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周练(六)　平面向量的数量积 平面向量应用举例 ‎(时间：80分钟　满分：100分)‎ 一、选择题(每小题5分，共40分)‎ ‎1．已知|a|＝，|b|＝4，且a与b的夹角为，则a·b的值是(　　)．‎ A．1 B.±‎1 ‎‎ C．2 D.±2‎ 解析　a·b＝|a|·|b|·cos＝×4×＝1.‎ 答案　A ‎2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　)．‎ A．1 B. C．2 D.或2‎ 解析　|a－b|＝＝ ‎＝＝＝＝2.‎ 答案　C ‎3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)．‎ A. B. ‎ C. D. 解析　a·b＝3＋2＝5，|a|＝，|b|＝，设夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ 答案　B ‎4．(2012·泉州测试)在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是 ‎(　　)．‎ A．5 B.－5 ‎ C. D.－ 解析　∵∠C＝90°，∴·＝0，∴(－)·＝0，即(k－2，－2)·(2,3)＝0，解得k＝5.故选A.‎ 答案　A ‎5．某人在高为h米的楼上水平抛出一石块，速度为v，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是(　　)．‎ A．v B.|v| C．v D.|v| 解析　在竖直方向运动的时间由h＝gt2，解得t＝ ，故在水平方向的位移大小为|v|.‎ 答案　B ‎6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，如果(‎3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为 ‎(　　)．‎ A. B. ‎ C. D. 解析　(‎3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(‎5m－3)a·b－5b2＝0⇒‎3m·32＋(‎5m－3)·3×2cos 60°－5×22＝0，解之得m＝.‎ 答案　C ‎7．(2012·烟台高一检测)若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为 ‎(　　)．‎ A. B. ‎ C. D. 解析　设a与b的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝，‎ ‎∴a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.‎ 答案　A ‎8．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为(　　)．‎ A．40 N B.10 N ‎ C．20 N D.10 N 解析　由题意，知|F1|＝|F2|＝10 N，当其夹角为120°时，利用平行四边形法则可构造一个菱形，其合力大小等于10 N.‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎9．设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.‎ 解析　∵m⊥b，∴m·b＝0.‎ 即2x－y＝0.‎ 又|m|2＝x2＋y2＝1，‎ 解得或 ‎∴|x＋2y|＝.‎ 答案　 ‎10．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长‎1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．‎ 解析　由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小 ‎|F|＝×20 N＝10 N，‎ ‎∴W＝|F|·|s|＝10 J.‎ 或由斜面高为 m，‎ W＝|G|·h＝20× J＝10 J.‎ 答案　10 J ‎11．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b 垂直，则直线l的方程为________．‎ 解析　a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)．‎ 设P(x，y)为所求直线上任意一点，则 ＝(x－3，y＋1)．‎ ‎∵·(a＋2b)＝0，‎ ‎∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，‎ 整理得2x－3y－9＝0.‎ ‎∴2x－3y－9＝0即为所求直线方程．‎ 答案　2x－3y－9＝0‎ ‎12．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________．‎ 解析　·＝(＋)· ‎＝·＋· ‎＝||2＝1.‎ 答案　1‎ 三、解答题(每小题10分，共40分)‎ ‎13．设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0≤α≤2π)，b＝，a与b不共线．‎ ‎(1)证明向量a＋b与a－b垂直；‎ ‎(2)当两个向量a＋b与a－b的模相等时，求角α.‎ ‎(1)证明　a＋b＝，a－b＝，‎ ‎(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，‎ ‎∴(a＋b)⊥(a－b)．‎ ‎(2)解　由题意：(a＋b)2＝(a－b)2得：a·b＝0，‎ ‎∴－cos α＋sin α＝0，‎ 得tan α＝，又0≤α