1
2.5.4 三角形的内切圆
知|识|目|标
1．经过观察、讨论、猜想教材“议一议”与“动脑筋”，理解三角形的内切圆的概念及其作
法．
2．结合方程思想，会求直角三角形内切圆的半径.
目标一 掌握三角形的内心的性质与内切圆的画法
例 1 教材补充例题某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．
(1)若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域(如图 2－5－17)内确定圆形花坛的圆心 P；
(2)若这个等边三角形的边长为 18 米，请计算出花坛的面积．
图 2－5－17
【归纳总结】对三角形的内切圆的理解及内切圆的作图步骤：
(1)任何一个三角形都只有唯一的内切圆，而一个圆可以有无数个外切三角形．
(2)三角形内切圆的作图步骤：
①分别作三角形任意两个内角的平分线，设两条内角平分线相交于点 I；
②过交点 I 作三角形任意一边的垂线段；
③以交点 I 为圆心，以②中垂线段长为半径作圆，则所作的圆为三角形的内切圆．
(3)三角形的内切圆是三角形内所作的最大的圆，也是三角形能够覆盖的最大的圆，在材料的
使用率最大上直接得到体现．
目标二 会进行三角形内切圆的有关计算
例 2教材例 6 针对训练如图 2－5－18，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC，CA，AB 分别相切于点
D，F，E.2
求证：(1)∠FDE＝90°－
1
2∠A；
(2)∠BIC＝90°＋
1
2∠A.
图 2－5－18
【归纳总结】三角形内切圆的有关计算：
(1)三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此三边所在直线均是内切圆的切线，连接圆心
与切点，即可构造直角三角形；
图 2－5－19
(2)设三角形的内心为 I，则内心 I 向三角形一边张开的角的度数等于这边的对角的一半加上
90°.即如图 2－5－19，∠I＝
∠A
2 ＋90°.
例 3 高频考题如图 2－5－20，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.⊙O 是△ABC
的内切圆，与三边分别相切于点 E，F，G.
(1)求证：内切圆的半径 r＝1；
(2)连接 OA，求 tan∠OAG 的值．
图 2－5－20
【归纳总结】三角形内切圆半径的计算方法：
(1)若三角形的三边长分别为 a，b，c，内切圆的半径为 r 内，三角形的面积为 S，则有：
①S＝
1
2(a＋b＋c)·r 内；
②r 内＝
2S
a＋b＋c.
(2)直角三角形中，a，b 为直角边长，c 为斜边长，内切圆半径为 r 内，则有 r 内＝
a＋b－c
2 .3
知识点 三角形的内切圆、内心
1．三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆；三角形内切圆的圆心是三角形
______________的交点，叫作三角形的内心．
2．(1)“内切”“外切”只不过是相对位置的内与外，“内”是相对三角形而言，“外”是相
对圆而言．
(2)正确区分三角形的外接圆与内切圆、接与切、外心与内心这三组概念：
①若三角形的三个顶点在圆上，则圆在三角形的外部，这个圆叫作三角形的外接圆．
②若三角形的三边都和圆相切，则圆在三角形的内部，这个圆叫作三角形的内切圆．
三角形的顶点都在圆上叫作 “接”，三角形的边都与圆相切叫作“切”．
③内心是三角形三条角平分线的交点，而外心是三角形三边垂直平分线的交点．
3．三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的性质对比如下：
图形 点 O 的
名称
△ABC
的名称
圆心 O
的确定
“心”的
性质
△ABC
的外心
⊙O 的内接三角
形
三角形三边垂直
平分线的交点
到三角形的三个
顶点的距离相等
△ABC
的内心
⊙O 的外切三角
形
三角形三条角平
分线的交点
到三角形三条边
的距离相等
如图 2－5－21，△ABC 是一张周长为 17 cm 的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O 是它的内切圆，小
明准备用剪刀在⊙O 的右侧沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN 剪下△AMN，小明认为剪下的三
角形的周长随直线 MN 的变化而变化．
你认为他的看法正确吗？如果你有不同的意见，请说出你的理由．
图 2－5－2145
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] 由题意可知三角形为正三角形，设计方案可根据内切圆性质及正三角形的性质，
