, 5,则有 1 2= 2 2 = 5 10,故 B 正确；C 中三角形的三边长分别为 3, 5, 2,三边不对应成比例,故 C 错误；D 中三角形的三边长分 别为 2, 5, 13,三边不对应成比例,故 D 错误.故选 B. 3.B　解析:①中AB DE=3 4,AC DF=3 8,所以AB DE≠AC DF,所以△ABC 与△DEF 不相似；②中AB DE=3 5,BC EF=3 5,AC DF=3 5,所以AB DE= BC EF=AC DF,所以△ABC∽△DEF；③中AB DE=15 28,AC DF=20 21,所以AB DE≠AC DF,所以△ABC 与△DEF 不相似.故选 B. 4.5 2　解析:∵AD AB=AE AC=1 2,∠A=∠A ,∴△ABC∽△ADE, ∴DE BC=AD AB=AE AC=1 2.∵BC=5,∴DE=5 2.故填5 2. 5.解:(1)∵AB=8,AC=15,A'B'=16,A'C'=30, 　∴ AB A'B'= AC A'C'. 　又∵∠A=∠A'=40°,∴△ABC∽△A'B'C'. 　(2)∵AB=10,BC=12,AC=15,A'B'=1.5,B'C'=1.8,A'C'=2.25, 　∴ AC A'C'= BC B'C'= AB A'B',∴△ABC∽△A'B'C'.　第 2 课时 　1.三边法证明三角形相似 　2.两边及夹角法证明三角形相似 　3.例题讲解 　例题 一、教材作业 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP 相似的是　　(　　) 2.在△ABC 中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是 5 cm,则 最长边长是　　(　　) A.18 cm　　B.21 cm　　C.24 cm　　D.19.5 cm 3.如图,与左图中的三角形相似的是　　(　　) 4.如果三角形的每条边都扩大为原来的 3 倍,那么三角形的每个角　　(　　) A.都扩大为原来的 3 倍 B.都扩大为原来的 6 倍 C.都扩大为原来的 9 倍 D.都与原来相等 5.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若 OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是　　(　　)A.①与②相似　　B.①与③相似 C.①与④相似　　D.②与④相似 6.在△ABC 和△A1B1C1 中,∠A=∠A1, AB A1B1 = AC A1C1 ,可得出△ABC　　　　△A1B1C1,理由 是　　　　　　　　. 7.△ABC 的三边长分别为 2, 2, 10,△A1B1C1 的两边长分别为 1 和 5,当△A1B1C1 的第三边 长为　　　　时,△ABC∽△A1B1C1. 8.已知线段 AB,CD 相交于点 O,AO=3,OB=6,CO=2,则当 CD=　　　　时,AC∥BD. 9.如图,已知AB AD=BC DE=AC AE,∠BAD=20°,求∠CAE 的大小. 10.如图,点 C,D 在线段 AB 上,且△PCD 是等边三角形. (1)当 AC,CD,DB 满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB 时,求∠APB 的度数. 【能力提升】 11.如图,在△ABC 中,点 P 在边 AB 上,在下列四个条件中:①AP∶AC=AC∶AB；②AC2=AP·AB； ③AB·CP=AP·CB.能满足△APC 和△ACB 相似的有　　(　　) A.1 个　　B.2 个　　C.3 个　　D.4 个 12. 如图,D 是∠ABC 平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,则 BC 的长 为　　　　cm. 13.如图,正方形ABCD的边长为 2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM 为多少时,△ADE 与△MNC 相似? 【拓展探究】 14.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点 P 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 Q 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀 速运动,运动时间为 t 秒(00), 　∴CD2=6x2,∴CD= 6x. 　∴△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD= 2x 6x= 6 3 . 5.解:∵△ABC 为等边三角形, 　∴∠ABC=∠PCD=60°, 　∴∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP. 　又∵∠APC=∠APD+∠CPD=60°+∠CPD, 　∴∠BAP=∠CPD. 　又∵∠ABP=∠PCD=60°, 　∴△ABP∽△PCD. 　∴AB CP=BP CD,即3 2= 1 CD.∴CD=2 3. 　第 3 课时 　1.两角分别相等的两个三角形相似 　2.一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似 　3.例题讲解　例 1 　例 2 一、教材作业 二、课后作业 【基础巩固】 1.已知一个三角形的两个内角分别是 40°,60°,另一个三角形的两个内角分别为 60°,80°, 则这两个三角形　　(　　) A.一定不相似　　B.不一定相似 C.一定相似　　D.全等 2.在△ABC 和△A'B'C'中,有下列条件:① AB A'B'= BC B'C'；② BC B'C'= AC A'C'；③∠A=∠A'；④∠C=∠C'.如 果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有　　(　　) A.1 组　　B.2 组　　C.3 组　　D.4 组 3.如图,点 P 在△ABC 的边 AC 上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是　　(　　) A.∠ABP=∠C　　B.∠APB=∠ABCC.AP AB=AB AC　　D.AB BP=AC CB 4.如图,在△ABC 中,AE 交 BC 于点 D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则 DE 的长等 于　　　　. 5.如图,∠ABC=∠D=90°,AC=9 cm,BC=6 cm,则当 BD=　　　　cm 时,△ABC∽△CDB. 6.如图,已知 A(3,0),B(0,6),且∠ACO=∠BAO,则点 C 的坐标为　　　　. 7.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB 于点 E.求证△ABD∽△CBE. 8.如图,AB∥FC,D 是 AB 上一点,DF 交 AC 于点 E,DE=FE,分别延长 FD 和 CB 交于点 G. (1)求证：△ADE≌△CFE. (2)若 GB=2,BC=4,BD=1,求 AB 的长. 【能力提升】 9.如图,点 P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的任意一点(A,B 两点除外),过点 P 作一条直线,使截得的 三角形与 Rt△ABC 相似,这样的直线可以作　　　　条. 10.如图,点 D 是△ABC 的边 AB 上一点,连接 CD,若 AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,则 AC 的长 为　　　　. 11.如图,A,B,C,D 依次为一直线上 4 个点,BC=2,△BCE 为等边三角形,☉O 过 A,D,E 三点,且 ∠AOD=120°.设 AB=x,CD=y,则 y 与 x 之间的函数关系式为　　　　. 12.如图,已知 AB⊥BD,ED⊥BD,C 是线段 BD 的中点,且 AC⊥CE,ED=1,BD=4,求 AB 的长度.【拓展探究】 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且 ∠AFE=∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC. (2)若 AB=4,AD=3 3,AE=3,求 AF 的长. 【答案与解析】 1.C 解析:根据三角形内角和定理,得到第一个三角形的第三个内角的度数为 180°-40°-60° =80°,然后根据相似三角形的判定定理,有两个角对应相等的两个三角形相似,得到两个三 角形相似.故选 C. 2.C 解析:取①②为一组,由三边对应成比例的两个三角形相似可得这两个三角形相似；取② ④为一组,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得这两个三角形相似；取③④为一 组,由两角对应相等的两个三角形相似可得这两个三角形相似.故选 C. 3.D 解析:因为∠A=∠A,所以添加∠ABP=∠C 或∠APB=∠ABC,由两角对应相等的两个三角形相 似可得△ABP∽△ACB,添加AP AB=AB AC.由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABP ∽△ACB.故选 D. 4.15 4 解析:∵∠ADC=∠BDE,∠C=∠E,∴△ADC∽△BDE,∴AD BD=DC DE.∵AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,∴ BD=5,DC=3.∴DE=BD·DC AD =5 × 3 4 =15 4 . 5.4 解析:∵∠ABC=∠D=90°,∴当AC BC=BC BD时,△ABC∽△CDB,即 BD=BC2 AC =36 9 =4(cm).故填 4. 6.(0,3 2)解析:∵∠AOC=∠BOA=90°,∠ACO=∠BAO,∴△ACO∽△BAO,∴OC OA=OA OB,∴OC=3 2,∴C 点的 坐标是(0,3 2).故填(0,3 2). 7.证明:在△ABC 中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B, ∴△ABD∽△CBE. 8.(1)证明:∵ AB∥FC,∴∠ADE=∠CFE.∵∠AED=∠CEF,DE=FE,∴△ADE≌△CFE(ASA).　 (2)解:∵△ADE≌△CFE,∴AD=CF.∵AB∥FC,∴△GBD∽△GCF,∴GB GC=BD CF.又∵GB=2,BC=4,BD=1, ∴CF=3=AD.∴AB=AD+BD=3+1=4.9.3 解析:分别过 P 作 AC,BC 或 AB 的垂线. 10.2 3解析:在△ABC 和△ACD 中,∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD,∴AC AD=AB AC,即 AC2=AD·AB=AD·(AD+BD)=2×6=12,∴AC=2 3.故填 2 3. 11.y=4 x解析:连接 AE,DE.∵∠AOD=120°,∴优弧 AD 所对的圆心角为 240°,∴∠AED=120°. ∵△BCE 为等边三角形,∴∠BEC=60°,∴∠AEB+∠CED=60°.又∵∠EAB+∠AEB=60°, ∴∠EAB=∠CED.∵∠ABE=∠ECD=120°,∴△ABE∽△ECD,∴AB EC=BE CD,即 x 2=2 y,∴y=4 x.故填 y=4 x. 12.