24.2 直角三角形的性质
知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图24－2－1
知识点 2 勾股定理
3．［2016·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
图24－2－2
4．［2017·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米
图24－2－3
知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．
图24－2－4
6．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．
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图24－2－5
7．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.
图24－2－6
知识点 4 直角三角形中30 °角的性质
8．［2016·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )
A．6 B．6 C．6 D．12
图24－2－7
9．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.
图24－2－8
10．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
图24－2－9
11．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
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图24－2－10
12．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．
图24－2－11
13．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.
(1)求CD的长；
(2)求△ABC的面积．
图24－2－12
14．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DN，MN.
(1)求证：MN＝CD；
(2)若AB＝6，求DN的长．
图24－2－13
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15．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.
(1)求∠B的度数；
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.
图24－2－14
16．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．
(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
图24－2－15
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1．D 2．C 3.C
4．C
5．5
6．8
7．证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．
∵E是BD的中点，
∴AE＝BD，BE＝BD，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∴∠AEC＝∠B＋∠B＝2∠B.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C.
8．A 9.4
10．C
11． C
12．∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，
∴∠BDF＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A.
∵∠F＝30°，
∴∠DBF＝60°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2DE＝2.
13．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠C＝30°，AD＝1，
∴AC＝2AD＝2，
∴CD＝＝＝.
(2)∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝1，
∴BC＝BD＋CD＝1＋，
∴△ABC的面积＝AD·BC＝.
14．
解：(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN＝BC，MN∥BC.
∵CD＝BD，
∴CD＝BC，
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∴MN＝CD.
(2)连结CM，∵MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形MCDN是平行四边形，
∴DN＝CM.
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB，
∴DN＝AB＝3.
15(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，
∴∠BCD＝60°.
又∵CD为高，
∴∠B＝90°－60°＝30°.
(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，
则CE＝BE.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°.
又由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝60°＝∠A，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝BE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB.
16． (1)不变．
理由：由题意得OP＝AB.
∵斜边AB的长不变，
∴点P到点O的距离OP不变．
(2)当△AOB斜边上的中线OP是斜边上的高h时，△AOB的面积最大．
理由：如图，过点O作OD⊥AB于点D，则OD＝h.若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，
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此时，S△AOB＝AB·h＝·2a·a＝a2.
∴△AOB的最大面积为a2.
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