圆
本章总结提升
问题1 弧、弦与圆心角的关系
在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？
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图2－T－1
例1 如图2－T－1，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是( )
A．40° B．30°
C．20° D．15°
【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想．
问题2 与圆周角定理有关的综合运用
例2 已知等边三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧上的一点(端点除外)，延长BP至点D，使BD＝AP，连接CD.
(1)若AP过圆心O，如图2－T－2①，且⊙O的直径为10 cm，求PD的长；
(2)若AP不过圆心O，如图②，CP＝3 cm，求PD的长．
图2－T－2
【归纳总结】圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了依据；在圆中，如果有直径，那么直径所对的圆周角是直角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
问题3 利用垂径定理进行计算
垂径定理的内容是什么？应用垂径定理时常常结合哪些定理解决问题？
例3 在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为____________．
例4 2018·历城区一模某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图2－T－3，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水最深的地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径．
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图2－T－3
【归纳总结】垂径定理是解决线段相等、角相等、垂直关系等问题的重要依据，应结合图形深刻理解、熟练掌握，并灵活运用．应用时注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．
问题4 切线及切线长
例5 2017·河南如图2－T－4，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.
(1)求证：BD＝BF；
(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．
图2－T－4
例6 如图2－T－5，以△ABC的边BC上的一点O为圆心的圆经过A，B两点，且与边BC
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交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，且AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝8，DF＝2，求⊙O的半径r.
图2－T－5
【归纳总结】证明直线与圆相切时，若已知直线与圆有公共点，则连接公共点和圆心，证明直线垂直于该半径，基本思路是“作半径，证垂直”；若已知直线与圆没有给出公共点，则过圆心作该直线的垂线，证明垂线段等于半径．利用圆的切线的性质时，通常连接圆心和切点得到垂直．切线长定理体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据．
问题5 弧长与扇形的面积
图2－T－6
例7 如图2－T－6所示，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( )
A.－ B.－
C．π－ D．π－
例8 图2－T－7是一个纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径为6 cm，下底面圆的直径为4 cm，母线长EF＝8 cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．(结果用含π的式子表示)
图2－T－7
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【归纳总结】在解决一些曲面的问题时，应先变曲面为平面，这样可以方便地求得一些图形的面积或某些线段的长．在平面上求面积时，常利用对称、全等以及平行线等知识进行等面积的图形转换，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．
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教师详解详析
【整合提升】
例1[解析] C 如图，连接CO.
∵在⊙O中，＝，
∴∠AOC＝∠AOB.
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝∠AOC＝20°.故选C.
例2 解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝60°.
∵AP过圆心O，
∴AP平分∠BAC，AP为⊙O的直径，
∴∠CAP＝30°，∠ACP＝90°，
∴∠CBD＝∠CAP＝30°，CP＝AP＝×10＝5(cm)．
在△CAP和△CBD中，
∴△CAP≌△CBD，∴CP＝CD.
∵∠CPD＋∠BPC＝∠CAB＋∠BPC＝180°，
∴∠CPD＝∠CAB＝60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴PD＝CP＝5 cm.
(2)与(1)一样可证明得到△CAP≌△CBD，∠CPD＝∠CAB＝60°，则CP＝CD，
∴△PCD为等边三角形，
∴PD＝CP＝3 cm.
例3 [答案] 2 cm或8 cm
[解析] 如图①，由垂径定理不难求得CE＝CD＝4 cm，连接OC，则OC＝5 cm，由勾股定理易求OE＝3 cm，所以AE＝2 cm.同理，在图②中，AE＝8 cm.故应填2 cm或8 cm.
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例4 解：过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OB.
∵OC⊥AB，
∴BD＝AB＝×16＝8(cm)．
由题意可知，CD＝4 cm，
∴设半径为x cm，则OD＝(x－4)cm.
在Rt△BOD中，由勾股定理，
得OD2＋BD2＝OB2，
即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.
答：这个圆形截面的半径为10 cm.
例5 解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，即BD⊥AC.
∵BF切⊙O于点B，∴AB⊥BF.
∵CF∥AB，
∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠FCB.
又∵BD⊥AC，BF⊥CF，
∴BD＝BF.
(2)∵AB＝10，AB＝AC，
∴AC＝10.
∵CD＝4，∴AD＝10－4＝6.
在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD＝＝8，
在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC＝＝4 .
例6 解：(1)证明：如图，连接OA，OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°.
∵AC＝FC，
∴∠FAC＝∠AFC.
又∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°.
又∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝2，
∴OF＝8－r.
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在Rt△OFD中，
r2＋(8－r)2＝(2)2，
解得r＝2(舍去)或r＝6.
∴⊙O的半径r为6.
例7 [解析] B 如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵AB＝2，∴△ABD的高为.
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4＋∠5＝60°.
又∵∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，
∴△ABM ≌△DBN(ASA)，
∴四边形MBND的面积等于△ABD的面积，
∴S阴影＝S扇形BEF－S△ABD＝－×2×＝－.
例8 解：由题意可知：l＝6π cm，l＝4π cm.设∠AOB＝n°，OA＝r cm，则OC＝(r－8)cm.
由公式＝6π，＝4π，可得方程组
解得
所以扇形OAB的圆心角是45°.
因为r＝24，r－8＝16，所以S扇形OCD＝×4π×16＝32π，S扇形OAB＝×6π×24＝72π，
所以S纸杯侧＝S扇形OAB－S扇形OCD＝72π－32π＝40π，S纸杯底＝π×22＝4π，
所以S纸杯表＝40π＋4π＝44π(cm2)．
即这个纸杯的表面积是44π cm2.
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