28.2 解直角三角形及其应用
1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.
2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
3.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.
4.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
5.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问
题.
1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思
维能力的灵活性.
2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去
感知、迁移.
3.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知
识解决实际问题的能力.
4.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.
1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良
好的学习习惯.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数
学的信心.
3.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和
求知欲.
4.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力. 5.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的
科学态度.
【重点】
1.理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.
2.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.
3.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.
【难点】
理解并掌握解直角三角形的方法；正确理解题意,将实际问题转化为数学模型.
28.2.1 解直角三角形
1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.
2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去
感知、迁移.
1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良
好的学习习惯.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数
学的信心.
【重点】
理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法. 【难点】
理解并掌握解直角三角形的方法.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习、记忆特殊三角函数值.
导入一:
【复习提问】
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,则 a,b,c,∠A,∠B 这五个
元素之间有哪些等量关系呢?
【学生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五
个元素之间的关系.
【课件展示】
(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°；
(3)边角之间关系:sinA=a
c,cosA=b
c,tanA=a
b.
2.回忆 30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值.
导入二:
在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把 1972 年的情形抽象为数学问
题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,
垂足为 C(如图).在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求∠A 的度数.
【师生活动】 学生独立思考后回答,教师点评. sinA=BC
AB= 5.2
54.5≈0.0954.
利用计算器可得∠A≈5°28'.
【追问】 在 Rt△ABC 中,你还能求出其他的边和角吗?
【师生活动】 学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题.
[过渡语] 一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.在
直角三角形中,已知三角形的一些边角元素,我们可以求解直角三角形中的其他元素,什么情
况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容.
[设计意图] 通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课
的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过
已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.
一、共同探究
思路一
探究:
(1)在 Rt△ABC 中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2)在上图中,若 AC= 2,BC= 6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?
【师生活动】 小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生
的回答进行汇总归纳.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一
条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边；②已知一条边和一个锐角. 思路二
【思考】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素?
(1)已知直角三角形中的一个元素,能求其他元素吗?
(2)已知直角三角形中的两个元素,有几种可能的情况?
(一边和一角、两边、两角)
(3)举例说明已知直角三角形的两个元素,怎样求其他元素?
(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗?具体解法步骤是什么?
【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据
学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一
条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边；②已知一条边和一个锐角.
(4)解直角三角形的步骤:
图形 已知类型 已知条件 解法步骤
斜边,一直角边(如c,a)
(1)b= c2 - a2
(2)由 sin A=a
c求∠A
(3)∠B=90°-∠A两边
两直角边(a,b)
(1)c= a2 + b2
(2)由 tan A=a
b求∠A
(3)∠B=90°-∠A
一边一角 斜边,一锐角(如c,∠A)
(1)∠B=90°-∠A
(2)由 sin A=a
c,得
a=c·sin A
(3)由 cos A=b
c,得
b=c·cos A一直角边,一锐角(如a,
∠A)
(1)∠B=90°-∠A
(2)由 tan A=a
b,得 b= a
tanA
(3)由 sin A=a
c,得 c= a
sinA
[设计意图] 学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的
形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能
力.
二、例题讲解
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 2,BC= 6,解这个直角三角形.
教师引导分析:
(1)已知线段 AC,BC 是∠A 的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?
(2)已知∠A 的三角函数值可以求∠A 的度数吗?
(3)已知∠A 的度数怎样求∠B 的度数?
(4)你有几种方法可以求斜边 AB 的长?
【学生活动】 思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.
【课件展示】 解:∵tanA=BC
AC= 6
2= 3,
∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,
AB=2AC=2 2.
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数
点后一位).
教师引导分析:由∠B=35°,可得∠A= = °；由∠B=35°及它的对边
b=20,根据 可得 a= = ；由∠B=35°及它的对边 b=20,根据
可得 c= = .
【追问】 你还有其他方法求 c 的值吗? 【学生活动】 在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指
出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多
种方法求解.
【课件展示】 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.
∵tanB=b
a,∴a= b
tanB= 20
tan35°≈28.6.
∵sinB=b
c,∴c= b
sinB= 20
sin35°≈34.9.
[设计意图] 通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活
运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,
同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.
[知识拓展] (1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五
个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.
(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:①锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,
∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形:a= c2 - b2,b= c2 - a2,c= a2 + b2.
(3)边角之间的常用变形:a=c·sinA,b=c·cosA,a=b·tanA,a=c·cosB,b=c·sinB,b=
a·tanB.
(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求
边”和“宁乘不除”的原则.
(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.
(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.
1.解直角三角形的概念
2.直角三角形中五个元素之间的关系:
(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°；
(3)边角之间关系:sinA=a
c,cosA=b
c,tanA=a
b.
3.解直角三角形的基本类型及解法步骤(参考前面表格). 1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直
角三角形中:(1)两条边的长度；(2)两个锐角的度数；(3)一个锐角的度数和一条边的长度.
利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是 ( )
A.(1)(2) B.(1)(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
2.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a2+b2=c2,那么下列结论正确的是
( )
A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.ctanB=b
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则 AB 的长为 .
4.根据下列条件解直角三角形.
(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,b=4,c=8；
(2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,a=12.
【答案与解析】
1.B 解析:能解的直角三角形有两种:已知两边；已知一边和一锐角.故选 B.
2.A 解析:由 a2+b2=c2,得∠C=90°,∴sin A=a
c,cos B=a
c,tan A=a
b,tan B=b
a,∴csin A=a,
ccos B=a,btan A=a,atan B=b.故选 A.
3. 4 3 解析:∵cos B=BC
AB= 3
2 ,BC=6,∴AB= BC
cosB=4 3.
