难点七
函数零点、单调性、极值等综合问题
(对应学生用书第73页)
函数零点、单调性、极值都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与导数是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数思想的运用是我们解决问题的重要手段，而导数是我们解决问题的一个行之有效的工具．
1．函数零点
函数零点问题主要是研究函数与方程问题，方程f (x)＝0的解就是函数y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标，即零点．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决．在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大．
【例1】 (2017·江苏高考)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f ′(x)的极值点是f (x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
(2)证明：b2>3a；
(3)若f (x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围.
【导学号：56394108】
[解] (1)由f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得
f ′(x)＝3x2＋2ax＋b＝32＋b－.
当x＝－时，f ′(x)有极小值b－.
因为f ′(x)的极值点是f (x)的零点，
所以f ＝－＋－＋1＝0.
又a>0，故b＝＋.
因为f (x)有极值，故f ′(x)＝0有实根，
从而b－＝(27－a3)≤0，即a≥3.
当a＝3时，f ′(x)>0(x≠－1)，
故f (x)在R上是增函数，f (x)没有极值；
当a>3时，f ′(x)＝0有两个相异的实根
x1＝，x2＝.
列表如下：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故f (x)的极值点是x1，x2.
从而a>3.
因此b＝＋，定义域为(3，＋∞)．
(2)证明：由(1)知，＝＋.
设g(t)＝＋，则g′(t)＝－＝.
当t∈时，g′(t)>0，
从而g(t)在上单调递增．
因为a>3，所以a>3，
故g(a)>g(3)＝，即>.
因此b2>3a.
(3)由(1)知，f (x)的极值点是x1，x2，
且x1＋x2＝－a，
x＋x＝.
从而f (x1)＋f (x2)＝x＋ax＋bx1＋1＋x＋ax＋bx2＋1
＝(3x＋2ax1＋b)＋(3x＋2ax2＋b)＋a(x＋x)＋b(x1＋x2)＋2
＝－＋2＝0.
记f (x)，f ′(x)所有极值之和为h(a)，
因为f ′(x)的极值为b－＝－a2＋，
所以h(a)＝－a2＋，a>3.
因为h′(a)＝－a－f (0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)证明：g′(x)＝＝(f (x)＋a)．
由(1)知，f (x)＋a单调递增．
对任意a∈[0,1)，f (0)＋a＝a－1＜0，f (2)＋a＝a≥0.
因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f (xa)＋a＝0，
即g′(xa)＝0.
当00，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f ′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
[方法总结] ①函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后再研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答．
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