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第 4 章 因式分解
4．1 因式分解
知识点 1 因式分解
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时也把这一过程叫
做分解因式．
[注意] (1)因式分解的对象必须是一个多项式；
(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．
一般有两种形式：①单项式×多项式；
②多项式×多项式．
(3)因式分解是一个恒等变形
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b＝3a·2ab
B．(x＋2)(x－2)＝x2－4
C．2x2－4x－1＝2x(x－2)－1
D．2ab－2ac＝2a(b－c)
知识点 2 因式分解与整式乘法的关系
a(b＋c＋d) ab＋ac＋ad.
因式分解与整式乘法的相互关系——互逆变形．
从右到左是因式分解，其特点是由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从左到右
是整式乘法，其特点是由整式的积的形式转化成和差形式(多项式)．
2．检验下列因式分解是否正确．
(1)－a2b2＋4＝(ab＋2)(ab－2)；
(2)5ax2＋10ax－15a＝5a(x－1)(x＋3)；
(3)9y2－6y＋9＝3(y－1)2.
探究 一 因式分解的简单应用
教材补充题已知 x2＋mx－6 可以分解为(x－2)(x＋3)，求 m 的值．2
[归纳总结] 因式分解与多项式的乘法是互逆变形式，可以用整式的乘法得到对应系数相
等，求出未知数的值．
探究 二 利用因式分解进行简便运算
教材课内练习第 2 题变式题用简便方法计算：
(1)492＋49；(2)(8
1
2)2－(3
1
2)2.
[反思] 已知多项式－9x3＋12x2－6x 因式分解后，只能写成两个因式乘积的形式，其中
一个因式是－3x，你能确定这个多项式因式分解后的另一个因式吗？3
一、选择题
1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
C．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2．下列各式从左到右的变形：
(1)15x2y＝3x·5xy；
(2)(x＋y)(x－y)＝x2－y2；
(3)x2－2x＋1＝(x－1)2；
(4)x2＋3x＋1＝x(x＋3＋
1
x).
其中是因式分解的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．下列因式分解正确的是( )
A．x2－y2＝(x－y)2
B．a2＋a＋1＝(a＋1)2
C．xy－x＝x(y－1)
D．2x＋y＝2(x＋y)
4．要使式子－7ab－14abx＋49aby＝－7ab( )的左边与右边相等，则“( )”内应
填的式子是( )
A．－1＋2x＋7y B．－1－2x＋7y
C．1－2x－7y D．1＋2x－7y
5．若(x－3)(x－4)是多项式 x2－ax＋12 因式分解的结果，则 a 的值是( )
A．12 B．－12
C．7 D．－7
6．若多项式 x2－5x＋4 可分解因式为(x－4)·M，则 M 为( )
A．x－1 B．x＋1
C．x－2 D．x＋2
7．若 4x3y2－6x2y3＋M 可分解为 2x2y2(2x－3y＋1)，则 M 为( )
A．2xy B．2x2y2
C．－2x2y2 D．4xy2
二、填空题
8 ． (x ＋ 2)2 ＝ x2 ＋ 4x ＋ 4 从 左 到 右 的 运 算 是
________________________________________________________________________．
9．已知(x＋1)(x－1)＝x2－1，则 x2－1 因式分解的结果是__________．
10．因为(6a3－18a2)÷6a2＝________，所以 6a3－18a2 可分解因式为 6a2·________.
11．计算：24.4×8＋45.6×8＝________．
三、解答题
12．若关于 x 的二次三项式 3x2＋mx＋n 因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，求 m，n 的4
值．
13．若 x2－5x＋6 能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为 x－2，另一个因式为 mx－
n，其中 m，n 为两个未知的常数．请你求出 m，n 的值．
试说明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数与原数之差能被 99 整
除．5
详解详析
教材的地位
和作用
因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式的联系极
为密切．它不仅在多项式的除法、简便运算中有着直接的应用，也为以后学
习分式的约分与通分、解方程(组)及三角函数的恒等变形做了必要的铺垫．本
节课所接触的因式分解的概念是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个
重要概念，所以学好本节课对本章的后续学习具有重要的意义
知识
与技
能
1.理解因式分解的概念和意义；
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆变形，并会运用它们之间
的相互关系探究因式分解的方法
过程
与方
法
由学生自己探究解题途径，培养学生观察、分析、判断和创新的能力，提
高学生逆向思维的能力和综合运用的能力
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
培养学生接受矛盾的对立统一观点，使学生养成独立思考、勇于探索的学
习习惯和实事求是的科学态度
重点 因式分解的概念
难点 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因
式分解的方法
教学
重点
难点 易错
点 对因式分解和整式乘法的形式判断不清而导致出错
【预习效果检测】
1．[解析] D 在 A 项中，等式左边不是多项式，不是因式分解．在 B 项中，它是整式的
乘法．在 C 项中，等式的右边不是乘积的形式，也不属于因式分解．只有 D 项符合要求．故
选 D.