4.解:(1)∵∠C=90°,b=4,c=8,
∴a= c2 - b2= 82 - 42=4 3.
∵cos B=a
c= 3
2 ,∴∠B=30°,
∴∠A=180°-90°-30°=60°.
(2)∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=180°-90°-60°=30°.
∵tan A=tan 60°=a
b= 3,a=12,
∴b=4 3,∴c=2b=8 3.
28.2.1 解直角三角形
1.共同探究
3.例题讲解 例 1
例 2
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA=1
2,则∠B 等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则 BC 的长为 ( )
A.7sin35° B. 7
cos35°C.7cos35° D.7tan35°
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是 ( )
A.sinB= 5
5 B.cosB=2
5C.tanB=2 D.AB= 3
4.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AB=10,sinA=3
5,则 BC 的长为 ( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
5.如果等腰三角形的底角为 30°,腰长为 6cm,那么这个三角形的面积为 ( )
A.4.5cm2 B.9 3cm2C.18 3cm2 D.36cm2
6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则 a= .
7.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=5 2,则∠A= ,BC= .
8.如图,在 Rt△ABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cosB=4
5,则 AC= .
9.根据下列条件解直角三角形.
(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=5.
(2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,BC= 3.
10.如图,已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,E 为边 AC 的中点,BC=14,AD=12,sinB=4
5.求:(1)线段 DC 的长；
(2)tan∠EDC 的值.
【能力提升】
11.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,若 AB=4,sinA=3
5,则斜边 AB 上的高 CD 为 .
12.如图,在△ABC 中,AB=2,AC= 2,以点 A 为圆心,1 为半径的圆与边 BC 相切于点 D,则∠BAC
的度数是 .
13.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2 3,则 AB 的长为 .
14.如图,在菱形 ABCD 中,DE⊥AB 于点 E,cosA=3
5,BE=4,求 tan∠DBE 的值.
【拓展探究】
15.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线,过点 A 作 AE⊥CD,AE 分别与
CD,CB 相交于点 H,E,AH=2CH.
(1)求 sinB 的值；
(2)如果 CD= 5,求 BE 的长.【答案与解析】
1.C 解析:由 sinA=1
2,得∠A=30°,则∠B=90°-∠A=60°.故选 C.
2.C 解析:∵cosB=BC
AB=BC
7 ,∴BC=7cosB=7cos35°.故选 C.
3.A 解析:∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=1,BC=2,∴AB= 5,sinB= 5
5 ,cosB=2 5
5 ,tanB=1
2.故选
A.
4.A 解析:∵∠C=90°,AB=10,∴sinA=BC
AB=3
5,∴BC=3
5×10=6.故选 A.
5.B 解析:如图,作底边上的高 AD.若∠B=30°,AB=6cm,则 AD=ABsinB=6×1
2
=3(cm),BD=ABcosB=6× 3
2 =3 3(cm).∴BC=2BD=6 3cm,∴S△ABC=1
2AD·BC=1
2×3×6 3=9 3
(cm2).故选 B.
6.10 3
3 解析:∵cosA=b
c= 3
2 ,b=10,∴c=20 3
3 ,∴a=1
2c=10 3
3 .
7.45° 5 解析:∵cosA=AC
AB= 2
2 ,∴∠A=45°.∵∠C=90°,∴∠B=∠A=45°,∴BC=AC=5.
8.5 解析:∵在 Rt△ABC 中,cosB=4
5,∴sinB=3
5,tanB=sinB
cosB=3
4.在 Rt△ABD 中,AD=4,
∴AB= AD
sinB=4
3
5
=20
3 .在 Rt△ABC 中,∵tanB=AC
AB,∴AC=3
4×20
3 =5.
9.解:(1)根据勾股定理可得 AC= 102 - 52=5 3,又 sinA=BC
AB=1
2,∴∠A=30°,∴∠B=90°-
∠A=60°.
(2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠A=30°.又 sinA=BC
AB= 3
2 ,∴AB=2,由勾股定理可得
AC= 22 - ( 3)2=1.
10.解:(1)∵AD 是 BC 边上的高,∴△ABD 和△ACD 都是直角三角形.在 Rt△ABD 中,∵sinB=4
5,∴
AD
AB=4
5.又 AD=12,∴AB=15,∴BD= AB2 - AD2=9.又∵BC=14,∴CD=5. (2)在 Rt△ACD 中,∵E 为斜边 AC 的中点,∴ED=EC=1
2AC,∴∠C=∠EDC,∴tan∠EDC=
tanC=AD
DC=12
5 .
11.48
25解析:在 Rt△ABC 中,AB=4,sinA=3
5,∴BC=ABsinA=12
5 .根据勾股定理得 AC= AB2 - BC2=16
5 .
∵S△ABC=1
2AC·BC=1
2AB·CD,∴CD=AC·BC
AB =
16
5 × 12
5
4 =48
25.
12.105°解析:如图,连接 AD,则 AD⊥BC.在 Rt△ABD 中,AB=2,AD=1,则 sinB=AD
AB=1
2,
∴∠B=30°,∴∠BAD=60°.同理,在 Rt△ACD 中,得到∠CAD=45°,因而∠BAC 的度数是
105°.
13. 3+ 3解析:如图,过 C 作 CD⊥AB 于 D,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵∠B=45°,∴∠BCD=
∠B=45°,∴CD=BD.∵∠A=30°,AC=2 3,∴CD= 3,∴BD=CD= 3,由勾股定理得 AD=
AC2 - CD2=3,∴AB=AD+BD=3+ 3.
