专题十一 附加题部分
(选修测试物理的考生学习此部分)此部分考查的内容主要是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4－1《几何证明选讲》、4－2《矩阵与变换》、4－4《坐标系与参数方程》、4－5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题)．
———————命题观察·高考定位———————
(对应学生用书第54页)
1．(2016·江苏高考)如图11－1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．
图11－1
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围.
【导学号：56394080】
[解] (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，
由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，
即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.
①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.
方程(*)的两根为y1,2＝－p±，
从而y0＝＝－p.
因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.
因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以pm时，(k＋1)C＝＝(m＋1)·
＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.
又因为C＋C＝C，
所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.
因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]
＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]
＝(m＋1)C.
4．(2015·江苏高考)已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f (n)表示集合Sn所含元素的个数．
(1)写出f (6)的值；
(2)当n≥6时，写出f (n)的表达式，并用数学归纳法证明．
[解] (1)Y6＝，S6中的元素(a，b)满足：
若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6.
所以f (6)＝13.
(2)当n≥6时，
f (n)＝(t∈N*)．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝6时，f (6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立．
②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有
f (k＋1)＝f (k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有
f (k＋1)＝f (k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有
f (k＋1)＝f (k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有
f (k＋1)＝f (k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有
f (k＋1)＝f (k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
f ．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有
f (k＋1)＝f (k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．
综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．
[命题规律]
(1)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．与二项式定理综合问题较难．
(2)空间向量与立体几何，重点考查利用空间向量求线线角、线面角、面面角，难度中等．
———————主干整合·归纳拓展———————
(对应学生用书第55页)
[第1步▕ 核心知识再整合]
1．几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式．
2．矩阵与变换部分，着重掌握用二阶行列式求逆矩阵、二阶矩阵的乘法等基础计算．
3．坐标系与参数方程部分，着重掌握极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，通过极坐标方程、参数方程考查直线与圆、椭圆的位置关系是命题的热点．
4．不等式选讲部分，以考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解为主，通常不等式中带有参数，分类讨论去绝对值是必然的选择．
5．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；
(2)方差：V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn；
(3)性质：E(ax＋b)＝aE(x)＋b；V(ax＋b)＝a2V(x)．
6．两点分布与二项分布的均值与方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
7．直方图的三个常用结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(2)各长方形的面积和等于1；
(3)小长方形的高＝.
8．排列、组合数相关性质
排列：A＝A＋mA；
组合：C＝C＋C(m≤n，m，n∈N*)，kC＝nC.
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
9. 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，
10．(1)直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法：
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则
①线面平行：
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
②线面垂直：
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
③面面平行：
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
④面面垂直：
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
(2)直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算：
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
①线线夹角：
设l，m的夹角为θ，则
cos θ＝＝.
②线面夹角：
设直线l与平面α的夹角为θ，
则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.
③面面夹角：
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，
则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|.
[第2步▕ 高频考点细突破]
几何证明选讲
【例1】 (2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)如图11－3，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：AB2＝BE·BD－AE·AC.
图11－3
[证明] 连接AD(图略)，∵AB为圆的直径，∴AD⊥BD，又EF⊥AB，则A，D，E，F四点共圆，
∴BD·BE＝BA·BF.
又△ABC∽△AEF，
∴＝，即AB·AF＝AE·AC，
∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.
[规律方法] 与圆有关的线段求解，主要是通过相似三角形建立相似比来求解，从而证明三角形相似是核心，而在圆内证明三角形相似主要是通过圆周角定理或圆心角定理证明角相等．
[举一反三] 如图11－4，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
图11－4
求证：(1)∠PAC＝∠CAB；
(2)AC2＝AP·AB.
[解] (1)证明：因为PC切半圆O于点C，
所以∠PCA＝∠CBA.
因为AB为半圆O的直径，
所以∠ACB＝90°.
因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°.
因此∠PAC＝∠CAB.
(2)由(1)知△APC∽△ACB，故＝，
即AC2＝AP·AB.
矩阵与变换
【例2】 (2017·江苏高考)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
【导学号：56394081】
[解] (1)因为A＝，B＝，
所以AB＝＝.
(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，
它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，
则＝，
即所以
因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则＋＝1，
从而＋＝1，即x2＋y2＝8.
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.
[规律方法] 本小题主要考查矩阵的乘法、特征向量的求法，考查运算求解能力．注意矩阵乘法不满足交换律，即A－1B≠BA－1，矩阵与变换所涉及的内容并不多，在平时只要注意归纳，并且计算过关此题可以轻松拿下．
[举一反三]
(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知α＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.
[解] 由条件可知＝λ，
∴解得a＝λ＝2.
因此A＝，
所以A2＝＝.
坐标系与参数方程
【例3】 (2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，(α∈[0,2π]，α为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝a(a∈R)，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．
[解] 曲线C1的方程为(x－)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为(，3)，半径为2.
∵曲线C2的极坐标方程为ρsin＝a(a∈R)，∴ρsin θ＋ρcos θ＝a，
∴曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2a＝0，
∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，
∴＝2，解得a＝1或a＝5.
[规律方法] 参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键．
[举一反三]
(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
[解] 直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，
从而点P到直线l的距离
d＝＝.
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.
不等式选讲
【例4】 (2017·江苏省泰州市高考数学一模)求函数y＝3sin x＋2的最大值．
[解] y＝3sin x＋2＝3sin x＋4.
由柯西不等式得y2＝(3sin x＋4)2≤(32＋42)·(sin2x＋cos2x)＝25，
所以ymax＝5，此时sin x＝.
所以函数y＝3sin x＋2的最大值为5..
[规律方法] 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．
[举一反三]
(2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.
[证明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，
因此ac＋bd≤8.
均值与方差的实际应用
【例5】 (2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).
1
2
3
…
m＋n
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)
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