解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°,∴∠A+∠ACB=90°.又∵AC⊥CE,∴∠ACB+ ∠DCE=90°,∴∠A=∠DCE,∴Rt△ABC∽Rt△CDE,∴AB CD=BC DE,而 ED=1,BD=4,C 为线段 BD 的中点, ∴BC=CD=2,∴AB=4. 13. (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADF=∠CED,∠B+ ∠C=180°.∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.　 (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,CD=AB=4.又∵AE⊥BC,∴ AE⊥AD,在 Rt△ADE 中,DE= AD2 + AE2= (3 3)2 + 32=6.∵△ADF∽△DEC,∴AD DE=AF CD,∴3 3 6 =AF 4 ,∴AF=2 3. 　以生活实例和熟悉的三角尺导入新课,让学生体会生活中处处有数学的同时,激发学生的 学习兴趣,本节课是相似三角形判定的最后一个课时,学生已经熟悉探究方法和思路,所以本 节课以学生自主学习为主,教师引导为辅完成本节课的学习,学生通过思考、小组合作交流后, 类比前面证明三角形相似的方法,完成判定定理 3 的证明,比较轻松地突破了难点,在学生展 示成果后,教师及时点拨和归纳,强化了重点.在探索直角三角形相似的判定方法中,教师及 时提醒学生用类比法完成定理的证明,学生在课堂上真正成为主人,体验知识的形成过程,提 高学习数学的能力,体验成功的快乐. 　本节课的重点是相似三角形的判定定理 3 及直角三角形相似的判定方法,教学设计中主要 突出学生自主学习,但是在探究定理的过程中,学生的表现没有预想的效果那么好,主要原因 是平时课堂教师讲的较多,课堂只是部分学生活跃,造成部分学生在自主学习中没有方向,思维不活跃,导致在课堂上学习效率较低,在以后的教学中,多给学生展示自我的机会,让他们 在数学课堂上思维活跃,提高大多数学生的学习能力. 　本节课的教学重点是相似三角形的判定定理 3 及直角三角形相似的判定,难点是定理的证 明,在教学设计中,以生活实例及对相似三角形的判定 1,2 的复习导入新课,为本节课的学习 做好铺垫,同时激发学生的学习兴趣,在探索定理的证明过程中,教师引导学生用类比的方法 探究,多给学生思考和小组交流的时间,让学生在课堂上积极思维,展示自我,体验成功的快 乐,提高分析问题、解决问题的能力,让学生真正成为学习的主人. 　(1)相似三角形是初中数学学习的重点内容,对学生的能力培养与训练有着重要的作用,而 “相似三角形的判定定理”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在,“难”的不是定理 的本身,而是要跟以前学过的“角的等量关系”联系紧密,综合性比较强,而本节课是相似三 角形判定定理的最后一课,既要学习两角判定法和直角边斜边判定法,还要对所学的相似三 角形的判定加以总结和综合运用,形成整体知识结构.在教学设计中,每个探究问题的环节, 设计成在教师提出的问题的引导下,学生积极思考,小组合作共同探究,教师引导学生操作、 类比、猜想、验证、归纳等数学活动,培养学生数学能力,提高学生分析问题、解决问题的能 力,教师的引导与学生的大胆操作有机结合,很好地突破了本节课的难点. 　(2)本课时的教学设计以学生自主探究为主线,复习前面学过的相似三角形的判定方法后, 直接探究两角对应相等的三角形相似及直角三角形相似的判定方法,通过在教师的引导下自 主探究,使学生逐渐学会反思、总结,提高学生的学习能力,在教学过程中,教师是学生学习的 组织者、引导者、合作者,鼓励学生大胆探索,引导学生关注过程,及时肯定学生的展示,鼓励 学生大胆创新,教师只在关键处点拨,与学生平等交流,促进教学相长. 27.2.2　相似三角形的性质 　1.掌握相似三角形的性质,了解相似三角形性质的证明.　2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算. 　1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会如何探索研 究问题. 　2.利用相似三角形的性质解决问题,培养学生的创新意识. 　1.在探索相似三角形性质的过程中,培养学生合作交流能力. 　2.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推 理能力. 　【重点】 　相似三角形的各条性质定理的探索及应用. 　【难点】 　相似三角形性质的归纳推理. 导入一: 　【复习提问】　 　(1)什么叫相似三角形?判定方法有哪些? 　(2)相似三角形有哪些基本特征? 　(3)除了这些基本特征外,还有什么性质呢? 导入二: 小华做小孔成像实验,如图,已知蜡烛与成像面间的距离为 l,蜡烛与成像面间的小孔纸 板放在何处时,蜡烛火焰 AB 是像 A'B'的一半长?导入三: 　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为 100 平方米、周长 为 80 米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一 边 BC 的长由原来的 30 米变为 18 米.那么被削去的部分面积有多少?你能解决这个问题吗? 　[设计意图]　通过知识的复习和问题情景的思考,帮助学生认识相似形的性质是对相似形 内容学习的深化. 　　[过渡语]　三角形中有各种各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中 线、角平分线的长度以及周长、面积等,如果两个三角形相似,那么它们的这些量之间有什么 关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论. 一、相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系 　思路一 　如图,△ABC 和△A'B'C'是两个相似三角形,其相似比为 AB A'B'= BC B'C'= CA C'A'=k,其中 AD,A'D'分别 是边 BC 和 B'C'上的高,那么 AD,A'D'之间有什么关系呢? 　(1)图中的△ABD 和△A'B'D'相似吗?如何证明? 　(2)由相似三角形的对应边成比例,你能得到 AD A'D'的值吗? 　(3)写出你的解答过程. 　(4)你能叙述你得到的结论吗?　【师生活动】　学生独立思考后,完成书写过程,小组合作交流解答过程及结论,小组代表 板书,教师及时帮助有困难的学生,并补充完成证明过程. 　【课件展示】　相似三角形对应高的比等于相似比. 　如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为 k,其中 AD,A'D'分别是 BC 和 B'C'上的高.求证: AD A'D'=k. 　证明:∵△ABC∽△A'B'C', 　∴∠B=∠B'. 　又∵△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形, 　∴△ABD∽△A'B'D', 　∴ AD A'D'= AB A'B'=k. 　【追加提问】 　(1)能去掉性质中的对应两个字吗? 　(2)你能用同样的方法证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的性质吗? 　【师生活动】　学生思考后小组合作交流,然后小组代表口述证明过程,师生共同补充完 整,然后共同归纳相似三角形的性质. 　【课件展示】　相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 　即相似三角形对应线段的比等于相似比. 　　　思路二 　【动手操作】　 　(1)测量如图的相似三角形,并得出△ABC 与△A'B'C'的相似比. 　(2)分别过点 A 作 AD⊥BC,A'D'⊥B'C',垂足为 D,D'. 　(3)测量两个三角形的高 AD 与 A'D',求出 AD A'D'的值. 　(4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系. 　(5)证明你的猜想.　【师生活动】　学生测量比较后,小组合作交流结果、猜想及证明,小组代表板书过程,教 师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点. 　【课件展示】　相似三角形对应高的比等于相似比.(证明过程同思路一) 　【追加提问】　你能用同样的方法证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的性质吗? 　【师生活动】　学生思考后小组合作交流,然后小组代表口述证明过程,师生共同补充完 整,然后共同归纳相似三角形的性质. 　【课件展示】　相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 　即相似三角形对应线段的比等于相似比. 　[设计意图]　思路一:在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用三角 形相似的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比；思路二:通过测量,作 出猜想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学 生的数学思维和解决问题的能力. 二、相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 　　[过渡语]　全等三角形的周长相等,面积也相等,那么相似三角形的周长和面积有什么 关系呢?我们一起去探究! 　活动一 　如图,在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,AC=3,BC=4,AB=5,A'C'=6,B'C'=8,A'B'=10. 　【思考】 　(1)两个直角三角形相似吗? 　(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系? 　(3)再计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系? 　【师生活动】　学生独立完成后回答教师提出的问题. 　活动二 　(1)任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系? 　(2)证明你的结论.　(3)任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系? 　(4)证明你的结论. 　【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时 帮助有困难的学生,并点评学生的解答. 　【课件展示】　相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 　如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证： C△ABC C△A'B'C' =k, S△ABC S△A'B'C' =k2. 　证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为 k, 　∴ AB A'B'= AC A'C'= BC B'C'=k, AD A'D'=k, 　∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'. 　