专题九 立体几何
———————命题观察·高考定位———————
(对应学生用书第39页)
1. (2017·江苏高考)如图9－1，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
图9－1
[设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
∴＝＝.]
2．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
[设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝.]
3．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
[设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝＝.]
4. (2013·江苏高考)如图9－2，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
图9－2
1∶24 [设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.]
5．(2017·江苏高考) 如图9－3，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【导学号：56394060】
图9－3
[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，
所以AD⊥AC.
6. (2016·江苏高考)如图9－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F
在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
图9－4
[证明] (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
[命题规律]
观近几年江苏的高考题，立体几何的客观题以柱、锥、球为载体考查体积、表面积为主，属容易题；解答题一般都处于解答题第16题的位置，也就是属于容易题范畴，考查的难度不大，且都是考查线线、线面或面面的平行与垂直关系的证明．从近几年江苏高考试题分析，解答题中考查一道立体几何题型是固定模式，一般与棱柱和棱锥相关，其重点放在对几何体中的一些线、面之间的平行与垂直关系的证明上，突出考查学生的空间想象能力和推理运算能力．
———————主干整合·归纳拓展———————
(对应学生用书第40页)
[第1步▕ 核心知识再整合]
1．空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：
①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；
④S球表＝4πR2(R为球的半径)．
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝πR3.
2．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
3．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
[第2步▕ 高频考点细突破]
空间几何体的表面积、体积、球与多面体
【例1】 (江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)如图9－5，
图9－5
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________cm3.
[解析] VA－B1D1D＝VB1－AD1D＝×S△AD1D×B1A1＝××AD×D1D×B1A1＝××3×2×3＝3.
[答案] 3
[规律方法]
(1)在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解．
(3)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
(4)求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心．
[举一反三]
(江苏省南京市2017届高考三模数学试题)如图9－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．
图9－6
[将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，
连接AC1，交BB1于D，此时AD＋DC1最小，
∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，
∴当AD＋DC1最小时，BD＝1，
此时三棱锥D－ABC1的体积：
VD－ABC1＝VC1－ABD＝×S△ABD×B1C1
＝××AB×BD×B1C1
＝××1×1×2＝.]
线面位置关系的命题真假判断
【例2】 给出下列命题：
①若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
②若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
③若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号是________．
【导学号：56394061】
[解析] 两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面一定没有公共点，因此线面平行，①正确；同样两个平面平行，一直线与其中一个平面垂直，则它必垂直这个平面内的任意直线，根据面面平行的性质定理，它也必垂直另一平面内的两条相交直线，故这条直线与另一平面也垂直，②正确；两平面垂直，垂直于其中一个平面的直线可能在另一平面内(面面垂直性质定理)，③错误；两平面垂直时，它们的交线与两平面都不垂直，④错误．
[答案] ①②
[规律方法] 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．
[举一反三]
设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是________．(填序号)
①当c⊥α时，若c⊥β，则α//β；
②当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b；
③当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β；
④当b⊂α且c⊄α时，若c//α，则b//c.
③ [①命题的逆命题为“当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β”，正确；②命题的逆命题为“当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c”，正确；③命题的逆命题为“当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β”，错误；④命题的逆命题为“当b⊂α且c⊄α时，若b∥c，则c∥α”，正确．]
空间中的线面位置关系
【例3】 (江苏省2017届高考押题试卷(二)数学试题)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面A1CD；
(2)若点P在线段BB1上，且BP＝BB1，求证：AP⊥平面A1CD.
图9－7
[证明] (1)连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD(图略)．
∴直三棱柱ABC－A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，
∴在△ABC1中，OD∥BC1，
又∵OD⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD.
(2)由题意，设AB＝x，则BP＝x，AD＝x，A1A＝x，
由于＝＝，
∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP＝∠AA1D，
∵∠DA1A＋∠ADA1＝90°，可得：AP⊥A1D，
又∵CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，CD⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，可得CD⊥平面ABB1A1，
∴CD⊥AP，又∵A1D∩CD＝D，
∴AP⊥平面A1CD.
[规律方法] (1)要证线面平行，先在平面内找一条直线与已知直线平行，或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面，找出交线，证明两线平行．
(2)要证线线平行，可考虑公理4或转化为线面平行．
(3)要证线面垂直可转化为证明线线垂直，应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化．
[举一反三] 如图9－8所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．
图9－8
[解] (1)证明：因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DE∥PC.
又DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP.
(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形．
又PC⊥AB，所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形．
(3)存在点Q满足条件．理由如下：
连接DF，EG，如图所示，设Q为EG的中点，
由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，所以Q为满足条件的点.
空间中的面面位置关系
【例4】 (江苏省泰州中学2017届高三摸底考试)如图9－9，正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.
