24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一．选择题（共20小题）
1．（2018•哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
2．（2018•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
3．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
4．（2018•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（ ）
18
A．4 B．2 C．3 D．2.5
5．（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
6．（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
7．（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2018•重庆）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（ ）
18
A．2 B． C． D．
9．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
11．（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
12．（2018•常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
13．（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）
18
A．3 B． C．6 D．
14．（2017•台湾）平面上有A、B、C三点，其中AB=3，BC=4，AC=5，若分别以A、B、C为圆心，半径长为2画圆，画出圆A，圆B，圆C，则下列叙述何者正确（ ）
A．圆A与圆C外切，圆B与圆C外切
B．圆A与圆C外切，圆B与圆C外离
C．圆A与圆C外离，圆B与圆C外切
D．圆A与圆C外离，圆B与圆C外离
15．（2017•莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（ ）
A．46° B．47° C．48° D．49°
16．（2017•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．5
17．（2017•济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
18
A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm
18．（2016•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
19．（2016•衢州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2016•襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
18
二．填空题（共8小题）
21．（2018•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE= °．
22．（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm．
23．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．
24．（2017•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
25．（2017•徐州）如图，AB与⊙
18
O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= °．
26．（2017•上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是 ．
27．（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 ．
28．（2016•徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC= °．
三．解答题（共8小题）
29．（2018•黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．
（1）求证：∠CBP=∠ADB．
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．
18
30．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．
31．（2018•昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．
18
32．（2017•资阳）如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于点E．若∠ACD=60°，∠E=30°．
（1）求证：直线DE与半圆相切；
（2）若BE=3，求CE的长．
33．（2017•南充）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
34．（2017•白银）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
18
35．（2016•黄石）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
36．（2016•凉山州）阅读下列材料并回答问题：
材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． ①
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．
我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：． ②
下面我们对公式②进行变形： =
18
====．
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．
（1）求△ABC的面积；
（2）求⊙O的半径．
18
参考答案
一．选择题（共20小题）
1．A．2．A．3．D．4．A．5．B．6．D．7．D．8．B．9．D．10．C．
11．C．12．A．13．D．14．C．15．C．16．D．17．D．18．D．19．A．20．D．
二．填空题（共8小题）
21．60．
22．．
23．40．
24．（7，4）或（6，5）或（1，4）．
25．60．
26．8＜r＜10．
27．6．
28．125．
三．解答题（共8小题）
29．
（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
18
∴∠CBP=∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，
∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴=，即=，
∴BP=7．
30．
解：（1）连接OC，OD，
∴OC=OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP=∠OCP=90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴∠DOP=∠COP，
∵OD=OC，
∴OP⊥CD；
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA=OD=OC=OB=2，
∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，
∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，
18
∴∠COD=60°，
∵OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，
在Rt△ODP中，OP==．
31．
（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵ED切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥ED；
（2）解：OC交BF于H，如图，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
易得四边形CDFH为矩形，
∴FH=CD=4，∠CHF=90°，
∴OH⊥BF，
18
∴BH=FH=4，
∴BF=8，
在Rt△ABF中，AB===2，
∴⊙O的半径为．
32．
证明：（1）连接OC，
∵∠ACD=60°，∠E=30°，
∴∠A=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°，
∴直线DE与半圆相切；
（2）在Rt△OCE中，∠E=30°，
∴OE=2OC=OB+BE，
∵OC=OB，
∴OB=BE，
∴OE=2BE=6，
∴CE=OE•cosE=．
33．
解：（1）如图，连接OD、CD，
18
∵AC为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=DE，
∴∠CDE=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
∵∠ODF=90°，
∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的直径为6．
34．
解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB==，
∴B（，2）．
18
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
35．
（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
又∵BC=3，AB=5，
∴由勾股定理得AC=4；
（2）证明：连接OC
18
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA=∠CBA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
36．
解：（1）∵AB=13，BC=12，AC=7，
∴p==16，
∴==24；
（2）∵△ABC的周长l=AB+BC+AC=32，
∴S=lr=24，
∴r==．
18
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