∴ C△ABC C△A'B'C' = AB + BC + AC A'B' + B'C' + A'C' 　=kA'B' + kB'C' + kA'C' A'B' + B'C' + A'C' =k, 　S△ABC S△A'B'C' = 1 2BC·AD 1 2B'C'·A'D' = BC B'C'· AD A'D'=k2. 　活动三 　你能归纳总结相似三角形的性质吗?你能应用这些性质解决哪些问题? 　【课件展示】　相似三角形的性质: 　(1)相似三角形的对应边成比例； 　(2)相似三角形的对应角相等； 　(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比； 　(4)相似三角形的周长比等于相似比； 　(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 　[设计意图]　通过小组合作交流,探究三角形的性质,培养学生的合作意识和严谨的学习 态度,同时培养学生的归纳总结能力,证明的过程中利用相似三角形对应高的比等于相似比, 既巩固了刚学的知识,又学会了直接使用性质解决问题. 三、例题讲解　　[过渡语]　我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题, 我们一起尝试解决下列问题. 　 　如图,在△ABC 和△DEF 中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC 的边 BC 上的高为 6, 面积为 12 5,求△DEF 的边 EF 上的高和面积. 　【思考】 　(1)由已知 AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,你能得到△ABC 和△DEF 的关系吗?说明理由. 　(2)已知一个三角形一边上的高和面积,如何求解另一个三角形对应边上的高和面积? 　【提示】　由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC 和△DEF 相似；相 似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方. 　【师生活动】　学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答 案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程. 　解:在△ABC 和△DEF 中, 　∵AB=2DE,AC=2DF, 　∴DE AB=DF AC=1 2. 　又∠A=∠D, 　∴△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的相似比为1 2. 　∵△ABC 的边 BC 上的高为 6,面积为 12 5, 　∴△DEF 的边 EF 上的高为1 2×6=3,面积为(1 2)2 ×12 5=3 5. 　[设计意图]　通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握, 达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学生学习数学的自信心,培养学生分析问题、 解决问题的能力. 　[知识拓展]　相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和 面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等. 　相似三角形的性质: 　(1)相似三角形的对应边成比例；　(2)相似三角形的对应角相等； 　(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比； 　(4)相似三角形的周长比等于相似比； 　(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 　1.如果两个相似三角形对应边之比是 1∶4,那么它们的对应中线之比是　　(　　) 　A.1∶2　　B.1∶4　　C.1∶8　　D.1∶16 　2.若△ABC∽△A'B'C',相似比为 1∶2,则△ABC 与△A'B'C'的面积比为　　(　　) 　A.1∶2　　B.2∶1　C.1∶4　　D.4∶1 　3.若两个相似三角形的面积比为 1∶2,则它们的相似比为　　　　；若两个相似三角形的 周长比为 3∶2,则这两个相似三角形的相似比为　　　　. 　4.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 边上,且 DE∥BC,如果 BC=6 cm,AD AB=1 3,那 么△ADE 的周长等于　　　　 cm,△ADE 与四边形 BCED 的面积比为　　　　. 　5.若两个相似三角形对应高的比为 2∶3,它们周长的差是 25,求较大三角形的周长及两个 三角形的面积比. 【答案与解析】 1.B　解析:因为相似三角形的对应中线之比等于相似比,而相似比为相似三角形对应边的比, 所以对应中线之比等于 1∶4.故选 B. 2.C　解析:根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得△ABC 与△A'B'C'的面积的比为 1∶4.故选 C. 3. 2∶2　3∶2 解析:由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得它们的相似比为 1∶ 2, 即 2∶2；由相似三角形的周长比等于相似比,得它们的相似比为 3∶2. 4. 6　1∶8　解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴两个三角形的周长比等于相似比,面积比 等于相似比的平方 .∵在等边三角形 ABC 中,BC=6 cm,∴△ABC 的周长为 18 cm.∵AD AB=1 3,∴△ ADE 的周长等于 6 cm.两三角形的面积比等于 1∶9.5.解:设较大三角形的周长是 3x,较小三角形的周长是 2x, 　则 3x-2x=25,解得 x=25, 　那么较大三角形的周长是 3x=75. 　根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,得这两个三角形的面积比为 4∶9. 　27.2.2　相似三角形的性质 　1.相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系 　2.相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 　3.例题讲解 　例题 一、教材作业 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图,AB∥CD,AO OD=2 3,则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是　　(　　) A.2 5　　B.3 2C.4 9　　D.2 3 2.若两个相似三角形面积的比为 1∶5,则它们的相似比为　　(　　) A.1∶25　　B.1∶5　　C.1∶2.5　　D.1∶ 5 3.如图,在▱ABCD 中,E 是 AD 边上的中点,连接 BE,并延长 BE 交 CD 的延长线于点 F,则△EDF 与△BCF 的周长之比是　　(　　) A.1∶2　　B.1∶3　　C.1∶4　　D.1∶5 4.如图,在△ABC 中,DE∥BC,AD DB=1 2,则下列结论中正确的是　　(　　)A.AE AC=1 2　　B.DE BC=1 2C. △ ADE的周长 △ ABC的周长=1 3　　D. △ ADE的面积 △ ABC的面积=1 3 5.△ABC∽△A'B'C',且相似比是 3∶4,△ABC 的面积是 27 cm2,则△A'B'C'的面积为　cm2. 6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的相似比为 2∶3,则△ABC 与△DEF 对应边上的中线 的比为　　　　. 7.如图,把△ABC 沿 AB 边平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面 积是△ABC 的面积的一半,若 AB= 2,则此三角形移动的距离 AA'=　　　　. 8.如图,若 BC∥DE,AB AD=3 4,S△ABC=4,求 S 四边形 DBCE 的值. 【能力提升】 9.如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成的两部分面积相等,则AD AB=　　　　. 10.在△ABC 中,AB=9,AC=12,BC=18,D 为 AC 上一点,AD=4,在 AB 上取一点 E,得到△ADE,若这 两个三角形相似,则它们的周长之比是　　　　. 11.如图,顶角为 36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k,这样的三角形叫黄金三角形.已 知腰长AB=1,△ABC为第一个黄金三角形,△BCD为第二个黄金三角形,△CDE为第三个黄金三 角形,…,以此类推,第 2018 个黄金三角形的周长为　　　　. 12.如图,在▱ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 交于点 F,DE=1 2CD. (1)求证：△ABF∽△CEB. (2)若△DEF 的面积为 2,求▱ABCD 的面积. 【拓展探究】 13.如图,抛物线 y=-x2+2x+c 与 x 轴交于 A,B 两点,它的对称轴与 x 轴交于点 N,过顶点 M 作 ME ⊥y 轴于点 E,连接 BE 交 MN 于点 F,已知点 A 的坐标为(-1,0). (1)求该抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； (2)求△EMF 与△BNF 的面积之比. 【答案与解析】 1.D 解析:∵AB∥CD,∴△AOB∽△DOC,∴△AOB 与△DOC 的周长比等于相似比.∵AO OD=2 3, ∴△AOB 与△DOC 的周长比是2 3.故选 D. 2.D 解析:由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得它们的相似比是 1∶ 5.故选 D. 3.A 解析:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△EDF∽△BCF,∴△EDF 与 △BCF 的周长之比为DE BC.∵E 是 AD 边上的中点,∴AD=2DE.∵AD=BC,∴BC=2DE,∴△EDF 与 △BCF 的周长之比为 1∶2.故选 A. 4.C 解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴AD AB=AE AC=DE BC.∵AD DB=1 2,∴AD AB=AE AC=DE BC=1 3,故 A,B 选项均错误.∵△ ADE∽△ABC,∴ △ ADE的周长 △ ABC的周长=AD AB=1 3, △ ADE的面积 △ ABC的面积=(AD AB)2 =1 9,故 C 选项正确,D 选项错误.故选 C.5.48 解析:∵△ABC∽△A'B'C',且相似比是 3∶4,∴△ABC 与△A'B'C'的面积比为 9∶16.∵ △ABC 的面积是 27 cm2,∴△A'B'C'的面积为 48 cm2.故填 48. 6.2∶3 解析:∵△ABC∽△DEF ,△ABC 与△DEF 的相似比为 2∶3, ∴△ABC 与△ DEF 对应边上 的中线的比是 2∶3. 