1．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为( )．
A．150° B.120°
C．60° D.30°
解析 ∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝－，又θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°.
答案 B
2．(2012·北京海淀区一模)在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )．
A．矩形 B.菱形
C．直角梯形 D.等腰梯形
解析 ∵＝即一组对边平行且相等，·＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
答案 B
3．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )．
A．－25 B.－20
C．－15 D.－10
解析 ∵＋＋＝0，∴|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，∴·＋·＋·＝－25.
答案 A
4．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的投影为________．
解析 a在e方向上的投影为|a|cos 150°＝8×＝－4.
答案 －4
5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析 |5a－b|＝＝＝＝ ＝7.
答案 7
6．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析 将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.
答案 －63
7．(2012·金华一中高一期中)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析 设a，b的夹角为α.方程有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，即|a|2－4|a|·|b|·cos α≥0，∴cos α≤，∴α∈.
答案 B
9．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
解析 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
答案 －8或5
10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)a与b能垂直吗？
(2)若a与b夹角为60°，求k的值．
解 (1)∵|ka＋b|＝|a－kb|，
∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
且|a|＝|b|＝1.
即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，
∴a·b＝.∵k2＋1≠0，
∴a·b≠0，即a与b不垂直．
(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝.
∴＝.
∴k＝1.
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