14.解:∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD=AB.∵cosA=3
5,BE=4,DE⊥AB,∴设 AD=AB=5x,AE=3x,则
5x-3x=4,∴x=2,即 AD=10,AE=6.在 Rt△ADE 中,由勾股定理得 DE= 102 - 62=8.在 Rt△BDE
中,tan∠DBE=DE
BE=8
4=2.
15.解:(1)∵AE⊥CD,∠ACB=90°,∴∠AHC=∠ACB=90°.∵CD 是 AB 上的中线,∴CD=AD=BD
=1
2AB,∴∠DAC=∠DCA,∠B=∠DCB,∴∠B=∠CAH.∵AH=2CH,∴CH∶AH∶AC=1∶2∶ 5,∴
sinB=
sin∠CAH=CH
AC= 5
5 .
(2)由(1)可知 AC∶BC∶AB=1∶2∶ 5,CE∶AC∶AE=1∶2∶ 5.∵CD= 5,∴AB=2 5,∴
AC=2,BC=4,CE=1,∴BE=BC-CE=4-1=3. 在教学设计中,通过回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系,为下一步
解直角三角形打下基础,再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性,激发学
生学习本节课的学习兴趣,同时解决章前导入问题,做到首尾呼应.通过解含有特殊角的直角
三角形的探究活动,归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤,由浅入深地引导探
究,学生更易于掌握本节课的重点和难点,同时培养了学生的归纳总结能力.通过例题学会灵
活运用直角三角形知识解决问题,加深对解直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题
的能力及严谨地求学精神.
本节课的重点是解直角三角形,教学设计中追求新理念在课堂中的应用,重视学生参与课
堂,所以教学设计中以问题为引领,小组合作交流为主要教学活动形式,预期学生课堂气氛活
跃,人人参与课堂,让每个学生体验成功的快乐,但在授课过程中过于追求形式,课堂中的讨
论交流只是流于形式,所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率.
复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系,为本节课的学习打下
基础,同时以生活实际问题导入新课,激发学生学习兴趣,调动学生学习的积极性.通过探究
已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程,很自然地引出解直角三角形的概念,学生经
历概念的形成过程,更利于理解与掌握.例题的分析讲解,让学生体会解直角三角形的方法,
提高学生学习能力,培养良好的思维习惯.
更新教学理念,提高课堂效率
(1)新课程改革要求:让学生通过交流、合作、讨论的方式,积极探索,改进学习方法,提高
学习质量,逐步形成正确地数学价值观.以这一理念为前提,在教学设计中以解决章前比萨斜
塔问题导入新课,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.在各个环节的教
学设计中,始终以学生活动为主,教师只是课堂的引导者,通过动手操作、动脑思考、小组合
作、共同归纳等数学活动,让学生参与课堂活动,注重学生对待学习的态度是否积极主动,注
重以问题形式引导学生从数学的角度去思考问题,同时利用尝试教学,让学生暴露思维过程,通过学生之间的质疑解决问题.在课堂上留给学生足够的空间思考和展示自己,让学生在充
满情感的、和谐的课堂氛围中体验成功的快乐,从而提高了学生在课堂上的学习效率.
(2)本节课是《解直角三角形》的第一课时,在本章内容中起着承上启下的作用,通过前边
学过的三角函数知识,结合勾股定理和直角三角形中的有关性质,求出直角三角形中的未知
元素是本节课的重点,它是下节课解决实际问题的基础,要注重培养学生数学能力和数学思
维的提高.
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 AC,AB
分别交于点 D,E,且∠CBD=∠A,若 AD∶AO=8∶5,BC=2,求 BD 的长.
解:连接 DE.
∵AE 是☉O 的直径,
∴∠ADE=90°.
∵AD∶AO=8∶5,
∴cosA=AD
AE=4
5.
∵∠C=90°,∠CBD=∠A,
∴cos∠CBD=BC
BD=4
5.
∵BC=2,∴BD=5
2.
如图,AC 是矩形 ABCD 的对角线,AB=2,BC=2 3,点 E,F 分别是线段 AB,AD 上的点,连
接 CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且 CE=CF 时,AE+AF= .
4
3 3 〔解析〕 如图,作 FG⊥AC 于 G,易证△BCE≌△GCF,∴BE=GF,BC=CG.在 Rt△ABC 中,
tan∠ACB=AB
BC= 2
2 3= 3
3 ,∴∠ACB=30°,AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°.∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE.设 BE=x,在 Rt△AFG 中,AG= 3GF= 3x,∴AC=AG+CG= 3x+2 3=4,
解得 x=4
3 3-2,∴AE+AF=AB+BE=2+4
3 3-2=4
3 3.
28.2.2 应用举例
1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.
2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问
题.
1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知
识解决实际问题的能力.
2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.
3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培
养学生思维能力的灵活性.
1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和
求知欲.
2.通过自主学习、合作交流,体验成功的快乐,增强学习数学的自信心,培养学生勇于探索
的创新精神.
3.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的
科学态度.
【重点】
1.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.
2.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系. 【难点】
正确理解题意,将实际问题转化为数学问题.
第 课时
1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实
际问题.
2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实
际问题.
1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.
2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、
发展、应用过程,并发展学生的动手能力.
3.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活.
1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问
题的有效工具.
2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探
索的创新精神.
3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程
中体会学数学、用数学的乐趣.
【重点】
能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.
【难点】 正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.
导入一:
【复习提问】
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.
(1)三边 a,b,c 有什么关系?
(2)∠A,∠B 有怎样的关系?
(3)边与角之间有怎样的关系?
2.解直角三角形应具备怎样的条件?
【师生活动】 学生回答问题,教师点评归纳.
导入二:
如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要
满足 50°≤α≤75°.现有一架长 6m 的梯子.
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?
(2)当梯子底端距离墙面 2.4m 时,α 等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?