7. 2-1 解析:如图,设BC 与 A'C'交于点 E.由平移的性质,知 AC∥A'C',∴△BEA'∽△BCA,∴ S△BEA'∶S△BCA=(A'B AB )2 =1∶2.∵AB= 2,∴A'B=1,∴AA'=AB-A'B= 2-1. 8.解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴S△ABC S△ADE =(AB AD)2 .∵AB AD=3 4,∴S△ABC S△ADE = 9 16.又∵S△ABC=4,∴S△ADE=64 9 ,∴S 四边形 DBCE=28 9 . 9. 2 2 解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴S△ADE S△ABC =(AD AB)2 .∵S△ADE=S 四边形BCED，∴S△ADE S△ABC =1 2,即(AD AB)2 =1 2,∴ AD AB= 1 2= 2 2 . 10.4 9或1 3解析:当 AD 与 AB 对应时,相似比为4 9,所以周长比为4 9；当 AD 与 AC 对应时,相似比为 4 12 =1 3,所以周长比为1 3.故填4 9或1 3. 11.k2018(2+k)解析:∵AB=AC=1,∴△ABC 的周长为 2+k,△BCD 的周长为 k+k+k2=k(2+k), △CDE 的周长为 k2+k2+k3=k2(2+k),…,依次类推,第 2018 个黄金三角形的周长为 k2018·(2+k). 12. (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽ △CEB.　 （2）解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB平行且等于CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽ △ABF.∵DE=1 2CD,∴S△DEF S△CEB =(DE EC)2 =1 9,S△DEF S△ABF =(DE AB)2 =1 4.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S 四边形 BCDF= S△BCE-S△DEF=16.∴S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24. 13. 解:(1)由题意可得-(-1)2+2×(-1)+c=0,解得 c=3,∴y=-x2+2x+3. ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点 M(1,4).　 (2)∵A(-1,0),抛物线的对称轴为直线 x=1,∴点 B(3,0),∴EM=1,BN=2.∵EM∥BN,∴△EMF∽ △BNF,∴S△EMF S△BNF =(EM BN)2 =1 4.　本节课以解决物理知识和生活实际问题导入新课,激发学生探索新知识的兴趣,通过复习 全等三角形的性质及相似三角形的判定,在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知. 本节课的重点是探索相似三角形的性质,教学中不是直接给出结论让学生证明,而是在探索 活动中,学生在教师提出的层层深入的问题引导下,经历测量、猜想、验证等活动,归纳总结 出相似三角形的有关性质,并能应用性质解决问题,课堂上学生积极开展小组合作学习,交流 探索新知,并且在不断探索中学会创造性学习,培养学生的探索和创新能力,同时提高数学思 考、分析和探究活动能力. 　本节课对于证明相似三角形的对应线段的比等于相似比的问题,教学设计时教师引导证明 对应高的比等于相似比,剩下两个由学生之间交流,类比说出思路和过程,起到复习巩固的目 的.但是由于自己放不开手,怕学生不会,在学生说时一再仔细强调导致最后时间不充分,应 该更大胆一些,放开一些,让学生有更大的思维空间,达到“授之以渔”的目的. 　本节课通过实际问题创设情景,引入新知,使学生体验到生活中的数学知识,从而调动学生 探索新知的兴趣和学习的积极性.在探索性质的过程中,多给学生提供自主学习、自主操作、 自主活动的机会,不论是回顾旧知,还是探究新知,都是教师引导,学生自主探索,通过测量、 计算,作出猜想,然后分析验证,体现了学生是数学学习的主人的理念.在任何探究环节,教师 以引导学生思考、动手操作、合作交流为主,体现教师是数学学习的组织者、引导者和合作 者的新理念. 　(1)本节课的教学重点是探索相似三角形的性质并能应用相似三角形的性质解决问题,实 际上就是在了解相似三角形基本性质和判定方法的基础上,进一步研究相似三角形的特性,以完成对相似三角形的全面研究.在教学设计中,在知识的形成过程中培养学生的学习能力, 在探究相似三角形性质时,不要给出结论,而是通过学生亲自测量、计算、猜想、验证等数学 活动,在教师的引导下逐步完成,培养学生分析问题及解决问题的能力.在探索了相似三角形 的各个性质后,学生从不同角度归纳性质,培养学生的归纳总结能力. 　(2)本课时学生在经历知识的形成过程时,以合作探究的形式展开,即以小组合作交流的形 式展开,让学生探究发现结论,小组成员合作交流完成猜想的证明,体验成功的快乐,培养学 生探究问题的科学态度,促进创造性思维的发展.师生共同完成性质的证明,培养学生的推理 论证能力. 　 　在△ABC 中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点 P 从 A 点出发,沿着 AB 以每秒 4 cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发,沿 CA 以每秒 3 cm 的速度向 A 点运动,设运动时间为 x 秒. 　(1)当 x 为何值时,PQ∥BC? 　(2)当S△BCQ S△ABC =1 3时,求S△BPQ S△ABC 的值. 　解:(1)∵PQ∥BC,∴AP AB=AQ AC. 　由题意可得 AP=4x cm,AQ=(30-3x)cm, 　∴4x 20=30 - 3x 30 ,解得 x=10 3 . 　∴x=10 3 时,PQ∥BC. 　(2)∵S△BCQ S△ABC =1 3,∴CQ AC=1 3,CQ=10 cm, 　∴时间用了10 3 秒,AP=40 3 cm,此时 PQ∥BC, 　∴△APQ∽△ABC,相似比为2 3, 　∴S△APQ S△ABC =4 9, 　∴四边形 PQCB 与三角形 ABC 的面积比为 5∶9. 　∵S△BCQ S△ABC =1 3=3 9,∴S△BPQ S△ABC =2 9. 27.2.3　相似三角形应用举例　1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度. 　2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问 题. 　1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力. 　2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实 际问题的能力. 　3.学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解 决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力. 　1.通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活 密切联系. 　2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力. 　3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度. 　4.培养学生的合作交流意识,培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现的科学精神. 　【重点】 　利用相似三角形的性质解决高度测量问题. 　【难点】 　将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题. 第 课时 　1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.　2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问 题. 　1.经历动手作图的过程,提高学生将实际问题转化为数学问题,以及用相似三角形解决问 题的能力. 　2.把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问 题的能力. 　3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论. 　1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会 数学的价值. 　2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力. 　3.积极参与课堂活动, 在活动中使学生积累经验,感受成功的喜悦,激发学生学习数学的 热情与兴趣. 　【重点】 　利用相似三角形的性质解决高度测量问题. 　【难点】 　将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题. 导入一: 　【复习提问】　 　(1)什么是相似三角形及相似比? 　(2)判定三角形相似的方法有哪些?　(3)相似三角形的性质是什么? 　【师生活动】　学生回答问题,教师点评. 导入二: 　胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的 4 个斜 面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为 230 米.据考证,为建成大金字塔,共动用 了 10 万人花了 20 年时间.原高 146.59 米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀, 所以高度有所降低. 　在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么 都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难 爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗? 　【师生活动】　学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?初步 了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题. 　[设计意图]　以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发 学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义. 　　[过渡语]　泰勒斯到底用什么方法得出了金字塔的高度呢?这就是我们今天学习的内容. 一、测量旗杆的高度 　【问题】　如何测量操场上旗杆的高度? 　思路一 　【思考】 　(1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系? 　