24.4 第1课时 解直角三角形
知识点 1 锐角三角函数与直角三角形的三边关系
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为5，12，13，则有 sinA＝________， cosA＝________，tanA＝________．
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝( )
A．3sin40° B．3sin50°
C．3tan40° D．3tan50°
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若已知a与∠B，则b＝________，c＝____________________________________；
(2)若已知∠A与c，则a＝________，b＝_____________________________________.
知识点 2 解直角三角形
4．如图24－4－1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，tanB＝＝________．如果AC＝5，那么BC＝________．
图24－4－1
5．根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．
A．②④ B．②③
C．只有② D．②④⑤
6．在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝2，则∠A＝________，b＝________．
8．［教材习题24.4第1题变式］在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，其中a＝4，c＝8，解这个直角三角形．
知识点 3 解直角三角形的简单应用
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9．［2016·绥化］如图24－4－2，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A．250米 B．250 米
C. 米 D．500 米
图24－4－2
10．如图24－4－3所示，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后在点P处相遇，则乙货船每小时航行________海里．
图24－4－3
11．如图24－4－4，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向上，求A，B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里．参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)
图24－4－4
12．［2016·绵阳］如图24－4－5，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为( )
A. B. C. D.
图24－4－5
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13．如图24－4－6，李明同学在东西方向的滨海路A处测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到滨海路的距离为( )
A．100米 B．100 米 C．200米 D．200 米
图24－4－6
14．如图24－4－7，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓鱼者想看看钓钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3 m，则钓鱼竿转过的角度是( )
A．60° B．45° C．15° D．90°
图24－4－7
15．如图24－4－8，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是________．
图24－4－8
16．如图24－4－9，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB和AC，若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为________米．(结果保留整数，参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)
图24－4－9
17．［2017·德州］如图24－4－10所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测速仪器测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离(保留根号)；
(2)如果此路段限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：≈1.7，≈1.4)．
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图24－4－10
18．如图24－4－11，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P运动一周时，试求出点Q运动的总路程．
图24－4－11
8
1.
2．D [解析] 由题意知∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.
又∵tanB＝，
∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.
故选D.
3．(1)a·tanB (2)c·sinA c·cosA
[解析] (1)∵tanB＝，∴b＝a·tanB；
∵cosB＝，∴c＝.
(2)∵sinA＝，∴a＝c·sinA；
∵cosA＝，
∴b＝c·cosA.
4．AC BC 5
5．C [解析] 解直角三角形所给条件中至少应有一条边长．
6．C 7.45°
8．解：∵a＝4，c＝8，∴由勾股定理可得b＝4 .
∵sinA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，
故∠A＝30°，∠B＝60°，b＝4 .
9．A
10．2 [解析] 如图，过点P作PC⊥AB于点C，则∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，PC＝PA＝4海里，PB＝PC＝4 海里，
所以乙货船每小时航行4 ÷2＝2 (海里)．
11．解：根据路程＝速度×时间，可得AC＝18×2＝36(海里)．在Rt△ABC中，利用正切函数的定义可得tan∠ACB＝，由此可知AB＝AC·tan∠ACB≈36×0.93≈33.5(海里)．
答：A，B两岛之间的距离约为33.5海里．
12．C [解析] ∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°.
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
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∴AD＝AB＝2，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝36°，
∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠C＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC.
设AE＝x，则BE＝BC＝x，CE＝4－x.
∵∠EBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△BCE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得x＝－2＋2 (负值舍去)，
∴AE＝－2＋2 .
在△ADE中，∵∠ADE＝90°，
∴cosA＝＝＝.
13．D [解析] 如图，过点P作PC⊥AB于点C.
根据题意，得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝30°＝∠PAB，
∴BP＝AB＝400米．
在Rt△PBC中，
sin60°＝，
∴PC＝PB·sin60°＝400×＝200 (米)．
14．C [解析] ∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°.
∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，
∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即钓鱼竿转过的角度是15°.故选C.
15． 40
[解析] ∵DE⊥AB，垂足为E，
∴△AED为直角三角形，
∴sinA＝，即＝，
∴AD＝10，
∴菱形ABCD的周长为10×4＝40.
16．60 [解析] ∵∠B＝56°，∠C＝45°，∠ADB＝∠ADC＝90°，BC＝BD＋CD＝100米，
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∴BD＝，CD＝，
∴＋＝100，解得AD≈60(米)．
17．[解析] (1)如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m，求出CD，BD的长即可解决问题．
(2)求出汽车的速度即可解决问题，注意统一单位．
解：(1)如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m.
在Rt△ACD中，
∵∠C＝45°，
∴AD＝CD＝10 m.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，
∴tan30°＝，
∴BD＝＝AD＝10 m，
∴BC＝BD＋CD＝(10 ＋10)m.
(2)这辆汽车超速．
理由：∵BC＝(10 ＋10)m≈27 m，
∴这辆汽车的速度≈＝30 m/s＝108 km/h.
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
18．解：在Rt△AOB中，
∵∠ABO＝30°，AO＝1，
∴AB＝2，BO＝＝.
(1)当点P从点O运动到点B处时，如图①②所示，点Q运动的路程为.
(2)如图③所示，点P从B→C，当点P运动到点C时，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°.
∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，
∴∠OQD＝90°－60°＝30°.
∵cos30°＝，∴AQ＝＝2，
∴OQ＝2－1＝1，
则当点P从点B运动到点C处时，点Q运动的路程为OQ＝1.
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(3)当点P从点C运动到点A处时，如图③所示，点Q运动的路程为QQ′＝2－.
(4)当点P从点A运动到点O处时，点Q运动的路程为AO＝1.
综上，点Q运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.
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