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周练(五)　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎(时间：80分钟　满分：100分)‎ 一、选择题(每小题5分，共40分)‎ ‎1．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 ‎(　　)．‎ ‎①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2成立的λ，μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数k，使λ2e1＋μ2e2＝k(λ1e1＋μ1e2)；④若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.‎ A．①② B.②③ ‎ C．③④ D.②‎ 解析　②λ，μ只有一对；③λ1e1＋μ1e2可能为0，则k可能不存在或有无数个．‎ 答案　B ‎2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)．‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝ 解析　在选项A中，e1＝0，它与平面内任意向量共线，不能作为基底，在选项C中，e2＝2e1，它们共线，不能作为基底；在选项D中，e1＝4e2，它们共线，不能作为基底．故选B.‎ 答案　B ‎3．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是 ‎(　　)．‎ A．(1,0) B.(－1,0) ‎ C．(1，－1) D.(－1,1)‎ 解析　设D(x，y)，‎ ＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)，‎ ＝(x，y)－(2,0)＝(x－2，y)．‎ ‎∵＋＝0，‎ ‎∴(1,1)＋(x－2，y)＝(0,0)，‎ ‎∴∴即D(1，－1)．‎ 答案　C ‎4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)．‎ A. B.2 ‎ C．－ D.－2‎ 解析　ma＋4b＝(‎2m－4,‎3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，‎ 由－(‎2m－4)－4(‎3m＋8)＝0，得m＝－2.‎ 答案　D ‎5．已知△ABC的两个顶点A(3,7)和B(－2,5)．若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是(　　)．‎ A．(2，－7) B.(－7,2)‎ C．(－3，－5) D.(5,3)‎ 解析　设C(x，y)，则根据中点公式，有＝0，＝0，解得x＝2，y＝－7.‎ 答案　A ‎6．已知a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝(　　)．‎ A. B.－ ‎ C. D.－ 解析　由已知得，3cos α－4sin α＝0，所以tan α＝，故选A.‎ 答案　A ‎7．(2012·厦门高一检测)若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于 ‎(　　)．‎ A．a＋λb B.λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 解析　∵＝＋＝＋λ ‎＝＋λ(－)＝＋λ－λ，‎ ‎∴(1＋λ)＝＋λ，‎ ‎∴＝＋＝a＋b.‎ 答案　D ‎8．已知＝a，＝b，∠AOB的平分线OM交AB于点M，则向量可表示为 ‎(　　)．‎ A.＋ B.λ C. D. 解析　由向量加法的平行四边形法则知，向量和分别与、同向的单位向量之和共线，∴可表示成λ.(与同向的单位向量即，与同向的单位向量即)‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ 解析　设＝a，＝b，‎ 则＝a＋b，‎ ＝a＋b，‎ 又∵＝a＋b，‎ ‎∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.‎ 答案　 ‎10．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.‎ 解析　由题意知a与b共线，则x2＝1，‎ ‎∴x＝±1，又∵a与b反向，‎ ‎∴x＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎11．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F.设＝a，＝b，则可以用a、b表示的形式是＝________.‎ 解析　由题意，得＝＝b，＝＋＝－a＋b.‎ 答案　－a＋b ‎12．已知A(2,3)，B(1,4)且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.‎ 解析　由题意，得＝(－1,1)．‎ 又∵＝(sin α，cos β)，∴sin α＝－，cos β＝.‎ 又∵α，β∈，∴α＝－，β＝或－，‎ ‎∴α＋β＝或－.‎ 答案　或－ 三、解答题(每小题10分，共40分)‎ ‎13．(2012·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.‎ 解　设a＝λ1b＋λ‎2c，λ1，λ2∈R，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，‎ 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，‎ ‎∴∴ ‎∴a＝－b＋c.‎ ‎14．设a＝(6,‎3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在， 求实数a的取值范围．‎ 解　由a∥b得6(x2－2x)－‎3a×2＝0，‎ 即x2－2x－a＝0.‎ 根据题意，上述方程有实数解，故有Δ＝4＋‎4a≥0.‎ 即a≥－1.‎ ‎15．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：‎ ‎(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？‎ ‎(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．‎ 解　＝(1,2)，＝(3,3)，‎ ＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．‎ ‎(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；‎ 若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；‎ 若P在第二象限，则有解得－