【师生活动】 学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困
难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课. [设计意图] 通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问
题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激
发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.
[过渡语] 刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还
有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!
一、活动一
2012 年 6 月 18 日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实
现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行,
如图,当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什
么位置?最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为 6400km,π取 3.142,结果取整数)?
思路一
师生合作探究:
(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.
(2)根据题意画出平面图形.
(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?
(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?
(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?
(如图②,☉O 表示地球,点 F 是组合体的位置,FQ 是☉O 的切线,切点 Q 是从组合体中观测
地球时的最远点.弧 PQ 的长就是地面上 P,Q 两点间的距离.为计算弧 PQ 的长需先求出
∠POQ(即 α)的度数)
【师生活动】 教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已
知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程. 【课件展示】 解:设∠POQ=α,在图②中,FQ 是☉O 的切线,△FOQ 是直角三角形.
∵cosα=OQ
OF= 6400
6400 + 343≈0.9491,
∴α≈18.36°.
∴弧 PQ 的长为18.36π
180 ×6400≈18.36 × 3.142
180 ×6400≈2051(km).
由此可知,当组合体在 P 点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051km.
思路二
教师引导思考:
(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)
(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)
(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)
学生操作:画出平面示意图.
(4)最远点与 P 点的距离在示意图中指的是什么的长?
(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?
(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?
【师生活动】 学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,
课件展示解题过程,规范解题格式.
【课件展示】 解答同思路一.
[设计意图] 引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量
关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思
想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.
二、活动二
【思考】 平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?
【归纳】 视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方
的角是俯角. 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°,看这栋楼底部的俯角为 60°,
热气球与楼的水平距离为 120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
教师引导分析:
(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图)
(2)分析题意,已知条件有哪些?
(3)你能直接求出 AB 的长吗?
(4)如何求出 BC 的长?(线段 BD 与线段 CD 的和)
(5)在 Rt△ABD 中,能否求线段 BD 的长?
(6)在 Rt△ACD 中,能否求线段 CD 的长?
【师生活动】 教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发
现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.
【课件展示】 解:如图,α=30°,β=60°,AD=120.
∵tanα=BD
AD,tanβ=CD
AD,
∴BD=AD·tanα=120×tan30°
=120× 3
3 =40 3,
CD=AD·tanβ=120×tan60°
=120× 3=120 3.
∴BC=BD+CD=40 3+120 3
=160 3≈277(m).
因此,这栋楼高约为 277m.
[设计意图] 学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生
体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知
识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.
三、活动三:
【思考】 你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励
为主,将学生的回答补充完整.
【归纳】
(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
[设计意图] 通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和
建模思想.
[知识拓展] 仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.
用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:
(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
1.如图,由 D 点测塔顶 A 点和塔基 B 点的仰角分别为 60°和 30°.已知塔基高出地平面
20 米(即 BC 长为 20 米),塔身 AB 的高为 ( )
A.60 米 B.40 3米 C.40 米 D.20 米
2.如图,一飞机从一地平面指挥台 C 正上方 2000 米 D 处经过,沿水平方向飞行,稍后到达 B
点,这时从地平面指挥台看飞机的仰角为 45°,1 分钟后,飞机到达A点,这时从地平面指挥台
看飞机的仰角为 30°,则飞机从 B 到 A 的速度(精确到 1 米)是 ( )
A.1461 米/分 B.1462 米/分 C.1463 米/分 D.1464 米/分
3.如图,从山顶 A 处看地面 C 点的俯角为 45°,看地面 D 点的俯角为 30°,测得 CD=100 米,
求山 AB 的高度.(结果保留根号)【答案与解析】
1.C 解析:∵∠ADC=60°,∠BDC=30°,∴∠ADB=30°,∠A=30°,∴AB=BD.在 Rt△BCD
中,BC=20,BD= 20
sin 30°=40,∴AB=40 米,∴塔身的高为 40 米.故选 C.
2.D 解析:由题意知在 Rt△ADC 中,AD=2000 3米.在 Rt△BDC 中,BD=CD=2000 米,则
AB=(2000 3-2000)米,由此求得飞机的速度约为 1464 米/分.故选 D.
3.解:设山 AB 的高度为 x 米.
在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,
∴BD= AB
tan 30°= 3x.
在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°,
∴BC=x,
∴CD=DB-BC= 3x-x=100,
∴x=50 3+50.
答:山 AB 的高度为(50 3+50)米.
第 1 课时
1.活动一
2.活动二
3.活动三
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成 30°角时,测得旗杆 AB 在
地面上的影长 BC 为 24 米,那么旗杆 AB 的高度是 ( )A.12 米 B.8 3米 C.24 米 D.24 3米
2.如图,为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度,在距离树的底端 30 米的 B 处,测得树顶 A 的
仰角∠ABO 为α,则树 OA 的高度为 ( )
A. 30
tanα米 B.30sinα米 C.30tanα米 D.30cosα米
3.如图,小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距
离 BE 为 5m,AB 为 1.5m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是 ( )
A.(5 3
3 + 3
2)m B.(5 3 + 3
2)mC.5 3
3 m D.4m
4.一棵树因雪灾于 A 处折断,如图,测得树梢触地点 B 到树根 C 处的距离为 4 米,∠ABC 约 45°,
树干 AC 垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为 米(答案保留根号).