2．[解析] 因为因式分解与多项式的乘法是互逆变形，所以可以用整式的乘法来检验因
式分解是否正确．
解：(1)因为(ab＋2)(ab－2)＝a2b2－4≠－a2b2＋4，所以因式分解－a2b2＋4＝(ab＋2)(ab
－2)错误．
(2)因为 5a(x－1)(x＋3)＝5ax2＋10ax－15a，所以因式分解 5ax2＋10ax－15a＝5a(x－
1)(x＋3)正确．
(3)因为 3(y－1)2＝3y2－6y＋3≠9y2－6y＋9，
所以因式分解 9y2－6y＋9＝3(y－1)2 错误．
【重难互动探究】
例 1 [解析] 因为因式分解与多项式的乘法是互逆变形，所以把(x－2)(x＋3)变为多项
式的形式，利用相等关系即可求解．
解：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，
所以 x2＋mx－6＝x2＋x－6，
即 m＝1.6
例 2 解：(1)492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2450.
(2)(8
1
2)2－(3
1
2)2＝(8
1
2＋3
1
2)(8
1
2－3
1
2)＝12×5＝60.
【课堂总结反思】
[反思] (－9x3＋12x2－6x)÷(－3x)＝3x2－4x＋2，
故这个多项式因式分解后的另一个因式是 3x2－4x＋2.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] A (1)的左边是单项式不是多项式，不符合因式分解的定义．(2)是乘法运
算．(3)符合分解因式的定义．(4)等号右边的两项的乘积不是整式的积的形式，所以只有(3)
符合．故选 A.
3．C 4.D
5．[解析] C 将(x－3)(x－4)按照多项式乘多项式的方法展开可得(x－3)(x－4)＝ x2－
7x＋12，所以 a＝7.故选 C.
6．[解析] A 可把四个选项逐一代入检验．
7．[解析] B 因为 2x2y2(2x－3y＋1)＝4x3y2－6x2y3＋2x2y2，所以 M＝2x2y2.
8．[答案] 整式乘法
9．[答案] (x＋1)(x－1)
[解析] 由因式分解是整式乘法的逆变形可得结果．
10．[答案] a－3 (a－3)
[解析] 根据多项式除以单项式的运算法则，知(6a3－18a2)÷6a2＝a－3，所以根据因式
分解的定义，得 6a3－18a2＝6a2(a－3)．
11．[答案] 560
[解析] 24.4×8＋45.6×8＝8×(24.4＋45.6)＝8×70＝560.应填 560.
12．解：因为(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2，
又因为 3x2＋mx＋n 因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，
所以 3x2＋mx＋n＝3x2－x－2，
所以 m＝－1，n＝－2.
[点评] 根据因式分解的定义知，因式分解是恒等变形，乘开后多项式的各项系数对应相
等．
13．解：根据题意，得 x2－5x＋6＝(x－2)(mx－n)，
即 x2－5x＋6＝mx2－(n＋2m)x＋2n，
所以 m＝1，n＝3.
[数学活动]
[解析]设一个三位数的百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，则这个三位数可用
100x＋10y＋z 表示，交换百位数字与个位数字位置后的三位数可表示为 100z＋10y＋x.只需
说明这两个数之差是 99 的倍数即可．
解：设原数的百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，则原数可表示为 100x＋10y＋
z，交换百位数字与个位数字的位置后，新数为 100z＋10y＋x.
则(100z＋10y＋x)－(100x＋10y＋z)＝99(z－x)．
因为 99(z－x)÷99＝z－x.
所以新数与原数之差能被 99 整除．
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