24.4 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角
知识点 1 坡度与坡角
1．以下对坡度的描述正确的是( )
A. 坡度是指坡面与水平面夹角的度数
B. 坡度是指坡面的铅垂高度与水平长度的比
C. 坡度是指坡面的水平长度与铅垂高度的比
D. 坡度是指坡面的水平长度与坡长的比
2．若斜坡AB的坡角为56°19′，坡度i≈3∶2，则( )
A．sin56°19′≈1.5 B．cos56°19′≈1.5
C．tan56°19′≈1.5 D．tan56°19′≈
3．如果坡角的余弦值为，那么坡度为( )
A．1∶ B．3∶
C．1∶3 D．3∶1
4．［2017·济南］如图24－4－24，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅垂高度与水平长度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竹竿上距离竹竿底端1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为( )
A. B．3 C. D．4
图24－4－24
5．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为________．
图24－4－25
5．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为________．
6．［教材例4变式］渠道的横断面如图24－4－26，渠口宽AD＝4 m，渠底宽BC＝2 m，AD∥BC，AB＝CD，渠深1 m，求渠壁的坡度和坡角α .
图24－4－26
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知识点 2 坡面距离、坡面的水平距离(或铅垂高度)
7．［2017·温州］如图24－4－27，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是( )
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
图24－4－27
8．如图24－4－28是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平长度为12米，坡面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )
A．4 米 B．6 米 C．12 米 D．24米
图24－4－28
9．如图24－4－29，在坡度为1∶2的山坡上种树，要使株距(相邻两棵树的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )
A．6 m B．3 m C．3 m D．12 m
图24－4－29
10．［2017·泰州］小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了______m.
11．某地下车库的入口处有一斜坡AB，其坡度i＝5∶12，且AB＝26 m，则车库的深度为___________________m.
12．如图24－4－30，一人乘雪橇沿坡度为1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s＝10t＋2t2.若滑到坡底的时间为4秒，求此人下降的高度为多少米．
图24－4－30
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13．［教材练习变式］［2017·重庆］如图24－4－31(示意图)，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则该建筑物AB的高度为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
图24－4－31
14．如图24－4－32所示，小刚早晨起来去爬山，他从山脚沿坡度为1∶1的坡面前进了100 m到达B点，后又沿坡角为60°的坡面前进了200 m到达山顶C点，则此山高为__________m.
图24－4－32
15．［2016·泸州］如图24－4－33，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿坡面坡度i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度.参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值
图24－4－33
16．［2017·黔东南州］如图24－4－34，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°.根据有关部门的规定，当∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，
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学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
图24－4－34
17．如图24－4－35，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC＝90米，且B，C，D在同一条直线上，坡面坡度为(即tan∠PCD＝)．
(1)求该建筑物的高度(即AB的长)；
(2)求此人所在位置点P的铅垂高度(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)．
图24－4－35
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教师详答
1．B 2.C 3.C 4.B 5.30°
6．解：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.
∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形，
∴EF＝AD，AE＝DF.
又∵AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE＝CF.
∵AD＝4 m，BC＝2 m，
∴BE＝CF＝1 m，
∴渠壁的坡度i＝1∶1，
即tanα＝1，
∴α＝45°.
答：渠壁的坡度为1∶1, 坡角α为45°.
7．A [解析] 如图，假设AC＝13米，作CB⊥AB于点B，
∵cosα＝＝，
∴AB＝12(米)，
∴BC＝＝＝5(米)，
∴小车上升的高度是5米．
故选A.
8．B [解析] 在Rt△ABC中，∵＝i＝，AC＝12米，
∴BC＝6米．
根据勾股定理，得AB＝＝6 米．
故选B.
9．B
10．25 [解析] 如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度i＝1∶，
∴tanA＝1∶＝，
∴∠A＝30°.
∵AB＝50 m，
∴BE＝AB＝25 m，
∴小明沿垂直方向升高了25 m.
故答案为25.
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11．10
12．解：如图，由题意知t＝4时，s＝72，i＝1∶.设BC＝x，则AC＝x，
由勾股定理得AB＝2x＝72，
∴x＝36，
∴BC＝36，
∴此人下降的高度为36米．
13．A [解析] 作DE⊥BC于点E，作AF⊥DE于点F，如图．
设DE＝x米，则CE＝2.4x米，由勾股定理，得
x2＋(2.4x)2＝1952，
解得x＝75，
∴DE＝75米，CE＝2.4x＝180米，
EB＝BC－CE＝306－180＝126(米)．
∵AF∥DG，
∴∠1＝∠ADG＝20°，
∴tan∠1＝tan∠ADG≈0.364.
∵AF＝EB＝126米，tan∠1＝≈0.364，
∴DF≈0.364AF＝0.364×126≈45.86(米)，
∴AB＝FE＝DE－DF≈75－45.86≈29.1(米)．
故选A.
14． (50 ＋100 )
15．解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，则四边形CEBF是矩形．
∵斜面DB的坡度i＝1∶，∴∠BDE＝30°.
在Rt△BED中，BD＝30，
∴BE＝BD·sin30°＝15，ED＝BD·cos30°＝15 ，
∴BF＝CE＝CD－ED＝45 .
在Rt△AFB中，∠ABF＝53°，
∴AF＝BF·tan∠ABF≈45 ×＝60 ，
∴AC＝AF＋FC＝AF＋BE≈60 ＋15.
答：楼房AC的高度约为(60 ＋15)米．
16．[解析] 假设点D水平移动到点D′的位置时，恰好有∠D′CE＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE，CE，CE′的长，进而可得出结论．
解：假设点D水平移动到D′的位置时，恰好有∠D′CE＝39°，过点D作DE⊥AC于点
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E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴D′E′＝DE＝6 米．
∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8(米)，
∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)，
∴DD′＝EE′≈7米．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
17．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝90，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC·tan60°＝90 .
答：该建筑物的高度为90 米．
(2)过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AB于点F，则四边形BEPF是矩形，
∴PE＝BF，PF＝BE.
设PE＝x，则BF＝PE＝x.
在Rt△PCE中， tan∠PCD＝＝，
∴CE＝2x.
∵AF＝AB－BF＝90 －x，
PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x，
且在Rt△APF中，∠APF＝45°，
∴AF＝PF，即90 －x＝90＋2x.
解得x＝30 －30.
答：此人所在位置点P的铅垂高度为(30 －30)米．
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