第12课时 二次函数考点梳理 自主测试
考点一 二次函数的概念
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函
数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形
式,因此y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数的一般形式.
注意:1.二次项系数a≠0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可
以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.
自变量x的取值范围是全体实数.考点二 二次函数的图象及性质
考点梳理 自主测试考点梳理 自主测试
考点三 二次函数图象的特征与a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系考点梳理 自主测试
考点四 二次函数图象的平移
抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的
形状和大小都相同,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下:考点梳理 自主测试
考点五 二次函数关系式的确定
1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)
若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式
y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.
2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x
-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数
a,最后将关系式化为一般式.
3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则
设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一
般式.考点梳理 自主测试考点梳理 自主测试
考点七 二次函数的应用
1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要
认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是
根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.
2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充
分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问
题,求二次函数的解析式是解题关键.考点梳理 自主测试
1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
答案:A
2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取
值范围是( )
A.x1
C.x-1
答案:A
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是(
)
A.a>0 B.cy2.
答案:(1)A (2)>考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7
命题点2 利用二次函数图象判断a,b,c的符号
【例2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过
点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;
④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
解析:因为对称轴为直线x=2,所以- =2,所以4a+b=0,所以①正确;
因为当x=-3时,9a-3b+c0,所以③正确;
因为当x>2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误.
所以正确的有2个.故选B.
答案:B考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7
变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结
论:
①b2-4ac>0;②abc>0;
③8a+c>0;④9a+3b+c0,可解出m>
- ,所以②正确;二次函数可化简为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系
数的关系,x1+x2=5,x1x2=6-m,∴y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,则此
二次函数与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以③正确.故选C.
答案:C考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7
命题点7 二次函数的实际应用
【例7】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于
点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形
OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)求△ABD的面积;
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G
是否在该抛物线上?请说明理由.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7
解:(1)因为四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,所以点C的坐标(0,3),
点E的坐标为(2,3).
把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c中
所以抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+2x+3.
(2)因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以抛物线的顶点坐标为(1,4).
所以在△ABD中AB边上的高为4,
令y=0,得-x2+2x+3=0,解之得,x1=-1,x2=3,
所以AB=3-(-1)=4.
于是△ABD的面积为 .
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,又由
(2)可知,OA=1,所以点A的对应点G的坐标为(3,2).
当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该抛物线上.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7
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