1
配方法解一元二次方程
1.若方程 x2－m＝0 的根是有理数，则 m 的值可以是（ ）
A．－9 B．3 C．－4 D．4
2.把方程 x2－8x+3＝0 化成(x+m)2＝n 的形式，则 m，n 的值是（ ）
A．4，13 B．4，19 C．－4，13 D．－4，19
3.用配方法解关于 x 的方程 x2+mx+n＝0，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知一元二次方程 x2+mx+3＝0 配方后为(x+n)2＝22，那么一元二次方程 x2－mx－3＝
0 配方后为（ ）
A．(x+5)2＝28
B．(x+5)2＝19 或(x－5)2＝19
C．(x－5)2＝19
D．(x+5)2＝28 或(x－5)2＝28
填上适当的数使下面各等式成立
5．x2－8x＋______＝(x－______)2． 6．x2＋3x＋______＝(x＋______)2．
7． ＋______＝(x－______)2． 8． ＋______＝(x＋______)2．
9．x2－px＋______＝(x－______)2． 10． ＋______＝(x－______)2．
解答题(用配方法解一元二次方程)
11．x2－2x－1＝0． 12．y2－6y＋6＝0．
13．3x2－4x＝2． 14．
2 24
2 4
m n mx
− + =
2 2 4
2 4
m m nx
− + =
2 2 4
2 2
m m nx
− + =
2 24
2 2
m n mx
− + =
xx 2
32 − xx 3
22 +
xa
bx −2
.23
1
3
2 2 =+ xx2
15．用配方法说明：无论 x 取何值，代数式 x2－4x＋5 的值总大于 0，再求出当x 取何
值时，代数式 x2－4x＋5 的值最小?最小值是多少?
16.从飞机上空投下的炸弹，速度会越来越快，其下落的距离 s（米） 与时间 t（秒）
间的公式为 ，若 a 取 10 米/秒 2，那么从 2000 米的空 中投下的炸弹落至地面大约
需要多长时间？
17.先阅读材料，再解决问题， 例题：若 m2+2mn+2n2－6n+9＝0，求 m 和 n 的值.
解：∵m2+2mn+2n2－6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2－6n+9＝0，
∴(m+n)2+(n－3)2＝0，
∴m+n＝0，n－3＝0，∴n＝3，m＝－3.
问题：
（1）若 x2+2y－2xy+4y+4＝0，求 xy 的值.
（2）已知△ABC 的三边长 a，b，c 满足 ，请问△AB C 是
怎样形状的三角形？
（3）根据以上的方法试说明代数式：x2+4x+y2－8y+21 的值一定是一个正数.
21
2s at=
2 2 6 6 18 3 0a b a b c+ − − + + − =3
参考答案
1.D 解析 移项得 x2＝m，x 为有理数，所以 m 必须是平方数.
技巧：用直接开平方法求一元二次方程的解的方程类型有：x2＝a(a≥0)；ax2＝b（a，
b 同号且 a≠0）；(x+a)2＝b(b≥0)；a(x+b)2＝c（a，c 同号且 a≠0）.注意这几类方程有解
的条件.
2.C 解析 把 x2－8x+3＝0 移项可得 x2－8x＝－3，配方可得 x2－8x+16＝13，即(x－4)2
＝13，所以 m＝－4，n＝13.
3.B 解析 ∵x2+mx+n＝0，∴x2+mx＝－n，
∴ ，∴ .
方法：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程骤可归纳为：一移，二配，三求解.
4.D 解析 x2+mx+3＝0 配方后为(x+n)2＝22，x2+2nx+n2＝22，即 x2+2nx+n2－22＝0，∴
m＝2n①，n2－22＝3②.由②解得 n＝5 或 n＝－5，代入①得 m＝10 或 m＝－10，∴一元二次
方程 x2－mx－3＝0 为 x2－10x－3＝0 或 x2+10x－3＝0，配方得(x－5)2＝28 或(x+5)2＝28.
5．16，4． 6． 7． 8．
9． 10．
11． 12．
13．
14．
15．x2－4x＋5＝(x－2)2＋1≥0，当 x＝2 时有最小值为 1．
16.解：由题意得 ，解得 t1＝20，t2＝－20（舍去）.
答：大约需要 20 秒.
17.思路建立 要求解本题，首先要理解题中例题用配方法求解 m、n 的过程.（1）要仿
照材料用配方法将 x2+2y2－2xy+ 4y+4＝0 进行变形，求出 x、y 的值，从而求得 xy 的值；
（2）根据 及非负数的性质可以求得 a、b、c 的值，从而可以
判断△ABC 的形状；（3）利用配方法可以对式子 x2+4x+y2－8y+21 进行变形，从而可以解答
本题.
2 2
2
4 4
m mx mx n+ + = − +
2 2 4
2 4
m m nx
− + =
⋅
2
3,4
9 ⋅
4
3,16
9 ⋅
3
1,9
1
2,4
2 pp ⋅
a
b
a
b
2,4 2
2
.21±=x .33±=y
⋅−=+= 3
102,3
102
21 xx
.2,2
3
21 −== xx
212000 102 t= × ×
2 2 6 6 18 3 0a b a b c+ − − + + − =4
解：（1）∵x2+2y2－2xy+4y+4＝0，
∴x2－2xy+y2+y2+4y+4＝0，
即(x－y)2+(y+2)2＝0，
∴x－y＝0，y+2＝0，
∴x＝－2，y＝－2，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a－3＝0，b－3＝0，3－ c＝0，
∴a＝3，b＝3，c＝3.
∴△ABC 是等边三角形.
（3）∵x2+4x+y2－8y+21
＝x2+4x+4+y2－8y+16+1
＝(x+2)2+(y－4)2+1≥1，
∴x2+4x+y2－8y+21 的值一定是一个正数.
( ) 2 12 4
yx −= − =
2 2 6 6 18 3 0a b a b c+ − − + + − =
2 26 9 6 9 3 0a a b b c− + + − + + + =
( ) ( )2 23 3 3 0a b c− + − + − =
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