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第三单元 函数
第十三课时 二次函数的图象与性质
长沙9年中考 (2009～2017)
命题点1 二次函数的顶点坐标、对称轴与增减性(9年4考)
1. (2011长沙7题3分)如图，关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是( )
A. 顶点坐标为(1，－2)
B. 对称轴是直线x＝1
C. 开口方向向上
D. 当x＞1时，y随x的增大而减小
命题点2 二次函数图象与a、b、c的关系(9年3考)
2. (2014长沙10题3分)函数y＝与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
3. (2013长沙10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则下列关系式错误的是( )
A. a＞0
B. c＞0
C. b2－4ac＞0
D. a＋b＋c＞0
4. (2016长沙12题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞a＞0)与x轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x
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的方程ax2＋bx＋c＋2＝0无实数根；③a－b＋c≥0；④的最小值为3.其中，正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
命题点3 二次函数与一元二次方程的关系(9年6考)
5. (2010长沙25题10分)已知：二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点(1，0)，一次函数图象经过原点和点(1，－b)，其中a＞b＞0且a、b为实数．
(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示)；
(2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1－x2|的取值范围．
答案
1. D
2. D 【解析】反比例函数图象在第一、三象限，故a＞0，二次函数图象开口向下，故a＜0，故A错误；反比例函数图象在第二、四象限，故a＜0，二次函数图象开口向上，故a＞0，故B错误；二次函数图象开口向上，故a>0，当a＞0时，反比例函数图象在第一、三象限，而图中反比例函数图象在第一、二象限，不符合反比例函数图象的性质，故C错误；反比例函数图象在第二、四象限，故a＜0，二次函数图象开口向下，故a＜0，故D正确．
3. D
4. D 【解析】∵b>a>0，∴抛物线的对称轴x＝－a>0，∴≥3，即的最小值为3，故④正确．综上所述，正确结论的个数为4个．
5. (1)解：∵一次函数图象经过原点，
∴设一次函数的表达式为y＝kx，
∵一次函数图象过点(1，－b)，
∴k＝－b，
∴一次函数的表达式为y＝－bx；(3分)
(2)证明：∵y＝ax2＋bx－2的图象经过点(1，0)，
∴a＋b＝2，即b＝2－a，
联立，整理得ax2＋2(2－a)x－2＝0①，
∵Δ＝4(2－a)2＋8a＝4(a－1)2＋12＞0，
∴方程①有两个不相等的实数根，即方程组有两组不同的解，
∴这两个函数的图象交于不同的两点；(6分)
(3)解：∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解，
∴x1＋x2＝＝，x1x2＝－，
∴|x1－x2|＝＝＝，(8分)
∵a＞b＞0，a＋b＝2，
∴2＞a＞1，
令t＝(－1)2＋3，
∵当1＜a＜2时，t随a的增大而减小，
∴4＜(－1)2＋3＜12，(9分)
∴2＜＜2，
∴2＜|x1－x2|＜2.(10分)
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