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2.5.2 圆的切线
第 2 课时 切线的性质
知|识|目|标
1．通过回顾互逆命题和反证法，探索圆的切线的性质定理．
2．通过对切线的性质的了解，能运用切线的性质进行计算或证明.
目标一 理解切线的性质定理
例 1 教材补充例题下列说法不正确的是( )
A．过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
B．圆的切线到圆心的距离等于这个圆的半径
C．圆的切线垂直于圆的半径
D．过切点且垂直于切线的直线必过圆心
【归纳总结】圆的切线的三条性质：
理解与识记圆的切线的性质可以从三个方面进行：
(1)公共点的个数：圆的切线与圆有且只有一个公共点；
(2)圆心到直线的距离：圆的切线到圆心的距离等于该圆的半径；
(3)与过切点的半径的位置关系：圆的切线只垂直于过切点的半径．
目标二 能利用圆的切线的性质定理进行计算或证明
例 2 教材补充例题如图 2－5－11 所示，AB 是⊙O 的直径，DC 切⊙O 于点 C，连接 CA，CB，AB
＝12 cm，∠ACD＝30°，求 AC 的长．
图 2－5－11
【归纳总结】切线性质的应用及辅助线的作法：2
(1)如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件
是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
(2)辅助线的作法：连切点、圆心，得垂直关系．
例 3 教材例 3 针对训练如图 2－5－12，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 C，BE⊥
CD，垂足为 E，连接 AC，BC.
(1)求证：BC 平分∠ABE；
(2)若∠A＝60°，OA＝4，求 CE 的长．
图 2－5－12
知识点一 过圆上一点作圆的切线
作法：(1)过该点作已知圆的半径；
(2)过该点作与该半径垂直的直线即为已知圆的切线．
知识点二 切线的性质定理
圆的切线垂直于______________．
[注意] (1)此定理不能省去“过切点”三个字．
(2)到目前为止，我们学习了切线的如下性质：
①切线与圆有唯一公共点；
②圆心到切线的距离等于这个圆的半径；
③切线垂直于过切点的半径．
判断：圆的切线垂直于半径．( )
答案：√
以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．34
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] C 一个圆有无数条半径，圆的切线只垂直于过切点的半径．
例 2 解：连接 OC.因为 DC 是⊙O 的切线，所以 OC⊥DC，而∠ACD＝30°.所以∠ACO＝60°.
又因为 OA＝OC，所以△AOC 是等边三角形，所以 AC＝OA＝
1
2AB＝
1
2×12＝6(cm)．
例 3 解：(1)证明：∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC⊥DE，而 BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，而 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBE，即 BC 平分∠ABE.
(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠A＝60°，
∴△OAC 为等边三角形，AC＝OA＝4，而 AB＝2OA＝8，
∴BC＝ AB2－AC2＝4 3.
∵∠OBC＝∠CBE＝30°，
∴在 Rt△CBE 中，CE＝
1
2BC＝2 3.
【总结反思】
[小结] 知识点二 过切点的半径
[反思] 判断不正确．
理由：圆的切线垂直于过切点的半径．
反思：易忽视圆的切线的性质“垂直于过切点的半径”的条件．
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