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课时达标训练（十二）
[即时达标对点练]
题组1 抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
题组2 抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
题组3 直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B．[－2，2]
C．[－1，1] D．[－4，4]
9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，
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并求出距离的最小值．
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p
C．2p D．无法确定
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．90°
C．60° D．120
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________．
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
7．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．
(1)证明：y1y2＝－p2，x1x2＝；
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(2)求＋的值．
8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2. 解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
3. 解析：选B 由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，
得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，
即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
4. 解析：选B kOA·kOB＝＝·＝，
根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
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故kOA·kOB＝＝－4.
5. 解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
6. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
7. 解析：选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8. 解析：选C 准线x＝－2，Q(－2，0)，
设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，即交点为(0，0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4， ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
6. 解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得|x|＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
答案：6
7. 解：(1)证明：过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
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∴k≠0.由韦达定理得y1y2＝－p2.
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x1x2＝·＝＝.
当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，
y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
(2)设直线AB：y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2＋p)＝，
即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，
∴＋＝.
当直线AB的方程为x＝时，
x1＝x2＝，y1＝p，y2＝－p，
∴|AF|＝|BF|＝p，∴＋＝.
8. 解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由⇒A1，
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由⇒A2，
同理可得B1，B2，
所以＝
＝2p1
＝
＝2p2，
所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
故＝.
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