5.如图,两建筑物的水平距离 BC 为 18m,从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 30°,测得 C 点的俯角β
为 60°,则建筑物 CD 的高度为 m. 6.如图,张华同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为 30°,旗杆底部 B 点
的俯角为 45°.若旗杆底部 B 点到建筑物的水平距离 BE=9 米,旗杆台阶高 1 米,求旗杆顶点 A
离地面的高度.(结果保留根号)
【能力提升】
7.如图,小阳发现垂直于地面的电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,量得 CD=
8 米,BC=20 米,CD 与地面成 30°角,且此时测得垂直于地面的 1 米杆的影长为 2 米,则电线杆
的高度为 ( )
A.9 米 B.28 米 C.(7+ 3)米 D.(14+2 3)米
8.如图,在建筑平台 CD 的顶部 C 处,测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45°,测得大树 AB 的底
部 B 的俯角为 30°,已知平台 CD 的高度为 5m,则大树的高度为 m(结果保留根号).
9.如图,为了知道空中一静止的广告气球 A 的高度,小宇在 B 处测得气球 A 的仰角为 18°,他
向前走了 20m 到达 C 处后,再次测得气球 A 的仰角为 45°,已知小宇的眼睛距地面 1.6m,则此
时气球 A 距地面的高度约为 (结果精确到 1m). 10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高 5 米的小区超市,超市以
上是居民住房.在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的
夹角为 32°时.
(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?
(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?
结果保留整数,参考数据:sin32°≈ 53
100,cos32°≈106
125,tan32°≈5
8
【拓展探究】
11.如图,在电线杆上的 C 处引拉线 CE,CF 固定电线杆,拉线 CE 和地面成 60°角,在离电线杆
6 米的 B 处安置测角仪,在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30°,已知测角仪 AB 高为 1.5 米,
求拉线 CE 的长(结果保留根号).
【答案与解析】
1.B解析:在Rt△ABC中,BC=24米,tan∠ACB=AB
BC,∴AB=BC·tan30°=24× 3
3 =8 3(米).故选B.
2.C 解析:由题意得 OB=30 米,tanα=OA
OB,∴OA=OBtanα=30tanα(米).故选 C.
3.A 解析:在 Rt△ACD 中,∠CAD=30°,AD=BE=5m,∴CD=ADtan30°=5× 3
3 =5 3
3 (m),
∴CE=CD+DE=CD+AB=(5 3
3 + 3
2)m.故选 A.4.(4+4 2)解析:在△ACB 中,∠C=90°,∵∠ABC=45°,∴∠A=45°,∴∠ABC=∠A,∴AC=BC.
∵BC=4,∴AC=4.由 AC2+BC2=AB2，得 AB= AC2 + BC2=4 2,∴此树在未折断之前的高度为(4+4
2)米.
5.12 3解析:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,则四边形 BCDE 是矩形.根据题意得∠ACB=β
=60°,∠ADE=α=30°,BC=18m,∴DE=BC=18m,CD=BE.在 Rt△ABC 中,AB=BC·tan∠ACB=18×
tan60°=18 3(m).在 Rt△ADE 中,AE=DE·tan∠ADE=18×tan30°=6 3(m),
∴DC=BE=AB-AE=18 3-6 3=12 3(m).
6.解:如图,作CH⊥AB 于 H.在 Rt△ACH 中,∵∠ACH=30°,tan30°=AH
CH,∴AH=CH·tan30°=9×
3
3 =3 3(米).在Rt△CHB中,∵∠HCB=45°,tan45°=HB
CH,∴BH=CH·tan45°=9米,∴旗杆顶点
A 离地面的高度为 AH+BH+1=10+3 3（米）.
7.D 解析:如图,延长 AD 交 BC 的延长线于 F 点,作 DE⊥CF 于 E 点.DE=8sin30°=4,CE=
8cos30°=4 3.∵测得 1 米杆的影长为 2 米，∴EF=2DE=8,∴BF=BC+CE+EF=20+4 3+8=28+4
3,∴电线杆 AB 的高度是1
2(28+4 3)=14+2 3(米).故选 D.
8.(5+5 3)解析:作 CE⊥AB 于点 E.在 Rt△BCE 中,BE=CD=5m,CE= BE
tan30°=5 3m.在 Rt△ACE
中,AE=CE·tan45°=5 3m,∴AB=BE+AE=5+5 3（m）.
9.11m 解析:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,交 FG 于点 E.∵∠AGE=45°, ∴AE=GE.在
Rt△AFE 中,设 AE 长是 xm,则 tan∠AFE=AE
EF,即 tan18°= x
x + 20,解得 x≈9.6.由题意知
ED=FB=1.6,∴AD≈9.6+1.6=11.2≈11(m).10.解:(1)受影响.理由如下:如图,延长光线交 CD 于 F,作 FE⊥AB 于 E.在 Rt△AEF 中,
tan∠AFE=tan32°=AE
EF=AE
15≈5
8,解得 AE≈75
8 =93
8,故可得 FC=EB=20-93
8=105
8>5,即超市以上的居民
住房采光要受影响.
(2)要使采光不受影响,则 EB=5 米,AE=15 米,tan32°=15
EF≈5
8,解得 EF≈24 米,即要使超市以
上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距 24 米.
11.解:如图,过点 A 作 AH⊥CD,垂足为 H.由题意可知四边形 ABDH 为矩形,∠CAH=30°,
∴DH=AB=1.5,AH=BD=6.在 Rt△ACH 中,tan∠CAH=CH
AH,∴CH=AH·tan∠CAH,∴CH=6tan30°=
6× 3
3 =2 3.∵DH=1.5,∴CD=2 3+1.5.在 Rt△CDE 中,∵∠CED=60°,sin∠CED=CD
CE,
∴CE= CD
sin60°=2 3 + 1.5
3
2
=4+ 3(米).答:拉线 CE 的长为(4+ 3)米.
本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型,
把实际问题转化为数学问题,通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及
巩固练习等教学设计,学生在教师的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,
充分调动学生参与课堂的积极性,让学生敢于提出问题、分析问题,使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展,提高了解决问题的能力,课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构建
模型的解决方法,很好地达到了本节课的教学目的.