在三角形内作内切圆使圆形花坛面积最大，然后由圆的性质求出内切圆的半径，再求出其面
积．
解：(1)要使花坛面积最大，需在△ABC 内作一个内切圆，则此圆面积最大，图①中的点 P 即
为所求．
(2)如图②，过点 P 作 PD⊥BC，垂足为 D，连接 PB.由题意，知在 Rt△BPD 中，BD＝9 米，∠PBD
＝30°，
∴tan30°＝
PD
BD，∴PD＝BD·tan30°＝9×
3
3 ＝3 3，∴花坛的面积为π×(3 3)2＝27π
(米 2)．
例 2 [解析] (1)欲证∠FDE＝90°－
1
2∠A，观察图形，联想切线的性质、圆周角定理、四边
形的内角和定理，需连接 IE，IF，则∠AEI＝∠AFI＝90°.因此，在四边形 AEIF 中，有∠EIF
＝180°－∠A，所以∠FDE＝
1
2∠EIF＝
1
2(180°－∠A)，问题得证；
(2)在△IBC 中，∠BIC＝180°－(∠1＋∠2)．因为 BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
所以∠1＝
1
2∠ABC，∠2＝
1
2∠ACB.再根据三角形内角和定理可得结论．
证明：(1)如图，连接 IE，IF.
∵AB，AC 是⊙I 的切线，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°.
∵∠A＋∠AEI＋∠EIF＋∠AFI＝360°，
∴∠A＋∠EIF＝180°，
∴∠EIF＝180°－∠A.
∵∠FDE＝
1
2∠EIF，
∴∠FDE＝
1
2(180°－∠A)，
∴∠FDE＝90°－
1
2∠A.6
(2)∵点 I 是△ABC 的内心，
∴∠1＝
1
2∠ABC，∠2＝
1
2∠ACB.
∵∠1＋∠2＋∠BIC＝180°，
∴∠BIC＝180°－
1
2(∠ABC＋∠ACB)．
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∴∠BIC＝180°－
1
2(180°－∠A)，
即∠BIC＝90°＋
1
2∠A.
例 3 [解析] (1)如图，连接 OE，OF，OG.由⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C＝90°，得到四边形
CEOF 是正方形，根据切线长定理列方程得到结果；
(2)连接 OA，在 Rt△AOG 中，由锐角三角函数得到结果．
解：(1)证明：如图，连接 OE，OF，OG.
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C＝90°，
∴易证四边形 CEOF 是正方形，
∴CE＝CF＝r.
由切线长定理知 AG＝AE＝3－r，BG＝BF＝4－r.
∵AG＋BG＝5，
∴(3－r)＋(4－r)＝5，解得 r＝1.
(2)连接 OA.在 Rt△AOG 中，∵r＝1，AG＝3－r＝2，∴tan∠OAG＝
OG
AG＝
1
2.
备选目标 三角形的内心与各顶点的连线平分三角形内角性质的应用
例 如图所示，⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a.设⊙O 的半径为 r.求证：r＝
ab
a＋b＋c.
[解析] 连接 OA，OB，OC，则 S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB＝
1
2AC·BC.
证明：连接 OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
∵OD＝OE＝OF＝r，
∴S△OAC＝
1
2AC·OD＝
1
2br.7
同理 S△OBC＝
1
2ar，S△OAB＝
1
2cr.
∴S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB＝
1
2(a＋b＋c)r.
又∵S△ABC＝
1
2AC·BC＝
1
2ab，
∴
1
2(a＋b＋c)r＝
1
2ab，∴r＝
ab
a＋b＋c.
[归纳总结] (1)内心是三角形三个内角平分线的交点，因此，①内心与各顶点的连线一定平
分该内角；②内心到各边的距离相等，这个距离即是内切圆的半径．
(2)若在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，内切圆的半径为 r，由以上性质可
推出 S△ABC＝
1
2(a＋b＋c)r；
直角三角形内切圆的半径 r＝
a＋b－c
2 ＝
ab
a＋b＋c(a，b 分别是直角三角形两直角边的长，c 为
斜边长)．
【总结反思】
[小结] 知识点 1.三条角平分线
[反思] 小明的看法错误，理由略．
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