(1)求证：AB∥平面CDE；
(2)求证：平面ABCD⊥平面ADE.
图9－9
[证明] (1)正方形ABCD中，AB//CD，
又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AB//平面CDE.
(2)∵AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，
∴AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE⊂平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴CD⊥平面ADE，
又CD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE.
[规律方法] 线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键．证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决．
[举一反三]
(江苏省南京市2017届高考三模数学试题)如图9－10，在三棱锥A－BCD中，E、F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF.
(1)求证：EF∥平面ABD；
(2)若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD.
【导学号：56394062】
图9－10
[证明] (1)∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF＝EF，
∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
(2)∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AE⊥CD，
由(1)可知BD∥EF，又BD⊥CD，
∴EF⊥CD，
又AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，
∴平面AEF⊥平面ACD.
[第3步▕ 高考易错明辨析]
1．概念不清，做题时想当然导致出错．这是一些中差生最常犯的错
如图9－11，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm，AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
图9－11
[错解] 设AC，BD的交点为O(图略)，则四棱锥A－BB1D1D的体积V＝×SBB1D1D×AO，根据题意AC＝5 cm，所以AO＝，四棱锥A－BB1D1D的体积V＝×5×2×＝ cm3.
[错解分析] 由于AO不垂直于面BB1D1D，四棱锥A－BB1D1D的体积不是×SBB1D1D×AO.
[正解] 作AO⊥BD，垂足为O(图略)，因为平面ABCD⊥平面BB1D1D.所以，AO⊥平面BB1D1D，所以四棱锥A－BB1D1D的高为AO，根据题意BD＝5 cm，所以AO＝，四棱锥A－BB1D1D的体积V＝×5×2×＝8 cm3.
2. 考纲要求学生要有一定的空间想象力，能根据图形想象出直观形象．学生往往由于空间感太差，考虑问题不全面，忽视一些细节之处，把图形想错
已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是________．(填序号)
①m⊥α，m⊥n⇒n∥α；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
④m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β.
[错解] 对①，想象为如下图形，所以正确，填①.
[错解分析] 空间想象能力差，考虑问题不全面而导致出错．
[正解] 对①，直线有可能在平面内，故错；对②，只能说明直线m、n无公共点，它们还有可能为异面直线，故错； 对③，图形如下，
所以正确，填③. 对④，平面α、β有可能相交，故错．
3．推理不严密，逻辑思维混乱导致出错
如图9－12，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．如图，求证：平面PAC⊥平面PBC.
图9－12
[错解] 因为PA垂直圆所在的平面，所以PA⊥AC.又因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以BC⊥AC.所以平面PAC⊥平面PBC.
[错解分析] 证明任何一种位置关系，应紧扣相应的判定定理，要证两个平面垂直，必须证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线．以上证明找到了PA⊥AC，BC⊥AC，但这并不能说明平面PAC⊥平面PBC.
[正解] 由AB是圆的直径可得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
———————专家预测·巩固提升———————
(对应学生用书第43页)
1．边长为2 的正△ABC内接于体积为4π的球，则球面上的点到△ABC的最大距离为________．
[设M是△ABC的外心，半径为r，设球心为O，球体半径为R，
则V＝πR3＝4π，即R＝，在Rt△OMC中，2r＝，
则r＝，d＝＝＝，dmax＝d＋R＝＋＝.]
2．等边三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球体积为________.
【导学号：56394063】
图9－13
[根据题意可知三棱锥B－ACD的三条侧棱BD⊥AD，DC⊥DA，底面是直角三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜边的中点连线的中点处，求出上下底面斜边的中点连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
R＝OB＝＝＝，∴V＝πR3＝π.]
3．在边长为6 cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于B，构成一个三棱锥(如图9－14所示)．
(1)在三棱锥上标注出M、N点，并判别MN与平面
AEF的位置关系，并给出证明；
(2)G是线段AB上一点，且＝λ·， 问是否存在
点G使得AB⊥平面EGF，若存在，求出λ的值；
若不存在，请说明理由；
(3)求多面体E－AFNM的体积．
图9－14
[解] (1)因翻折后B、C、D重合，所以MN应是△ABF的一条中位线，如图所示．
则MN//平面AEF.
证明如下： ⇒MN//平面AEF. 4分
(2)存在G点使得AB⊥平面EGF，此时λ＝1.
因为⇒AB⊥平面EBF.
又G是线段AB上一点，且＝λ·，
∴ 当点G与点B重合时AB⊥平面EGF，此时λ＝1. 8分
(3)因为AB⊥平面BEF，
且AB＝6，BE＝BF＝3，
∴VA－BEF＝·AB·S△BEF＝9，
又＝＝，
VE－AFNM＝. 12分
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