(2)在操场上竖立一根长 1 米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长. 　(太阳光线看作是平行的) 　(3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?　【师生活动】　学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视 过程中帮助有困难的学生. 　解:如图,测得同一时刻旗杆的影长 AB=a,标杆的影长为 EF=b. 　由题意可得∠B=∠F=90°,AC∥DE, 　∴∠A=∠E,∴△ABC∽△EFD, 　∴BC DF=AB EF, 　∴BC=a b米. 　【归纳】　在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例. 　【追问】　你还有其他方法求旗杆的高度吗? 　思路二 　【小组讨论】　用什么方法可以测量操场旗杆的高度? 　【师生活动】　学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路, 教师归纳测量的方法. 　(1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度. 　(2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影 长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度. 　(3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根 据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度. 　(4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标 杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高. 　…… 　用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有: 　【课件展示】 　(1)如图,同一时刻物高与影长构成直角三角形.　(2)如图,利用平面镜构造直角三角形. 　(3)如图,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上. 　[设计意图]　解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是 在教师问题的引导下,学生进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解, 然后归纳结论. 思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度 的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力. 二、例题讲解 　　[过渡语]　我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用类似的方法求 出金字塔的高度呢? 　 　据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影 子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 　如图,木杆 EF 长 2 m,它的影长 FD 为 3 m,测得 OA 为 201 m,求金字塔的高度 BO. 　【教师引导分析】 　(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗? 　(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得三角形相似) 　(2)如何求 OA 的长? 　(金字塔的影子是等腰三角形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)　(3)写出你的求解过程. 　【师生活动】　学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评. 　解:太阳光线是平行光线, 　因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°, 　∴△ABO∽△DEF. 　∴BO EF=OA FD, 　∴BO=OA·EF FD =201 × 2 3 =134(m). 　因此金字塔的高度为 134 m. 　 　如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点 P,在近岸取点 Q 和 S, 使点 P,Q,S 共线且直线 PS 与河岸垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已知测得 QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据 这些数据求河宽 PQ. 　〔解析〕　(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P 可得 △PQR∽△PST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽 PQ 的比例线段?(PQ PS = QR ST) (3)能不能用方程思想解出 PQ 的值? PQ PQ + 45=60 90,即 PQ×90=(PQ+45)×60,可解得 PQ 的值 　【师生活动】　学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生 代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范解答过程. 　解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, 　∴△PQR∽△PST. 　∴PQ PS=QR ST, 　即 PQ PQ + QS=QR ST, PQ PQ + 45=60 90, 　PQ×90=(PQ+45)×60. 　解得 PQ=90(m). 　因此,河宽大约为 90 m.　【追问】　你还有其他的测量河宽的方法吗? 　【师生活动】　学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以. 　如下图也可以应用相似三角形的性质测量河宽. 　[设计意图]　通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的 过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学 习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的 能力和发散思维能力. 　[知识拓展]　利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角 形；②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度；③画出 示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量； ④检验并得出答案. 　1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决. 　2.测量不能直接测量的两点间的距离:通常构造直角三角形相似求解. 　1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长 BA 为 15 米,如图,然后在 A 处树立一 根高 2 米的标杆,测得标杆的影长 AC 为 3 米,则楼高为　　(　　) 　A.10 米　　B.12 米　C.15 米　　D.22.5 米 　2.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长 MN=2 3米,窗户底部到教室地面的距离 BC=1 米 (点 M,N,C 在同一直线上),则窗户的高度 AB 为　　(　　) 　A. 3米　　B.3 米　　C.2 米　　D.1.5 米 　3.如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处,则小 明的影子 AM 的长为　　　　 米. 　4.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A,再在河的这一边选 点 B 和 C,使 AB⊥BC,然后选点 E,使 EC⊥BC,用视线确定 BC 和 AE 的交点 D.此时如果测得 BD=110 米,DC=55 米,EC=52 米,求两岸间的大致距离 AB. 【答案与解析】 1.A　解析:在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的 太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 因此 标杆的高 标杆的影长= 楼高 楼的影长,即2 3=楼高 15 ,∴楼高=10(米). 故选 A. 2.C　解析:∵BN∥AM,∴∠AMC=∠BNC=30°.又∵∠C=90°,BC=1 米,∴BN=2 米,CN= 3米, ∴CN∶CM=BC∶AC,∴ 3 3 + 2 3= 1 AC,解得 AC=3(米),∴AB=AC-BC=2 米.故选 C. 3. 5　解析:根据题意,易得△MBA∽△MCO.根据相似三角形的性质可知AB OC= AM OA + AM,即1.6 8 = AM 20 + AM, 解得 AM=5(米)，则小明的影长为 5 米.4.解:∵AB⊥BC,EC⊥BC, 　∴∠ABC=∠BCE=90°. 　又∵∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△ECD, 　∴AB CE=BD CD,AB 52=110 55 , 　解得 AB=104. 　答:两岸间的大致距离 AB 为 104 米. 　第 1 课时 　1.求旗杆的高度 　2.例题讲解 　例 1 　例 2 一、教材作业 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图,在同一时刻,身高 1.6 米的小丽在阳光下的影长为 2.5 米,一棵大树的影长为 5 米,则 这棵树的高度为　　(　　) A.1.5 米　　B.2.3 米　　C.3.2 米　　D.7.8 米 2.如图,身高 1.6 m 的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去,当走到 C 点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得 BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为　　(　　 )A.4.8 m　　B.6.4 m　　C.8 m　　D.10 m 3.如图,电灯 P 在横杆 AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为 CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点 P 到 CD 的距离是 3 m,则 P 到 AB 的距离是　　(　　) A.5 6 m　　B.6 7 m　　C.6 5 m　　D.10 3 m 4.