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2.5 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
知|识|目|标
1．经历探索直线与圆的位置关系的过程，了解直线与圆的三种位置关系．
2．通过观察、思考，会利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．
3．经过观察，思考，会由直线与圆的位置关系求圆的半径的取值范围.
目标一 了解直线与圆的位置关系
例 1 教材补充例题阅读教材，填写下表：
图形
直线与圆的交点个数 ________ ________ ________
圆心到直线的距离 d
与半径 r 的大小比较 ________ ________ ________
直线与圆的位置关系 ________ ________ ________
目标二 会判断直线和圆的位置关系
例 2 教材例 1 针对训练在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点 C 为圆心，下
列 r 为半径的圆与边 AB 所在直线有什么样的位置关系？为什么？
(1)r＝2 cm；(2)r＝2.4 cm；(3)r＝3 cm.
【归纳总结】判断直线和圆的位置关系的两种方法：
(1)直接根据定义，考查直线和圆的交点个数；
(2)根据数量关系，考查圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系．2
目标三 能由直线与圆的位置关系求半径的取值(范围)
例 3 教材补充例题如图 2－5－1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以点 C 为圆
心，r 为半径作圆，则：
(1)当直线 AB 与⊙C 相切时，求 r 的值；
(2)当直线 AB 与⊙C 相离时，求 r 的取值范围．
图 2－5－1
【归纳总结】根据直线和圆的位置关系求圆的半径的取值或取值范围的步骤：
(1)过圆心作已知直线的垂线；
(2)求出圆心到直线的距离；
(3)根据直线与圆的位置关系求出半径的取值或取值范围．
知识点一 直线和圆的位置关系的概念
(1)直线和圆没有公共点，则这条直线和圆______．
(2)直线和圆只有一个公共点，则这条直线和圆______，这条直线叫作圆的__________，这个
点叫作______．
(3)直线和圆有两个公共点，则这条直线和圆______，这条直线叫作圆的______．
知识点二 直线和圆的位置关系
设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d.
(1)直线和圆相离⇔d____r；
(2)直线和圆相切⇔d____r；
(3)直线和圆相交⇔d____r.
1．已知⊙O 的半径为 2 cm，直线 l 上有一点 P，OP＝2 cm，求直线 l 与⊙O 的位置关系．
解：∵OP＝2 cm，⊙O 的半径 r＝2 cm，①
∴OP＝r，②
∴圆心 O 到直线 l 的距离 OP 等于圆的半径，③
∴直线 l 与⊙O 相切．④
以上推理错在第________步．正确的推理如下：
圆心 O 到直线 l 的距离________OP(即圆的半径)，
∴直线与⊙O____________．
2．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如图 2－5－2.以点 C 为圆心，以 R 为半径画圆，
若⊙C 与 AB 边只有一个公共点，求 R 的取值范围．3
图 2－5－2
解：当⊙C 与 AB 边只有一个公共点时，⊙C 与 AB 边相切，此时 R 等于点 C 到 AB 的距离．
如图 2－5－3，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
图 2－5－3
∵AB＝ AC2＋BC2＝5，
∴CD＝
AC·BC
AB ＝
3 × 4
5 ＝
12
5 ，
∴R＝
12
5 .
以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．45
教师详解详析
【目标突破】
例 1 2 1 0 dr 相交 相切 相离
例 2 [解析] 欲判定⊙C 与直线 AB 的位置关系，只需先求出圆心 C 到直线 AB 的距离 CD 的长，
然后再与 r 比较即可．
解： 如图所示，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC2＋BC2＝5 cm.
又∵
1
2AC·BC＝
1
2AB·CD，
∴CD＝2.4 cm＝d.
(1)∵d＝2.4 cm＞r＝2 cm，
∴⊙C 与直线 AB 相离．
(2)∵d＝2.4 cm＝r，∴⊙C 与直线 AB 相切．
(3)∵d＝2.4 cm＜r＝3 cm，
∴⊙C 与直线 AB 相交．
[备选例题] 如图所示，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的高，且 AD＝
1
2BC，E，F 分别为 AB，AC 的
中点，试问以 EF 为直径的圆与 BC 有怎样的位置关系？
解： 设 EF 的中点为 O，过点 O 作 OG⊥BC 于点 G.
∵AE＝BE，AF＝CF，
∴EF＝
1
2BC，
即 BC＝2EF.
又∵OG⊥BC，AD⊥BC，AD＝
1
2BC，
∴OG＝
1
2AD＝
1
4BC＝
1
4×(2EF)＝
1
2EF＝OF.
∴以 EF 为直径的圆与 BC 相切．
[归纳总结] 这是一个“探索性”问题．这类问题的特点是问题的结论没有给出，而要根据问
题的条件，通过探索得出结论，然后加以说明．
例 3 解： (1)过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵在 Rt△ABC 中，AC＝3，AB＝5，6
∴BC＝ AB2－AC2＝4.
∵
1
2AC·BC＝
1
2AB·CD，∴CD＝d＝2.4.
∵当直线 AB 与⊙C 相切时，d＝r，∴r＝2.4.
(2)由(1)知，圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝2.4.
∵当直线 AB 与⊙C 相离时，d>r，
∴0
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