本节课是锐角三角函数的应用举例,学生对教材例 1 画出示意图,建立数学模型的理解
较难,给学生思考、交流时间较少,造成学生认为本节课的学习较难,失去了学习兴趣,在以后
对例 1 的教学中,教师多设计几个问题引导学生思考,给学生较长时间交流、计算,把理解的
难度通过问题降低.另外,对基础较差的学生,对该数学的应用不是那么得心应手,不会合理
找出边角关系,所以在以后教学中不宜多讲,多给学生时间思考与交流.
本节课是解直角三角形的应用,难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,在教学
设计中,应该把注意力集中在学生的思维上,提高学生的思维品质,在课堂上,学生在教师提
出的问题的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,画出示意图,构建出数
学模型,然后独立完成解答,最后归纳解题思路和步骤,让课堂真正成为学生活动的场所,成
为展示自我的舞台,达到提高学生分析问题、解决问题的能力、提高学生数学思维的目的.
培养数学建模思想
(1)解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学,它是
把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题,对学生的分析问题能力要求较高,是学生
学习本章内容的难点.解决实际问题的过程是先把实际问题抽象出数学问题,通过解决数学
问题得到实际问题的答案.通过体验数学模型思想和数学建模过程,培养学生应用意识,发展
数学抽象能力,以及分析问题、解决问题的能力.同时这种处理方式符合学生的认知规律,有
利于调动学生学习的积极性,多种多样的实际问题能够激发学生学习数学的兴趣.
(2)课堂是学生活动的场所,是他们展示自我的舞台,在教学设计中,精心设计学生的数学
活动,让学生在教师的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究、归纳总结等数学活动,
调动学生参与课堂的积极性,提高学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的数学思维,使
不同层次的学生在数学课堂上都得到发展.
第 课时 1.了解方位角等有关概念,能准确把握所指的方位角是指哪一个角.
2.了解坡度、坡角的有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.
3.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实
际问题.
1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学
知识解决实际问题的能力.
2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体
会数形结合思想的应用.
3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题
和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.
1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和
求知欲.
2.在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体
会数学的应用价值.
3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培
养学生良好的学习习惯.
4.在合作交流的学习过程中,提高学生的合作意识及团队精神.
【重点】
用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.
【难点】
准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.导入一:
【复习提问】
1.在练习本上画出方向图(表示东南西北四个方向的).
2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东 65 度、南偏东 34 度方向的射线.
【师生活动】 学生动手画图,小组内交流答案,教师巡视过程中发现学生易犯错误,作出
点评.
导入二:
如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图,水库大坝的横断面
是梯形,坝顶宽 6m,坝高 23m,斜坡 AB 的坡度 i=1∶3,斜坡 CD 的坡度 i=1∶2.5,求斜坡 AB 的
坡角 α,坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长.
【师生活动】 教师课件展示实际问题,学生审题,面对学生对没学过的概念的疑惑,教师
导出本节课课题.
[过渡语] 在这个实际问题中,什么是坡度、坡角?如何解决这个实际问题?这就是我们
这节课要学习的内容.
[设计意图] 通过复习有关方位角的概念,为本节课探究例题做好铺垫.以有关斜坡问题
的生活实例导入新课,让学生体会数学在生活中无处不在,同时激发学生的好奇心和求知欲.
一、 探究一
如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向,距离灯塔 80nmile 的 A 处,它沿正南方向航
行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处.这时,B 处距离灯塔 P 有多远(结
果取整数)? 思路一
教师引导分析:
(1)要求 BP 的长,常作的辅助线是什么?(构造直角三角形)
(2)在 Rt△BPC 中,要求 BP 的长,已知什么?需要求什么?
(3)题目中的已知条件是什么?在哪个直角三角形中?
(4)在 Rt△APC 中,根据已知条件可以求出什么?
(5)结合(2),只要求出哪条线段的长即可?(线段 PC 的长)
(6)根据以上分析,你能写出解答过程吗?
【师生活动】 学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及
时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,学生点评与总结.
解:在 Rt△APC 中,
PC=PA·cos(90°-65°)
=80·cos25°≈72.505.
在 Rt△BPC 中,∠B=34°,
∵sinB=PC
PB,
∴PB= PC
sinB≈ 72.505
sin34°≈72.505
0.559 ≈130(nmile).
因此,当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处时,它距离灯塔 P 大约 130nmile.
思路二
【学生活动】
(1)根据题意,自己画出示意图.
(2)分析题意,写出解答过程.
(3)小组内成员交流答案.
【教师活动】
(1)巡视过程中及时辅导,帮助有困难的学生,引导学生从不同角度思考问题. (2)展示学生的成果,让学生进行点评.
(3)规范解题格式,强调解决实际问题的关键.
【课件展示】 同思路一
[设计意图] 通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体
会数形结合思想和建模思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实
际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.
二、探究二
活动一:
认识有关概念:
【课件展示】 坡度:坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用
i 表示.即 i=h
l,常写成 i=1∶m 的形式.
坡角:把坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角.
【思考】 坡度 i 与坡角 α 之间具有什么关系?
(i=h
l=tanα)
【师生活动】 学生小组合作交流,归纳结论,教师点评.
活动二:
解决课前导入问题:
如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽 6m,坝高 23m,斜坡 AB 的坡度 i=1∶3,斜坡 CD 的坡
度 i=1∶2.5,求斜坡 AB 的坡角 α(精确到 1'),坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1m).
〔解析〕 (1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的
知识求坡角.
(2)根据坡度的概念及梯形的高,可以求出 AE,DF 的长.