如图,A,B 两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了 A,B 间的距离:先在AB 外选一点 C,然 后测出 AC,BC 的中点 M,N,并测量出 MN 的长为 12 m,由此他就知道了 A,B 间的距离.有关他这 次探究活动的描述错误的是　　(　　) A.AB=24 m　　B.MN∥ABC.△CMN∽△CAB　　D.CM∶MA=1∶2 5.如图,已知小明在打网球时,要使球 C 恰好能打过网 DE,而且落在离网 5 米的位置上,则球 拍击球的高度 h 应为　　　　m. 6.如图,已知零件的外径为 25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等,OC=OD)量零件 的内孔直径 AB.若 OC∶OA=1∶2,量得 CD=10 mm,则零件的厚度 x=　　　　mm. 7.如图,为了测量一个大峡谷的宽度 AO,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显 的标志点 O,再在他们所在的这一侧选点 A,B,D,使 AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定 DO 和 AB 的交点 C,测得 AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,请你帮助他们算出峡谷的宽 AO. 【能力提升】 8.一高 1 m 的油桶内有一定量的油,为了测出桶内油的深度,用一根长 1.2 m 的木棒从桶盖小 口斜插入桶内,一端到桶底,另一端正好到小口,抽出棒,量得棒上浸油部分长 0.45 m,则桶内 油的深度为　　　　. 9.如图,已知有两堵墙 AB,CD,AB 墙高 2 米,两墙之间的距离 BC 为 8 米,小明将一架木梯放在 距 B 点 3 米的 E 处靠向墙 AB 时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点 E 旋转 90°靠向墙 CD 时, 木梯刚好到达墙的顶端,则墙 CD 的高为　　　　. 10.王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高.如图,在旗杆的底部 B 引一条直线 BM,在这 条直线适当的位置 E 处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点 D 处时恰好在镜子中看到旗杆 的顶端 A,又测得 BE=18 米,ED=2.4 米,已知王芳的眼睛到地面的高度 CD=1.6 米,求旗杆 AB 的 高. 【拓展探究】 11.将△ABC 纸片按如图的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 B',折痕为 EF.已知 AB=AC=6,BC=8. (1)求△ABC 的周长； (2)若以点 B',F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,求 BF 的长.【答案与解析】 1.C 解析:设树高为 x 米.因为人的身高 人的影长=树的高度 树的影长,所以1.6 2.5=x 5,解得 x=3.2.故选 C. 2.C 解析:因为人和树均垂直于地面,所以和光线构成的两个直角三角形相似.设树高 x m,则 AC AB=1.6 x ,即 0.8 0.8 + 3.2=1.6 x ,∴x=8.故选 C. 3.C 解析:∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,∴AB∶CD=P 到 AB 的距离∶P 到 CD 的距离.∴2∶5=P 到 AB 的距离∶3,∴P 到 AB 的距离为6 5 m.故选 C. 4.D 解析:∵M,N 分别是 AC,BC 的中点,∴MN∥AB,MN=1 2AB,故选项 B 正确.∵MN=12 m, ∴AB=2MN=2×12=24(m),故选项 A 正确.∵MN∥AB,∴△CMN∽△CAB,故选项 C 正确.∵M 是 AC 的中点,∴CM=MA.∴CM∶MA=1∶1,故选项 D 错误.故选 D. 5.2.7 解析:如图,DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,即DE BC=AE AB,则 5 5 + 10=0.9 h ,∴h=2.7(m). 6.2.5 解析:∵两条尺长 AC 和 BD 相等,OC=OD,∴OA=OB.∵OC∶OA=1∶2,∴OD∶OB=OC∶OA=1∶ 2.∵∠COD=∠AOB,∴△AOB∽△COD,∴CD∶AB=OC∶OA=1∶2.∵CD=10 mm,∴AB=20 mm, ∴2x+20=25,∴x=2.5. 7. 解:∵AB⊥AO,DB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.又∠ACO=∠BCD,∴△ACO∽△BCD,∴AO BD=AC BC. ∵AC=120 m,BC=60 m,BD=50 m,∴AO 50=120 60 ,解得 AO=100(m),即峡谷的宽 AO 是 100 m. 8.3 8 m 解析:如图,∵CD∥BE,∴△ACD∽△ABE,∴AC AB=AD AE,∴AC AB=AE - DE AE ,∴1.2 - 0.45 1.2 =1 - DE 1 ,解得 DE= 3 8(m). 9.7.5 米解析:∵∠AED=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.又∵AB 和 CD 都垂直于 BC,∴∠ABC=∠ C=90°,∴∠DEC+∠D=90°,则∠AEB=∠D,∴△ABE∽△ECD,∴AB EC=BE CD,即 2 8 - 3= 3 CD,解得 CD=7.5(米).10.解:如图,过点 E 作镜面的垂线 EF.由光学原理得∠AEF=∠CEF.∵∠DEC=90°-∠CEF, ∠BEA=90°-∠AEF,∴∠DEC=∠BEA.又∵∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE∽△ABE,∴CD AB=DE BE,即1.6 AB = 2.4 18 ,解得 AB=12(米).答:旗杆 AB 高为 12 米. 11.解:(1)∵AB=AC=6,BC=8,∴△ABC 的周长为 AB+AC+BC=20.　 (2)①∵以点 B',F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△B'FC∽△ABC,∴B'F∶AB=FC∶BC, 即 BF∶6=(8-BF)∶8,解得 BF=24 7 . ②∵以点 B',F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△FB'C∽△ABC,∴B'F∶AB=FC∶AC,即 BF∶ 6=(8-BF)∶6,解得 BF=4.综上所述,BF 的长为24 7 或 4. 　本节课在富有故事性的情景中导入新课,激发学生的学习兴趣,再从我们身边的测量旗杆 的高度、河的宽度的问题出发,注重数学与生活之间的联系,利用身边生活实际,通过提出问 题、解决问题、总结归纳,让学生成为学习活动的参与者、探索者和创造者.在探究过程中, 从实际出发,以小组合作交流的形式,采用问题情景——建立模型——应用拓展的模式展开, 培养学生应用数学解决实际问题的能力,同时通过多种方法探究旗杆的高度和河的宽度,学 生思维活跃,积极思考,课堂气氛活跃,培养了学生从多个角度思考问题的能力及发散思维能 力. 　本节课主要是让学生学会运用三角形相似解决实际问题,在解决实际问题中经历从实际问 题到建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,但是在进行测量旗杆的高度时,为了培 养学生从多个角度思考问题,让学生探索不同方法用时太多,造成后面例题的分析有些仓促,学生思考、交流时间过短,在以后的教学中,可以把用不同方法测量旗杆的高度作为课前预习 内容思考. 　本节课从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解 释与应用的过程,使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得 到进步和发展.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作 交流是学生学习数学的重要方式,因此将大部分的时间交给学生,让他们充分动手寻找解决 问题的办法,增强数学学习的自信心,实现数学知识解决实际问题的价值. 　(1)本节课的重点是相似三角形的应用,在实际生活中,相似知识应用广泛,要善于运用数 学知识把实际问题抽象为数学模型问题,而建立数学模型的关键是把生活中的实际问题转化 为数学问题,转化的方法之一是画示意图,在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系 与位置关系,进而形成解题思路.因此在教学设计中突出了“审题——画示意图——明确数量 关系——解决问题”的数学建模过程,提高学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力, 同时学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中,探究解决问题的方法,这一过程有利于 培养学生的数学学习兴趣. 　(2)相似三角形的应用是在学生学习了相似三角形的基本知识的基础上学习的,是相似三 角形知识的应用、延伸与拓展,是将相似三角形与实际生活相结合的应用性问题,数学教学活 动应该考虑建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上,激发学生的学习积极性, 向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和 掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.让学生真正成为数 学学习的主人,让数学学习活动成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程. 　 　如图(1),测量电线杆 AB 的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,量得 CD=4 m,BC=10 m,CD 与地面成 30°角,且此时测得 1 m 高的标杆的影长为 2 m,则 电线杆的高度为多少米?　解:如图(2),延长 AD 交 BC 于点 F,过点 D 作 DE⊥BC 于 E. 　由题知 DE∥AB,∴△EDF∽△BAF, 　∴DE AB=EF BF. 　在 Rt△DEC 中, CD=4,∠DCE=30°, 　∴DE=2,由勾股定理可得 CE=2 3. 　由题知DE EF=1 2,∴EF =4, 　∴ 2 AB= 4 14 + 2 3, 　∴AB=7+ 3(m). 　答:电线杆的高度为(7+ 3)m. 第 课时 　1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的长度或高度(如盲区问题). 　2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问 题. 　1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力. 　2.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性, 掌握分析问题和解决问题的一些基本方法. 　