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课时训练(十六)二次函数的应用
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件．现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y关于x的函数表达式为( )
A．y＝－x2＋10x＋1200(0＜x＜60)
B．y＝－x2－10x＋1250(0＜x＜60)
C．y＝－x2＋10x＋1250(0＜x＜60)
D．y＝－x2＋10x＋1250(x≤60)
2．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
3．[2017·天门]飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
4．[2017·沈阳]某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润．
5．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
(1)月销量y(件)与售价x(元)的关系满足y＝－2x＋400；
(2)工商部门限制销售价x满足70≤x≤150.给出下列结论(计算月利润时不考虑其他成本)：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)
三、解答题
6．[2017·包头]某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到24000元吗？为什么？
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(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
7．[2016·青岛]如图K16－1，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为 m，到墙边的距离分别为 m， m.
(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
图K16－1
8．[2017·扬州]农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x(元/千克)
30
35
40
45
50
日销售量p(千克)
600
450
300
150
0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)
|拓 展 提 升|
9．[2016·丽水]如图K16－2①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2－x＋3的绳子．
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
(3)将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m米，抛物线F2的顶点离地面距离为k米，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
图K16－2
参考答案
1．A
2．B [解析] 利用待定系数法可求出二次函数解析式；将函数解析式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出h＝0时t的值即可得足球的落地时间；求出t＝1.5 s时h的值即可对④作出判断．
(1)由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的解析式为h＝at2＋bt，将(1，8)，(2，14)分别代入，得：解得：
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∴h＝－t2＋9t＝－(t－)2＋，则足球距离地面的最大高度为 m，对称轴是直线t＝，所以①错误、②正确；令h＝－t2＋9t＝0，解得t＝0或t＝9，所以③正确；当t＝1.5时，h＝－t2＋9t＝11.25，所以④错误．
3．20 [解析] 滑行的最长时间实际上是求s取最大值时对应的t的值，s＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20秒时，s的最大值为600米．
4．35
5．①②③ [解析] 当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，
∵k＝－2＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；
当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；
设销售这种文化衫的月利润为Q元，
则Q＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800，
∵70≤x≤150，∴当x＝70时，Q取得最小值，最小值为－2×(70－130)2＋9800＝2600(元)，故③正确；当x＝130时，Q取得最大值，最大值为9800元，故④错误．
6．解：(1)∵矩形一边长为x米，周长为16米，∴另一边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0
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