1
公式法解一元二次方程
1．方程 mx2－4x＋1＝0(m≠0)的根是( )．
A. B.
C. D.
2．方程 ( )．
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的有理根
C.没有实数根 D.有两个相等的无理根
3．若关于 x 的方程 3kx2＋12x＋k＋1＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为( )．
A.－4 B.3
C.－4 或 3 D. 或
4.定义：如果一元二次方程 ax2+6x+c＝0(a≠0)满足 a+b+c＝0，那么我们称这个方程为
凤凰方程，已知 ax2+bx+c＝0(a≠0)是凤凰方程，且有两个相等 的实数根，则下列结论正确
的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
5.用求根公式解得的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两根互为相反数，则（ ）
A．b＝0 B．c＝0
C．b2－4ac＝0 D．b+c＝0
6.下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x+c＝0 一定有实数根的是（ ）
A．a>0 B．a＝0 C．c＝0 D．c>0
7.对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若 a+c＝0，则方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根；
②若方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根，则方程 cx2+bx+a＝0 也一定有两个不相
等的实数根；
③若 c 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则一定有 ac+b+1＝0 成立；
④若 m 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则一定有 b2－4ac＝(2am+b)2 成立.
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是______．
4
1
21 == xx m
mx
−±= 42
2,1
m
mx
−±= 422
2,1 m
mmx
−±= 42
2,1
03322 =++ xx
2
1
3
2−2
9．一元二次方程(2x＋1)2－(x－3)(2x－1)＝3x 中的二次项系数是______，一次项系
数是______，常数项是______．
10．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为＝b2－4ac，
当 b2－4ac______0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2－4ac______0 时，方程有两个相等的实数根；
当 b2－4ac______0 时，方程没有实数根．
11．若关于 x 的方程 x2－2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m______．
12．若方程 2x2－(2m＋1)x＋m＝0 根的判别式的值是 9，则 m＝______．
解答题(用公式法解一元二次方程)
13．x2＋4x－3＝0． 14．3x2－8x＋2＝0．
15.已知关于 x 的一元二次方程 mx2－2(2m+1)x+4m－1＝0.
（1）当 m 为何值时，方程有两个相等的实数根？
（2）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（3）当 m 为何值时，方程无实数根？
16.已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k+1)x+k2+k＝0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边 AB，AC 的长分别是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，
当△ABC 是等腰三角形时，求 k 的值.3
参考答案
1．B．
2．D．
3．C．
4.A 解析 一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴∆＝b2－4ac＝0.∵
a+b+c＝0，即 b＝－a－c，代入 b2－4ac＝0 得(－a－c)2－4ac＝0，即(a+c)2－4ac＝a2+2ac+c2
－4ac＝a2－2ac+c2＝(a－c)2＝0，∴a＝C．
5.A 解析 一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)，当∆＝b2－4ac≥0 时，它
的 根 为 ， 即 ， . 由 题 意 ， 得
，所以 b＝0.
6.C 解析 由题意得∆＝(－4)2－4ac≥0，而 a≠0，观察各选项可知只有 c＝0 符合题
意.
7.D 解析 ①因为 a+c＝0，a≠0，所以 a ，c 异号，所以∆＝b2－4ac>0，所以方程有
两个不相等的实数根.②若方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根，则∆＝b2－4ac>0，所
以当 c≠0 时，方程 cx2+bx+a＝0 也一定有两个不相等的实数根；若 c＝0，则方程 cx2+bx+a
＝0 为一次方程，没有两个不相等的实数根.③若 c 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则当 c＝
0 时，ac+b+1＝0 不一定成立.④若 m 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则有 am2+bm+c＝0，即
am2 ＝ － (bm+c) ， 而 (2am+b)2 ＝ 4a2m2+4abm+b2 ＝ 4a[ － (bm+c)]+4abm+b2 ＝ － 4abm －
4ac+4abm+b2＝b2－4aC．所以①④成立.故选 D．
8．
9．2，8，－2．
10．＞，＝，＜．
11．＞ －1．
12．m＝2 或 m＝－1．
13． 14．
15.解：b2－4ac＝4(2m+1)2－4m(4m－1 )＝20m+4.
（1）当 20m+4＝0，即 时，方程有两个相等的实数根.
2 4
2
b b acx a
− ± −= 1 2
bx a
− + ∆= 2 2
bx a
− − ∆=
1 2 02 2
b b bx x a a a
− + ∆ − − ∆+ = + = − =
).04(2
4 2
2
≥−−±−= acba
acbbx
.72,72 21 −−=+−= xx ⋅−=+= 3
104,3
104
21 xx
1
5m = −4
（2）当 且 m≠0 时，方程有两个不相等的实数根.
（3）当 时，方程无实数根.
点拨：此类题应根据方程根的情况利用根的判别式建立关系式，从而确定相关未知数的
值或取值范围.
16.（1）证明：∵ ∆＝(2k+1)2－4(k2+k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：一元二次方程 x2－(2k+1)x+k2+k＝0 的解为 ，即 x1＝k，x2＝
k+1.
当 AB＝k，AC＝k+1，且 AB＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k＝5；
当 AB＝k，AC＝k+1，且 AC＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k+1＝5，解得 k＝4.∴k
的值为 5 或 4.
1
5m > −
1
5m < −
2 1 1
2
kx
+ ±=
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