2.6 弧长与扇形面积
第1课时 弧长公式
知|识|目|标
1．经过对教材“动脑筋”的讨论、思考、猜想，归纳与理解弧长的计算公式并用于计算弧长．
2．在掌握弧长公式的基础上，会运用弧长公式解决实际生活中涉及弧长或半径的问题.
目标一 理解弧长公式并能计算弧长
例1 教材例1针对训练如图2－6－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，若AC＝6，求的长．
图2－6－1
【归纳总结】弧长公式：
(1)弧长计算公式是已知弧所对的圆心角的度数和圆弧的半径计算弧长，在运用公式时必须先求出弧所对的圆心角与弧所在圆的半径；
(2)弧长计算公式l＝中，圆心角不是以“度”为单位时，必须先将单位“′”“″”转化为“°”．
注意：半径r与弧长l的单位要一致．
例2 教材补充例题半径为6 cm的圆上有一段长度为2.5π cm的弧，则此弧所对的圆心角的度数为( )
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A．35° B．45°
C．60° D．75°
【归纳总结】弧长公式的应用及变形：
(1)弧长计算公式l＝体现了圆弧的半径r、弧长l、圆心角n之间的关系，它的作用如下：
①在三个量中已知其中任意两个量可以求出第三个量；
②以计算公式l＝为等量关系建立方程．
(2)弧长计算公式l＝常见的变形式：
①圆心角的度数n＝；
②圆弧的半径r＝.
目标二 能运用弧长公式解决实际生活中涉及弧长或半径的问题
例3 教材例2针对训练如图2－6－2，秋千拉绳AB长为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)．
图2－6－2
【归纳总结】运用弧长公式解决实际问题：
利用建模思想，把实际问题转化成扇形或弓形问题，找到所求弧所在的圆及圆心的位置，并求出弧所对的圆心角的度数及半径，进而解决问题．
知识点 弧长公式
弧长计算公式：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l，则l＝·2πr＝________．
[注意] ①由圆的周长公式可以看出，圆周长只与半径有关，因此与圆周长有关的计算问题往往转化为半径问题来解决；②在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，在应用公式时，“n”和“180”不应再写单位；③应区分弧、弧的度数、弧长这三个概念：度数相等的弧，弧长不一定相等，长度相等的弧不一定是等弧．
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若扇形的圆心角为20°15′，直径为16，求扇形的弧长l(结果保留π)．
解：∵直径为16，
∴半径r＝8.
根据弧长公式，得l＝ ＝＝.
上述解答过程是否正确？若不正确，错误的原因是什么？如何改正？
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教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] 先求得所对的圆心角的度数，再由弧长公式l＝求得的长．
解：连接CD.
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.
在Rt△ABC中，∵∠B＝15°，
∴∠CAD＝75°，
∴∠ACD＝30°.
∵AC＝6，∴l的长度＝＝π.
例2 [解析] D 由题意，得2.5π＝，解得n＝75°.故选D.
例3 解：由题意，得BE＝2米，AC＝3米，CD＝0.5米，过点B作BG⊥AC于点G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5米．因为AB＝3米，所以在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，根据对称性，知∠BAF＝120°，故秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．
【总结反思】
[小结] 知识点
[反思] 解答过程有错误，错误原因是没有将圆心角的单位统一为“度”．
正确解答：∵直径为16，∴半径r＝8.而n＝20°15′＝20.25°，根据弧长公式l＝，有l＝＝＝.∴扇形的弧长为.
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