(3)由矩形的性质可得 EF 与 BC 的数量关系,求出 EF 的值,从而求出 AD 的长. (4)在 Rt△ABE 中,由勾股定理或三角函数的定义可得 AB 的长.
【师生活动】 教师引导学生分析问题,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小
组代表板书过程,教师进行点评.
【课件展示】 解:在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中,
BE
AE=1
3,CF
FD= 1
2.5,
∴AE=3BE=3×23=69(m),
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
∵斜坡 AB 的坡度 i=tanα=1
3≈0.3333,
∴α≈18°26'.
在 Rt△ABE 中,AB= AE2 + BE2= 692 + 232≈72.7(m).
答:斜坡 AB 的坡角 α 约为 18°26',坝底宽 AD 为 132.5m,斜坡 AB 的长约为 72.7m.
[设计意图] 通过利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,培养学生逻辑思维能力及
良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计
算,培养学生运算能力.
三、共同归纳
[过渡语] 通过两节课的学习,你能归纳出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一
般过程是什么吗?
【师生活动】 学生小组讨论,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题过程:
【课件展示】
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
[设计意图] 通过归纳总结用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程,培养学生归纳
总结能力,提高学生的数学思维.
[知识拓展] (1)解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形
求解. (2)坡度也叫坡比,即 i=h
l,一般写成 i=1∶m 的形式(比的前项是 1,后项可以是整数,也可以
是小数或根式).
(3)坡度 i 与坡角 α 之间的关系为 i=tanα.
(4)坡角越大,坡度越大,坡面越陡.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
1.测得某坡面垂直高度为 2m,水平宽度为 4m,则坡度为 ( )
A.1∶ 5
2 B.1∶ 5 C.2∶1 D.1∶2
2.某人上坡沿直线走了 50m,他升高了 25 2m,则此坡的坡度为 ( )
A.30° B.45° C.1∶1 D.1∶ 2
3.某时刻海上点 P 处有一客轮,测得灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30°方向,且相距 20 海里.
客轮以 60 海里/时的速度沿北偏西 60°方向航行2
3小时到达 B 处,那么 tan∠ABP
为 .
4.如图,市政府准备修建一座高 AB=6m 的过街天桥,已知天桥的坡面 AC 与地面 BC 的夹角∠
ACB 的余弦值为4
5,则坡面 AC 的长度为 m. 5.如图,甲船在港口 P 的北偏西 60°方向,距港口 80 海里的 A 处,沿 AP 方向以 12 海里/时
的速度驶向港口 P.乙船从港口 P 出发,沿北偏东 45°方向匀速驶离港口 P,现两船同时出发,2
小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.(精确到 0.1 海里/时,参考数据:
2≈1.41)
【答案与解析】
1.D 解析:由坡度等于坡面垂直高度与水平宽度的比得坡度为 2∶4=1∶2.故选 D.
2.C 解析:如图,AC= 502 - (25 2)2=25 2(m).由坡度公式得 i=h
l=25 2
25 2=1∶1.故选 C.
3.1
2 解析:∵灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30°方向,且相距 20 海里,∴PA=20 海里.∵客轮
以 60 海里/时的速度沿北偏西 60°方向航行2
3小时到达 B 处,∴∠APB=90°,BP=60×2
3=40(海
里),∴tan∠ABP=AP
BP=20
40=1
2.
4. 10 解析:在 Rt△ABC 中,cos∠ACB=BC
AC=4
5.设 BC=4x,AC=5x,则 AB=3x,则 sin∠ACB=AB
AC=3
5.
又∵AB=6 m,∴AC=10 m.
5.解:设乙船的速度为 x 海里/时,2 小时后甲船在点 B 处,乙船在点 C 处,作 PQ⊥BC 于 Q,
则 BP=80-2×12=56,PC=2x.
在 Rt△PQB 中,∠BPQ=60°,
∴PQ=BPcos 60°=56×1
2=28.
在 Rt△PQC 中,∠QPC=45°,
∴PQ=PC·cos 45°= 2x,
∴ 2x=28,∴x=14 2≈19.7.
答:乙船的航行速度约为 19.7 海里/时. 第 2 课时
1.探究一
2.探究二
3.共同归纳
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图,某商场自动扶梯的长 l 为 10 米,该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米,自动扶梯与地面所
成的角为θ,则 tanθ等于 ( )
A.3
4 B.4
3 C.3
5 D.4
5
2.如图,小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处)在她
家北偏东 60°方向 500m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是 ( )
A.250m B.250 3m C.500
3 3m D.250 2m
3.一段公路的坡度为 1∶3,某人沿这段公路路面前进 100 米,那么他上升的最大高度是
( )
A.30 米 B.10 米 C.30 10米 D.10 10米
4.一只船向正东方向航行,上午 7 时在灯塔 A 的正北方向的 C 处,上午 9 时到达灯塔 A 的北偏
东 60°方向的 B 处,已知船的速度为每小时 20 千米,那么 AB 的长是 ( )
A.10 3
3 千米 B.20 3
3 千米 C.40 3
3 千米 D.80 3
3 千米
5.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i=1∶2.4,如果它把物体送到离地面 10 米高的地方,
那么物体所经过的路程为 米. 6.一只船向正东方向航行,上午 9 点到达一座灯塔的西南方向 68 海里处,上午 11 点到达这座
灯塔的正南方向,这只船航行的速度是 海里/时.(答案可带根号)
7.如图,沿江堤坝的横断面是梯形 ABCD,坝顶 AD=4m,坝高 AE=6m,斜坡 AB 的坡比 i=1∶2,∠
C=60°,求斜坡 AB,CD 的长.
