22.1 二次函数的图象和性质
一．选择题（共16小题）
1．（2018•临安区）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
2．（2018•上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
3．（2018•山西）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25
4．（2018•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
5．（2018•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
6．（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
7．（2018•遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
16
A． B．
C． D．
8．（2017•黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2017•泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
10．（2017•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
16
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2017•玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交
12．（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
13．（2016•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
14．（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（ ）
A．c＜3 B．m≥ C．n≤2 D．b＜1
15．（2016•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
16
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
17．（2018•哈尔滨）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 ．
18．（2018•广州）已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
19．（2018•新疆）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于
4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
16
20．（2017•河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
21．（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ．（写一个即可）
22．（2017•广州）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
23．（2017•黔西南州）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有 （填序号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
24．（2016•营口）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
①AB=4；
②b2﹣4ac＞0；
③ab＜0；
④a﹣b+c＜0，
其中正确的结论是 （填写序号）．
25．（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 ．
26．（2016•南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+
16
（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 （填写序号）
三．解答题（共8小题）
27．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
28．（2018•宁夏）抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
29．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
16
30．（2017•广州）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
31．（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
32．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
16
33．（2016•三明）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
34．（2016•安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
16
16
参考答案
一．选择题（共16小题）
1．A．2．C．3．B．4．D．5．B．6．D．7．C．8．C．9．C．10．A．
11．D．12．C．13．D．14．B．15．C．16．A．
二．填空题（共10小题）
17．（﹣2，4）．
18．增大．
19．②③．
20．；2或﹣1．
21．1、5．
23．①③④．
24．①②④．
25．（0，4）．
26．①③④．
三．解答题（共8小题）
27．
解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
，
即a的值是1，b的值是﹣2．
28．
解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
16
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=
把x=代入，得y=4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y=kx+b
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m=2
∴点D坐标为，
∴CD=CE﹣DE=2
过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=
∵BF+AE=OE+AE=OA=
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD•BF+CD•AE
∴S△ABC=CD（BF+AE）=×2×=
29．
解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，
解得：b=4，c=2，
16
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x=1代入抛物线解析式得：y=7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y=kx+2，
把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴=，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，
∵BM=5，
∴QH=2或QH=3，
当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
30．
解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2
16
交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣=﹣1， =1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2=5x+10．
②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2=x+．
31．
解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a1=﹣2，a2=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；
16
（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），
当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；
当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；
（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，m）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
32．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
16
33．
解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；
（2）当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp取得最小值，最小值是﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴或或，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
16
34．
解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
S△OAD=OD•AD=×2×4=4；
S△ACD=AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；
S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
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