3.在与他人合作交流中培养合作意识.　1.通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,感受成功的快乐,体验 克服困难、解决问题的探究过程. 　2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数学的应用价值. 　3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度. 　【重点】 　利用相似三角形的性质解决高度或长度测量问题. 　【难点】 　将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题. 导入一: 　如图,屋顶上有一只猫,院子里有一只小老鼠,若猫看见了小老鼠,则小老鼠就会有危险,小 老鼠在墙的哪部分活动是安全的?试画出小老鼠在墙的左端的安全区. 　【师生活动】　学生回答问题,尝试画出安全区,教师点评,给出盲区的概念.(观察者观察 不到的区域就叫盲区) 导入二: 　上节课我们利用标杆测量了旗杆的高度,如图,观察者的视线与标杆的顶端及旗杆的顶端 在同一条直线上时,通过测量哪些数据可以求出旗杆的高度?如何计算? 　【师生活动】　学生思考回答,教师点评,给出仰角、俯角的概念,导出新课. 　观察者向上看的视线 EA 与水平线 EH 的夹角∠AEH 叫做仰角,你能给出俯角的定义吗? 　(观察者向下看的视线与水平线的夹角叫做俯角)　【追问】　观察者观察旗杆时的盲区是什么? 　　[过渡语]　我们了解了仰角、俯角、盲区的概念,这节课我们一起探究和仰角、俯角、 盲区有关的相似三角形的应用. 　[设计意图]　借助贴近学生生活实际的问题导入新课,能激发学生的好奇心和求知欲,感 受数学应用的意义.由生活实际很自然地抽象出有关概念,降低学生对概念的理解难度,同时 为本节课的学习做好铺垫. 一、例题讲解 　 　如图(1),左、右并排的两棵大树的高分别为 AB=8 m 和 CD=12 m,两树底部的距离 BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面 1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右 前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端 C 了? 　思路一 　【活动一】　教师引导学生思考: 　(1)在图(1)中,这个人观察的盲区是哪部分? 　(2)当她自左向右前进中,她的视线与两棵树的顶端恰好在同一条直线上时,如图(2),她观 察的盲区是哪部分? 　(3)如果她再向右走,她还能看到右边较高的树的顶端吗? 　【师生活动】　学生在教师的引导下思考,回答问题,对理解有困难的学生,教师给足够的 时间让学生小组讨论. 　　[过渡语]　根据上面的思考,我们只需要求出什么数值,就能够解决问题? 　【活动二】　思考、讨论、解答: 　(1)图(2)中需要求的线段 EH 在哪个三角形中? 　(2)图(2)中的△AEH 和△CEK 是否相似? 　(3)图(2)中△AEH 和△CEK 中哪些线段是已知的或可以求解的?　(4)用相似三角形的性质能否求出线段 EH 的长. 　(5)尝试写出解答过程. 　【师生活动】　学生独立思考后完成,小组内交流结果,学生展示后,教师进行点评. 　【课件展示】 　解:如图(2),假设观察者从左向右走到点E 时,她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A,C 恰 在一条直线上. 　∵AB⊥l,CD⊥l,∴AB∥CD. 　∴△AEH∽△CEK, 　∴EH EK=AH CK, 　即 EH EH + 5= 8 - 1.6 12 - 1.6= 6.4 10.4, 　解得 EH=8(m). 　由此可知,如果观察者继续前进,当她与左边的树的距离小于 8 m 时,由于这棵树的遮挡,她 看不到右边树的顶端 C. 　思路二 　【思考】　 　(1)观察者从左向右前进过程中,走到什么位置恰好看到大树 CD 的顶端?(尝试画出图形) 　(2)如果观察者继续向右走,还能观察到大树 CD 吗? 　(3)根据要求,我们只需要求出图(2)中的哪个值? 　(4)如何根据已知条件求出需要的线段长? 　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,其他学生在练习本上书写 过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评,规范解题格式.(解答过程同思 路一) 　[设计意图]　通过盲区问题,经历画图过程,让学生明确问题中的数量关系和位置关系,进 而形成解题思路,激发学生学习数学的兴趣,教师通过层层递进的问题的引导,让学生体会把 生活问题转化为数学问题,培养学生的建模思想. 二、类题讲解 　 　小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长 0.9 m,但当他马 上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不会全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图,他 先测得留在墙上的影高 1.2 m,又测得地面部分的影长 2.7 m,求树高是多少.　【师生活动】　学生在教师的引导下独立思考,画出示意图,小组合作交流,共同探索解决 方法,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的小组,及时发现各小组不同的解题 思路,鼓励学生用不同方法解决问题. 　解法 1:如图,过 D 作 DE⊥AB 于点 E. 　根据题意,得四边形 BCDE 是矩形, 　∴BE=CD=1.2,DE=BC=2.7. 　∵某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长为 0.9 m, 　∴AE DE= 1 0.9,即 AE 2.7= 1 0.9, 　∴AE=3,∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2(m). 　答:树高为 4.2 m. 　解法 2:如图,延长 AD,BC 交于点 E. 　∵某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长为 0.9 m,墙上的影高 CD 为 1.2 m, 　∴CD CE= 1 0.9,即1.2 CE = 1 0.9, 　∴CE=1.08(m), 　∴BE=1.08+2.7=3.78(m). 　∵AB⊥BC,DC⊥BC, 　∴AB∥DC, 　∴△EDC∽△EAB, 　∴CD AB=CE BE,即1.2 AB =1.08 3.78, 　解得 AB=4.2(m). 　答:树高为 4.2 m.　解法 3:如图,过点 C 作 CE∥AD 交 AB 于点 E. 　∵AE∥CD,EC∥AD, 　∴四边形 AECD 是平行四边形, 　∴AE=CD=1.2 m. 　又在平行投影中,同一时刻物高与影长成比例, 　∴BE BC= 1 0.9. 　即 BE=2.7× 1 0.9=3(m). 　∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m). 　 答:树高为 4.2 m. 　【归纳】 　(1)求树高常用的方法:①根据相似三角形对应线段成比例,列方程求解即可；②在同一时 刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可求解. 　(2)求树高常用的辅助线:①作垂直,构造相似三角形；②作平行,构造相似三角形；③延长 两条直线相交,构造相似三角形. 　[设计意图]　引导学生将墙上的部分进行转化,建立相似三角形模型,通过拓展问题引导 学生自主学习与合作交流相结合,进一步加强对相似三角形的应用的理解和掌握,通过引导 学生多角度思考问题,培养学生的发散思维能力,提高应用意识. 　[知识拓展]　利用相似三角形解决实际问题的关键是根据题意画出图形,将实际问题转化 为数学问题,建立数学模型求解. 　1.仰角、俯角、盲区的概念. 　2.利用标杆测量物体的高度:构造相似三角形求解. 　1.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点 A,在近岸取点 B,C,D,使得 AB⊥ BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直线上.若测得 BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则 河的宽度 AB 等于　　(　　)A.60 m　　B.40 m　　C.30 m　　D.20 m 　2.如图(1),为了测量某建筑物的高 AB,在距离 B 点 35 m 的 D 处安置测角仪,测得 A 点的仰 角α为 45°,若仪器 CD 高为 1.4 m,则高 AB 为　　　　. 3.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB,他调整自己的位置,设法 使斜边 DF 保持水平,并且边 DE 与点 B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40 cm,EF= 20 cm,测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5 m,CD=8 m,则树高 AB=　　　　m. 　4.如图,九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度 CD=3 m, 标杆与旗杆的水平距离 BD=15 m,人的眼睛与地面的高度 EF=1.6 m,人与标杆 CD 的水平距离 DF=2 m,求旗杆 AB 的高度. 【答案与解析】 1.B　解析:∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴△BAE∽△CDE,∴AB CD=BE CE.∵BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m, ∴AB 20=20 10.解得 AB=40.故选 B. 2. 36.4 m　解析:如图(2),过点 C 作 CE⊥AB 于点 E.根据题意,在 Rt△ACE 中,CE=35 m, ∠α=45°,∴AE=35 m.则 AB 的长为 AE+BE=36.4（m）.3. 5.5　解析:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,∴△DEF∽△DCB,∴BC EF=DC DE.∵DE=40cm= 0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,AC=1.5 m,CD=8 m,∴ BC 0.2= 8 0.4,∴BC=4(m),∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m). 4.解:∵CD⊥FB,AB⊥FB, 　∴CD∥AB,∴△CGE∽△AHE. 　∴CG AH=EG EH, 　即CD - EF AH = FD FD + BD, 　∴3 - 1.6 AH = 2 2 + 15, 　∴AH=11.9. 　∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m). 　答:旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 　第 2 课时 　1.例题讲解 　例 1 　2.类题讲解 　例 2 　解法 1: 　解法 2: 　解法 3: 一、教材作业 二、课后作业 【基础巩固】 1. 小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点 B 时,要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上,如图,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星 A 偏离到 A',若 OA= 0.2 米,OB=40 米,AA'=0.0015 米,则小明射击到的点 B'偏离目标点 B 的长度 BB'为　　(　　)A.3 米　　B.0.3 米　　C.0.03 米　　D.0.2 米 2.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为 2 m 的竹竿作为测量工具,移动竹竿,使竹竿、树 的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距 6 m,与树相距 15 m,则树的高 度为　　　　m. 3.如图,小明在测量学校旗杆高度时,将 3 米长的标杆插在离旗杆 8 米的地方,已知旗杆高度 为 6 米,小明眼部以下距地面 1.5 米,这时小明应站在离旗杆　　　　米处,可以看到标杆顶 端与旗杆顶端重合. 4.如图,一电线杆 AB 的影子分别落在地上和墙上,某一时刻,小明竖起 1 m 高的标杆,量得其 影长为 0.5 m,此时,他又量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长 3 m,落在墙上的影子 CD 的长为 2 m,小明用这些数据很快算出了电线杆 AB 的高,请你计算电线杆 AB 的高 . 5.在一次数学测验活动中,小明到操场测量旗杆 AB 的高度.他手拿一支铅笔 MN,边观察边移 动(铅笔 MN 始终与地面垂直).如图,当小明移动到 D 点时,眼睛 C 与铅笔、旗杆的顶端 M,A 共 线,同时眼睛 C 与它们的底端 N,B 也恰好共线.此时,测得 DB=50 m,小明的眼睛 C 到铅笔的距 离为 0.65 m,铅笔 MN 的长为 0.16 m,请你帮助小明计算出旗杆 AB 的高度(结果精确到 0.1 m).【能力提升】 6.如图,路灯距地面 8 米,身高 1.6 米的小明从距离灯的底部(点 O)20 米的点 A 处,沿 OA 所在 的直线行走 14 米到点 B 时,人影的长度　　(　　) A.增大 1.5 米　　B.减小 1.5 米 C.增大 3.5 米　　D.减小 3.5 米 7.如图,甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部 5 米处时, 发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为 1.5 米,那么路灯甲的高 为　　　　米. 8.如图,直立在 B 处的标杆 AB=2.4 m,直立在 F 处的观测者从 E 处看到标杆顶 A、树顶 C 在同 一条直线上(点 F,B,D 也在同一条直线上).已知 BD=8 m,FB=2.5 m,人高 EF=1.5 m,求树高 CD. 【拓展探究】 9.如图,马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目,跷跷板支柱 AB 的高度为 1.2 米. (1)若吊环高度为 2 米,支点 A 为跷跷板 PQ 的中点,狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么? (2)若吊环高度为 3.6 米,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点 A 移到跷跷板 PQ 的什 么位置时,狮子刚好能将公鸡送到吊环上? 【答案与解析】1.B 解析:∵AA'∥BB',∴△OAA'∽△OBB'.∴OA OB=AA' BB',∴0.2 40 =0.0015 BB' ,∴BB'=0.3(米).故选 B. 2.7 解析:如图,AD=6 m,AB=21 m,DE=2 m,因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,得DE BC=AD AB,即 2 BC= 6 21,解 得 BC=7(m),故树的高度为 7 m. 3.12 解析:如图,由题意可得 BG=3,DE=GF=8,CF=6,AH=DG=EF=1.5,∴CE=CF-EF=4.5.∵ BD∥ CE,∴△ABD∽△ACE,∴AD AE=BD CE,∴ AD AD + 8=3 - 1.5 4.5 ,解得 AD=4,∴HF=AE=AD+DE=4+8=12,∴小明应站 在离旗杆 12 米处,可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合. 4.解:如图,假设没有墙 CD,则影子为 BE.∵物高与影长成正比,∴CD∶DE=1∶0.5,∴DE=1(m), ∴AB∶BE=1∶0.5.∵BE=BD+DE=4 m,∴AB=8 m.∴电线杆 AB 的高为 8 m. 5.解:如图,过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F,交 MN 于点 E，则 CF=DB=50,CE=0.65.∵MN∥AB, ∴△CMN∽△CAB.∴CE CF=MN AB,∴AB=MN·CF CE =0.16 × 50 0.65 ≈12.3(m).∴旗杆 AB 的高度约为 12.3 m. 6.D 解析:设小明在 A 处时影长为 x 米,B 处时影长为 y 米,则 x x + 20=1.6 8 ,∴x=5, y y + 6=1.6 8 ,∴ y=1.5,∴x-y=3.5,减小了 3.5 米.故选 D. 7.9 解析:根据题意知 DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,∴DE AB=CE BC,即1.5 AB = 5 30,解得 AB=9(米).8.解:过 E 作 CD 的垂线,垂足为 G,交 AB 于 H.∵AB⊥FD,CD⊥FD,∴四边形 EFBH,EFDG 是矩形. ∴EF=HB=GD=1.5,EH=FB=2.5,AH=AB-HB=2.4-1.5=0.9,CG=CD-GD=CD-1.5,EG=FD=FB+BD= 2.5+8=10.5.∵AB∥CD,∴△EHA∽△EGC.∴EH EG=AH CG,即 CG=0.9 × 10.5 2.5 =3.78.∴CD=CG+GD=3.78+ 1.5=5.28(m),故树高 CD 为 5.28 m. 9.解:(1)如图(1),狮子能将公鸡送到吊环上.当狮子将跷跷板 P 端压到底时可得到 Rt△PHQ, ∵支点 A 为跷跷板 PQ 的中点,AB∥QH,∴AB 为△PHQ 的中位线.∵AB=1.2 米,∴QH=2AB= 2.4 米,2.4 米>2 米,∴狮子能将公鸡送到吊环上.　 (2)支点 A 移到跷跷板 PQ 的三分之一处(PA = 1 3PQ),狮子刚好能将公鸡送到吊环上.如图(2), ∵AB∥QH,∴△PAB∽△PQH,∴PA PQ=AB QH=1.2 3.6=1 3,∴支点 A移到跷跷板PQ的三分之一处时(靠近P处), 狮子刚好能将公鸡送到吊环上. 　本节课借助生活实际导入新课,激发学生的好奇心和求知欲,教师很自然地导出盲区的概 念,为本节课的学习做好铺垫.学生在教师的引导下,由小组合作交流共同探索课本例题的盲 区问题,激发学生的学习兴趣,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力,例 2 利用墙上的 影长求树高,是对上一个课时的拓展,学生通过自主学习与合作学习的结合,探索出多种解决 方法,培养学生的建模思想和发散思维能力.在课堂上,学生参与意识较强,积极展示自己的 想法,提高了学习能力. 　本节课的重点是将生活实际问题转化为数学问题,培养学生的建模思想,教学设计中重 视学生数学思维能力的提升,不是以教师讲解为主,而是在教师的引导下,学生积极思维和讨 论,但在实施过程中,学生与学生之间思维能力相差悬殊,使课堂成了部分学生的课堂,部分 学生参与不到讨论中,所以在以后教学中注意对思考问题较慢的学生的学习能力的培养.　　本节课的重难点是建立数学模型,将生活实际问题转化为数学问题,教师以身边的生活实 例导入新课,激发学生学习本节课的兴趣,同时引出概念,做好铺垫,教师在探究本课时的例 题时,以层层递进的小问题,引导学生建立数学模型,画出图形,把生活实际问题转化为数学 问题,明确题目中的数量关系和位置关系,进而形成解题思路,培养学生的归纳总结能力. 　(1)生活中充满着数学,我们更要善于从生活中抽象出数学问题,使学生感到数学就在自己 的身边,认清数学知识的实用性,从而产生兴趣,教师应根据教学的实际,让学生把所学知识 和周围的生活环境相联系,帮助他们在形成知识、技能的同时,感受数学应用范围的广泛.本 课时是在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力. 在教学中突出“审题——明确数量关系——解决问题”的数学建模过程,培养学生把生活中 的实际问题转化为数学问题的能力,利用图形的相似解决一些实际问题.通过本节知识的学 习,可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题,发展学生的应用意识,加深学生 对于相似三角形的理解和认识. 　(2)在本节课探索相似三角形的实际应用时,教师引导学生建立数学模型,通过建模培养学 生归纳能力.教师要让学生知道建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题,转化之 一是画出图形,在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系和位置关系,进而形成解题 思路. 　 　一天,某校数学课外活动小组的同学们,带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆 锥形坑”的深度,来评估这些深坑对河的影响,如图是同学们选择(确保测量过程中无安全隐 患)的测量对象,测量方案如下: 　①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为 34.54 米； 　②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上,经过适当调整自己所处的位置,当他位于点 B 时,恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点 A 看到坑底 S(甲同学的视线起点 C 与点 A、点 S 三点共线),经测量知 AB=1.2 米,BC=1.6 米.根据以上测量数据,求“圆锥形坑”的深度(圆 锥的高).(π取 3.14,结果精确到 0.1 米)　〔分析〕　取圆锥底面圆心 O,连接 OS,OA.由题意知 OS∥BC,从而得出△SOA∽△CBA,再由 相似三角形的对应边成比例即可解答. 　解:如图,取圆锥底面圆心 O,连接 OS,OA, 　 则∠O=∠ABC=90°,OS∥BC, 　∴∠ACB=∠ASO. 　∴△SOA∽△CBA, 　∴OS BC=OA BA,∴OS=OA·BC BA . 　∵OA=34.54 2π ≈5.5,BC=1.6, AB=1.2, 　∴OS≈5.5 × 1.6 1.2 ≈7.3(米). 　答:“圆锥形坑”的深度约为 7.3 米.