8.如图,一船在 A 处测得北偏东 45°方向有一灯塔 B,船向正东方向以每小时 20 海里的速度
航行 1.5 小时到达 C 处时,又观测到灯塔 B 在北偏东 15°方向上,求此时船与灯塔相距多少
海里.
【能力提升】
9.如图,一游人由山脚 A 沿坡角为 30°的山坡行走 600m,到达一个景点 B,再由 B 沿山坡 BC
行走 200m 到达山顶 C,若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45°,则山高 CD 等于 (结
果用根号表示).
10.如图,一艘轮船航行到 B 处时,测得小岛 A 在船的北偏东 60°的方向,轮船从 B 处继续向
正东方向航行 200 海里到达 C 处时,测得小岛 A 在船的北偏东 30°的方向.已知在小岛周围
170 海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,轮船有无触礁的危险?( 3≈1.732)
11.如图,某渔船在小岛 O 南偏东 75°方向的 B 处遇险,在小岛 O 南偏西 45°方向 A 处巡航的
中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛 O 相距 8 海里,渔船在中
国渔政船的正东方向上.
(1)求∠BAO 与∠ABO 的度数(直接写出答案)；(2)若中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往 B 处救援,能否在 1 小时内赶到?请
说明理由.(参考数据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27, 2≈1.41, 6≈2.45)
【拓展探究】
12.如图,某气象台测得“苹果 1 号”台风的中心在A 地,A 地在 B 城的正西方向 300km 处,台
风中心正以 50km/h 的速度沿北偏东 60°的方向移动.距台风中心 250km 范围内的区域都会
受到台风的影响.
(1)B 城是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)如果 B 城会受到台风的影响,那么受到影响的时间有多长?
【答案与解析】
1.A 解析:由勾股定理可得另一直角边的长为 102 - 62=8,所以 tanθ=6
8=3
4.故选 A.
2.A 解析:由已知得∠AOB=30°,OA=500m,则 AB=1
2OA=250m.故选 A.
3.D 解析:如图,在 Rt△ABC 中,tanA=1
3,AB=100 米.设 BC=x 米,则 AC=3x 米.根据勾股定理,得
x2+(3x)2=1002,解得 x=±10 10(负值舍去).故选 D.
4.D 解析:如图,由题意得 BC=20×2=40(千米),∠A=60°,∴sinA=sin60°=BC
AB,∴ 3
2 =40
AB,解得
AB=80 3
3 千米.故选 D.
5. 26 解析:如图,由题意得斜坡 AB 的坡度为 i=1∶2.4,AE=10 米,AE⊥BD.∵i=AE
BE= 1
2.4,∴BE=24 米.在 Rt△ABE 中,AB= AE2 + BE2=26（米）.
6. 17 2解析:如图,由题意知∠M=45°,PM=68,则在 Rt△PNM 中,cosM=MN
MP,即MN
68= 2
2 ,
∴MN=34 2,∴这只船航行的速度为= 34 2
11 - 9=17 2(海里/时).
7.解:∵斜坡 AB 的坡比 i=1∶2,∴AE∶BE=1∶2.又 AE=6m,∴BE=12m,∴AB= 62 + 122=6 5
(m),作 DF⊥BC 于 F(如图),则得矩形 AEFD,有 DF=AE=6m.∵∠C=60°,∴CD= DF
sin60°=4 3(m).
答:斜坡 AB,CD 的长分别是 6 5m,4 3m.
8.解:如图,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,过 C 作 CE⊥AC,交 AB 于 E.在 Rt△ACD 中,
∠DAC=45°,AC=20×1.5=30,∴CD=ACsin45°=30× 2
2 =15 2.在 Rt△BCD 中,∠BCD=∠BCE+
∠ECD=45°+15°=60°,∴BC= CD
cos60°=30 2(海里).答:此时船与灯塔相距 30 2海里.
9. (100 2+300)m 解析:过 B 作 BF⊥AD 于 F,BE⊥CD 于 E,如图.∵在山顶 C 处观测到景点 B
的俯角为 45°,∴△BEC 为等腰直角三角形,而 BC=200m,∴CE= 2
2 BC=100 2（m）.
∵∠A=30°,AB=600m,∴BF=1
2AB=300m,∴CD=CE+ED=100 2+300（m）.10. 解:该轮船不改变航向继续前行,无触礁的危险.理由如下:如图,作 AD⊥BC 于 D,则有
∠ABD=30°,∠ACD=60°,∴∠CAB=∠ABD,∴AC=BC=200 海里.在 Rt△ACD 中,设 CD=x 海里,则
AC=2x,AD= AC2 - CD2= (2x)2 - x2= 3x,在 Rt△ABD 中,AB=2AD=2 3x,BD= AB2 - AD2=
(2 3x)2 - ( 3x)2=3x.又∵BD=BC+CD,∴3x=200+x,∴x=100.∴AD= 3x=100 3≈173.2.
∵173.2 海里>170 海里,∴轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.
11.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°. (2)能.过点 O 作 OC⊥AB 于点 C,如图,则△AOC 与△BOC
都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO=15°,∴△AOC 是等腰直角三角形,∴AC=OC.在
Rt△AOC 中,AC=OAcos45°=8× 2
2 =4 2≈5.64,∴OC=AC≈5.64.在 Rt△BOC 中,BC= OC
tan∠ABO≈
5.64
tan15°≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中国渔政船的速度是每小时 28 海
里,∴中国渔政船能在 1 小时内赶到.
11. 解:(1)如图,过点B 作 BD⊥AC 于点 D.∵台风中心正以 50km/h 的速度沿北偏东 60°的方
向移动,∴∠CAB=30°.∵AB=300km,∴BD=1
2AB=1
2×300=150(km),150km
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